第7章 三角函数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第7章 三角函数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象( )
A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
2．已知函数在上有且只有一个最大值点(即取得最大值对应的自变量)，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,则( )
A. B.
C. D.
4．在地球公转过程中,太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化,太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间,统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y,该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足.则每1200年中,要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为( )
（精确到1）参考数据
A.290 B.291 C.292 D.293
5．已知函数在上单调递增,则( )
A. B. C. D.
6．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
B.向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
C.横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移平单位长度
D.横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆）,筒车的半径为2m,筒车的轴心O到水面的距离为1m,筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间,设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s）,且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）,则h与t的函数关系式为( )
A., B.,
C., D.,
8．已知函数在上单调递增,则A的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数,若存在,,使,则的值可以是( )
A.2 B. C.3 D.
10．对于函数，，下列说法正确是( )
A.对任意的k，的最大值为1
B.当时，的值域中只有一个元素
C.当时，在内只有一个零点
D.当时，的值域为
11．要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位
C.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到__________.
13．已知函数()在区间上的最大值为2,则实数的取值范围为______.
14．若函数在上单调递增则的取值范围为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．若函数满足且,则称函数为“M函数”.
（1）试判断是否为“M函数”,并说明理由;
（2）函数为“M函数”,且当时,,求的解析式,并写出在上的单调递增区间;
（3）在（2）的条件下,当时,关于x的方程(a为常数)有解,记该方程所有解的和为,求.
16．已知函数,其中.
（1）求使得的x的取值范围;
（2）若函数,且对任意的,当时,均有成立,求正实数t的最大值.
17．已知函数.
（1）若，，求的值域；
（2）若，，都有恒成立，求a的取值范围．
18．高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者,工艺品平面设计如图所示,该工艺品由直角三角形ABC和以BC为直径的半圆拼接而成,点P为半圆上一点(异于B,C),点在线段AB上,且满足.已知,,设,
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果,需满足,达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳观赏效果;
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏,需满足,且达到最大.当为何值时,取得最大值,并求该最大值.
19．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域.
参考答案
1．答案：C
解析：将函数，的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，得，的图象.
故选：C.
2．答案：B
解析：由，得，由题意可得，解得.
3．答案：D
解析：将图象上所有的点都向左平移个单位长度后,
得到函数的图象,
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,
得.
故选：D.
4．答案：B
解析：,
所以一个回归年对应的天数为365.2422天
假设1200年中,设定闰年的个数为x,则平年有个,
所以
解得：.
故选：B.
5．答案：D
解析：在上单调递增,又的最小正周期,
则在处取得最小值,在处取得最大值,
所以,,即,,
又,所以.
故选：D.
6．答案：A
解析：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到.也可以将函数的图象上所有的点橫坐标缩短到原来的得到，再向左平移个单位长度得到.
7．答案：A
解析：,所以对应的角是,
由在内转过的角为,
可知以为始边,以为终边的角为,
则点P的纵坐标为,
所以点P距水面的高度表示为的函数是.
故选：A.
8．答案：B
解析：由函数在区间上单调递增,
则满足,解得,即实数A的取值为．
故选：B.
9．答案：BD
解析：存在,,使,即,
令,则且,故且,
所以,结合范围知:且,即在内至少存在两个k值,
若,则,可得满足;
若,则,可得,又,故;
综上,.
故选:BD
10．答案：BD
解析：对于A项，当时，，，故A错误；
对于B项，，即的值域为，故B正确；
对于C项，由，解得，函数，在的图象如下图所示
由图可知，函数，在内有两个交点，即在内有2个零点，故C错误：对于D项，
，因为，所以，，即的值域为，故D正确；
故选:BD
11．答案：BC
解析：要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位;或者向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.
12．答案：
解析：因为,,所以函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到.
13．答案：
解析:当时,,则,由题意可得,.
14．答案：
解析：由，得.
因为在上单调递增，所以，
得，
则，
解得，则，故的取值范围为.
故答案为：
15．答案：（1）见解析
（2）,
（3）见解析
解析：（1）不是“M函数”.
,,
,
不是“M函数”.
（2）函数满足,函数的周期,
,,
当时,,,
当时,,
,.
函数在上的单调增区间为,.
（3）由（2）得函数在上的图象为:
下面考虑方程在区间的根之和:
①当或时,(a为常数)有2个解,其和为,
②当时,(a为常数)有3个解,其和为,
③当时,(a为常数)有4个解,其和为,
当,时,
记关于x的方程(a为常数)所有解的和为,
当时,,
当或时,,
当时,,
当时,,
.
16．答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）由题意得,,
令,得即,
故x的取值范围为,.
（2）由题意得,,
令
,
即,故在区间上为增函数,由,
得出,,,
则函数包含原点的单调递增区间为即,
故正实数t的最大值为.
17．答案：（1）；（2）
解析：（1）当时，，令，
则，
由，则，故，又，故，即的值域为；
（2）令，则，
当时，，，则，
由，即，化简得，
令，，由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，故，
则有，即，
由，故有，，解得，综上所述，.
18．答案：（1）时,达最大值
（2）当时,达到最大值
解析：（1）因为三角形ABC为直角三角形,,
所以,
在直角中,因为,所以.
因为点P为半圆上一点,所以,又因为,
所以,
所以
,
因为,
所以当,即时,达最大值;
（2）在直角中,因为,
所以,
因为,所以,
又因为所以,
在直角中,,
所以,
,,
所以当即时,达到最大值,
答:当时,达到最大值cm.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)令，
由的单调性可知，当时，
即时此函数单调递增.
所以函数的单调增区间为.
(2)由题可得：，
时，有，所以的值域为.
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