第8章 函数应用——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第8章 函数应用——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图四个选项所示，其中运输效率单位时间内的运输量逐步提高的选项是( )
A. B. C. D.
2．某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，，，则该同学在第二次应计算的函数值为( )
A. B.
C. D.
3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
4．有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A. B.
C. D.
5．某地上年度电的价格为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电的价格调至0.55元/度~0.75元/度（包含0.55元/度和0.75元/度），若电的价格调至x元/度，则本年度新增用电量y（亿度）与x之间的函数关系式为.已知电的成本价为0.3元/度，电力部门要使本年度的收益（收益=用电量×（实际电的价格-成本价））比上一年增加20%，则电的价格应调至( )
A.0.5元/度 B.0.6元/度 C.0.65元/度 D.0.7元/度
6．弓箭手以的速度从地面垂直向上射箭，后箭距离地面的高度为.已知，若射出后箭距离地面的高度为，则箭能达到的最大高度为( )
A. B. C. D.
7．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
8．锂电池在存放过程中会发生自放电现象,其电容量损失量随时间的变化规律为,其中Q（单位）为电池容量损失量,p是时间t的指数项,反映了时间趋势由反应级数决定,k是方程剩余项未知参数的组合,与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电池为研究对象,经实验采集数据进行拟合后获得,相关统计学参数,且预测值与实际值误差很小.在研究M对Q的影响时,其他参量可通过控制视为常数,电池自放电容量损失量随时间的变化规律为,经实验采集数据进行拟合后获得,相关统计学参数,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为,存放16天后,电容量损失量约为( )
（参考数据为：）
A.100.32 B.101.32 C.105.04 D.150.56
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设,某学生用二分法求方程的近似解(精确度为0.1),列出了它的对应值表如下:
x 0 1 1.25 1.375 1.4375 1.5 2
0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为( )
A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44
10．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )
A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快
B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
11．下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数在区间上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：，，，，，，据此可得该零点的近似值为________．（精确到）
13．用二分法求函数在区间的零点,若要求精确度,则至少进行___________次二分．
14．用二分法研究函数的零点,第一次经计算,,则第二次计算的的值为___.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
（参考数据:，，）
16．预计某地区明年从年初开始的前x个月内，对甲商品的需求总量（万件）与x的近似关系式为.
（1）由此求该地区明年10月份对甲商品的需求量；
（2）如果将该商品每月都投放到该地区市场y万件，且要保证每月都满足供应，求y最小值.
17．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示.
销售单价/元 … 6 6.5 7 7.5 8 8.5 …
日均销售量/桶 … 480 460 440 420 400 380 …
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润
18．学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（1）函数的图象接近图示；
（2）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（4）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③.
（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
（参考值：）
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.
故选：B
2．答案：C
解析：，，，在区间内函数存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值，故选C.
3．答案：C
解析：由，得，则，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
4．答案：C
解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.
5．答案：B
解析：根据题意，得，整理得，解得（舍去）或，所以电力部门要使本年度的收益比上一年增加，则电的价格应调至0.6元/度.
6．答案：C
解析：由题意知，解得，所以，故当时，x取得最大值，为180，即箭能达到的最大高度为.
7．答案：B
解析：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：根据题意,可得,,,
代入,
可得,
因为该品牌电池初始荷电状 ,
所以存放16天后,电容量损失量,
故选：C.
9．答案：BC
解析：与都是R上的单调递增函数,
是R上的单调递增函数,
在R上至多有一个零点,
由表格中的数据可知:
,
在R上有唯一零点,零点所在的区间为,
即方程有且仅有一个解,且在区间内,
,
内的任意一个数都可以作为方程的近似解,
,,,,
符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：因为，，即，
所以由零点存在定理可知的零点在之间，近似值为1.56.
故答案为：1.56.
13．答案：8
解析：根据题意,原来区间的长度等于2,
每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,
则经过n次操作后,区间的长度为,
若要求精确度,即,解可得,
即至少进行8个二分．
故答案为：8．
14．答案：
解析：因为,所以第二次应计算,所以,
故答案为：
15．答案：（1）
（2）11
解析：（1）由已知可得
.
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x，且，，
若要使火箭的最大速度至少增加，所以，
即，，
所以，解得，
因为，所以，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.
16．答案：(1) 0.8万件
(2)最小值为1.14
解析：（1）由已知可得，
因此，该地区明年10月份对甲商品的需求量为0.8万件；
（2）当时，为了要保证每月都满足供应，则，即，即，
令，且，
由二次函数的性质可知，（万件），
综上所述，要保证每月都满足供应，则y的最小值为1.14.
17．答案：根据表中数据知,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶,
设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,
而在此情况下的日均销售量就为,由于,且,
即,于是,可得.
易知,当时,y有最大值,
所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大利润.
解析：
18．答案：（1）
（2）29.25
解析：（1）对于模型①：由题意，有得.
，
当时，，不合题意，
对于模型②：的增长越来越快，图像越来越“陡峭”，不合题意.
对于模型③：由题意，有得，
，
该函数图像增长符合题设图像要求.
当时，
，
符合题意，
综上所述，最合适的模型是模型③，其解析式为.
（2）由（1），令，
解得，
所以每天至少锻炼29.25分钟.
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