上海市金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷

金山区2015学年第一学期期末考试
高三数学试卷
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．= ．
2．已知全集U=R，集合M={x | x2–4x–5<0}，N={x | x≥1}，则M∩(UN) = ．
3．若复数满足(i为虚数单位)，则= ．
4．若直线l1：6x+my–1=0与直线l2：2x－y+1=0平行，则m= ．
5. 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则c1–c2= ．
6．方程4x– 62x +8=0的解是 ．
7．函数y=secx sinx的最小正周期T= ．
8．二项式展开式中系数的值是 ．
9．以椭圆的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 .
10．在报名的5名男生和3名女生中，选取 ( http: / / www.21cnjy.com )5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 ．(结果用数值表示)
11．方程cos2x+sinx=1在(0，)上的解集是 ．
12．行列式(a、b、c、d{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为 ．
13．已知点P、Q分别为函数 (x≥0)和图像上的点，则点P和Q两点距离的最小值为 ．
14．某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄 ( http: / / www.21cnjy.com )两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4 ( http: / / www.21cnjy.com )题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．“直线l1、l2互相垂直”是“直线l1、l2的斜率之积等于–1”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件
16．若m、n是任意实数，且m>n，则( )．
(A) m2>n2 (B)
(C) lg(m–n)>0 (D)
17．已知,是单位向量，，且向量满足=1，则||的取值范围是( )．
(A) (B)
(C) (D)
18．如图，AB为定圆O的直径，点P为半圆AB上的动点．过点P
作AB的垂线，垂足为Q，过Q作OP的垂线，垂足为M．记
弧AP的长为x，线段QM的长为y，则函数y=f(x)的大致图像是( )．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=3，cosA=，B=A+．
试求b的大小及△ABC的面积S．
20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
(1) 求的值；
(2) 求三棱锥的体积．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点 是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．
(1) 若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；
(2) 若直线的斜率都存在，并记为，求证：．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数．
(1) 当m=2时，证明f(x)在(–∞，0)上是单调递减函数；
(2) 若对任意xR，不等式f(2x) > 0恒成立，求m的取值范围；
(3) 讨论函数y=f(x)的零点个数．
23．(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且(nN*)．
(1) 求{an}的通项公式；
(2) 设数列满足，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；
(3) 设，问是否存在正整数，使得当任意正整数n > N时恒有Cn>2015成立？若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷
评分参考意见
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．； 2．{x| –1< x <1}； 3． ； 4．–3； 5. –1；
6. x=1或x=2； 7．； 8．–6； 9．y2=12x； 10．55
11．； 12． –6； 13．； 14．.
二、选择题（本大题满分20 ( http: / / www.21cnjy.com )分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．B； 16．D； 17．A； 18．A
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．解：因为cosA=，所以sinA=，………………………………………………1分
又B=A+，所以sinB=sin(A+)=cosA=,……………………………………………2分
又因为，………………………………………………………………………4分
所以b==，……………………………………………………………………6分
cosB=cos(A+)= –sinA= –………………………………………………………………8分
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，…………………………………………………10分
所以△ABC的面积S==． ……………………………………………12分
或解：因为a2=b2+c2–2bccosA（2分）
即：c2–4c+9=0，解之得：c=3(舍去)，c=，（2分）
△ABC的面积S==．（2分）
20．解(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC =60，…………………………………………………………………………2分
又AA1⊥平面ABC，AB=AC，则A1B=A1C，∴△A1BC为等边三角形，…………4分
由，，
∴；……………………………………………6分
(2)连接B1C，则三棱锥B1–A1BC的体积等于三棱锥C–A1B1B的体积，
即：，………………………………………………………………9分
△的面积，……………………………………………………………11分
又平面，
所以，所以．………………………………14分
21．解：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形OPRQ为正方形，故，即① ………………3分
又在椭圆C上，所以②…………………………………5分
由①②及在第一象限，解得,…………………………………………7分
(2)证明：因为直线OP：y=k1 x，OQ：y=k2x均与圆R相切，……………………8分
所以，化简得
同理有………………………………………………10分
所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，
所以，………………………………………………………………………11分
又因为在椭圆C上，所以，
即，所以，即2k1k2+1=0．………………………14分
22．解：(1) 当m=2，且x<0时，，………………………………1分
证明：设x1又x10，x2x1>0，，所以
所以f(x1)–f(x2)>0，即f(x1) >f(x2)，
故当m=2时，在(–∞,0)上单调递减的． …………………………4分
(2)由f(2x)>0得，
变形为，即，
当即x=–1时, ，所以．…………………………10分
(3)由f(x)=0，可得x|x|–x+m=0 (x≠0)，变为m=–x|x|+x (x≠0)，
令，， 作y=g(x)的图像及直线y=m，由图像可得：
当或时，y=f(x)有1个零点．
当或m=0或时，y=f(x)有2个零点；
当或时，y=f(x)有3个零点．………………………………16分
23．解：（1）时，，且，解得
时，，两式相减得：
即，，
，为等差数列，． ……………………………4分
（2），．
当为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn–1)+(b2+b4+…+bn) ,
当为奇数时，Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn–1)
………………………………10分
(3),
当n为奇数时，，
∴Cn+2因此不存在满足条件的正整数N．……………………………………………………18分
(A))
x
y
O
(B)
x
y
O
(C)
x
y
O
(D)
x
y
O
A
B
C
A1
B1
C1