第二章 轴对称 专项训练 等腰三角形中的分类讨论思想（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 轴对称 专项训练 等腰三角形中的分类讨论思想（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-14 19:31:54 | ||
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文档简介
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第二章 轴对称
专项训练 等腰三角形中的分类讨论思想
分类讨论是数学中经常用到的一种思想方法.所有的讨论题目都是因为某个条件叙述不确定从而存在多种情况.如在等腰三角形里，一条边可能是腰也可能是底；一个角可能是顶角也可能是底角；一条高可能在三角形内部也可能在外部……通过周密的分类，可以使题目得到清晰的解答.其解题思路为：先分类，再画图，后计算.
类型一 腰和底不确定，导致讨论
1.若等腰三角形的两边长分别是3 cm 和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A.8 cm B.13 cm C.8 cm 或13 cm D.11 cm 或 13 cm
2.四边形ABCD的边长如图所示，对角线 AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.若a,b满足 则以a,b 为边的等腰三角形的周长为__________.
类型二 顶角和底角不确定，导致讨论
4.若等腰三角形的一个内角等于 30°，则这个等腰三角形的顶角度数为 ( )
A.30° B.120° C.150° D.30°或120°
5.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值___________.
6.如果等腰三角形的两个内角之比为1：2，那么这个三角形的三个内角各是多少度
类型三 高的位置不确定，导致讨论
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是则这个等腰三角形的底角为多少
类型四 由腰上的中线引起讨论
8.等腰三角形 ABC的底边BC 长为10 cm,一腰上的中线 BD把 的周长分为差为6 cm的两部分，则其腰长为 ( )
A.16 cm B.4 cm C.4 cm 或 16 cm D.2 cm 或8 cm
9.在等腰 中， 腰长为12 cm,一腰上的中线 BD 把 的周长分为差为 4 cm的两部分，则其底边长为 ( )
A.8 cm B.16 cm C.8 cm 或 12 cm D.8 cm 或 16 cm
类型五 腰上的垂直平分线位置不确定，导致讨论
10.在 中， AC边的垂直平分线DE 与AC 相交于点D,与直线 AB 相交于点 E，且与直线 AB 所夹的锐角为 求顶角的度数.
类型六 画等腰三角形需要分类讨论
11.如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中 A，B 在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为 ( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10 个
12.如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，若点C 也在格点上，并且△ABC 是等腰三角形，则点 C的个数为________个.
13.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫做格点.请在图中清晰地标出使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形的所有点C(点C 为格点)的位置(可以用C ,C …表示).
参考答案
1. D 2. B 3.30 4. D 或
6.解：需分两种情况讨论：
①若底角和顶角之比为1：2，
设底角度数为α，那么顶角度数为2α，则α+α+2α=180°,
所以α=45°,此时2α=90°,
所以三角形的三个内角分别是45°，45°，90°.
②若顶角和底角之比为1：2，
设顶角度数为β，那么底角度数为2β，则β+2β+2β=180°,
所以β=36°,此时2β=72°,
所以三角形的三个内角分别是36°，72°，72°.
综上所述，三角形的三个内角分别是45°，45°，90°或 36°,72°,72°.
7.解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1
所示,因为 CD 是△ABC的高,所以∠ADC=90°,
所以∠A=90°-∠ACD=90°-50°=40°.
因为△ABC是等腰三角形，所以
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示.
因为CD 是△ABC的高,所以∠ADC=90°,
所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-50°=40°,
所以∠BAC=180°-∠CAD=180°-40°=140°.
因为△ABC是等腰三角形，
所以
综上所述，这个等腰三角形的底角为70°或20°.
8. A 9. D
10.解：分两种情况讨论：
①当垂直平分线 DE 与直线 AB 的交点 E 在线段AB 上时，如图1，
因为 DE 是AC 的垂直平分线，所以∠ADE=90°,
又因为 所以
②当垂直平分线 DE 与直线 AB 的交点 E 在线段 BA 延长线上时，如图 2，
因为 DE 是 AC 的垂直平分线，所以
又因为
所以
所以
综上所述，顶角的度数是 或
11. B 12.3
13.解：点C 在图中如图所示：
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第二章 轴对称
专项训练 等腰三角形中的分类讨论思想
分类讨论是数学中经常用到的一种思想方法.所有的讨论题目都是因为某个条件叙述不确定从而存在多种情况.如在等腰三角形里，一条边可能是腰也可能是底；一个角可能是顶角也可能是底角；一条高可能在三角形内部也可能在外部……通过周密的分类，可以使题目得到清晰的解答.其解题思路为：先分类，再画图，后计算.
类型一 腰和底不确定，导致讨论
1.若等腰三角形的两边长分别是3 cm 和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A.8 cm B.13 cm C.8 cm 或13 cm D.11 cm 或 13 cm
2.四边形ABCD的边长如图所示，对角线 AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.若a,b满足 则以a,b 为边的等腰三角形的周长为__________.
类型二 顶角和底角不确定，导致讨论
4.若等腰三角形的一个内角等于 30°，则这个等腰三角形的顶角度数为 ( )
A.30° B.120° C.150° D.30°或120°
5.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值___________.
6.如果等腰三角形的两个内角之比为1：2，那么这个三角形的三个内角各是多少度
类型三 高的位置不确定，导致讨论
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是则这个等腰三角形的底角为多少
类型四 由腰上的中线引起讨论
8.等腰三角形 ABC的底边BC 长为10 cm,一腰上的中线 BD把 的周长分为差为6 cm的两部分，则其腰长为 ( )
A.16 cm B.4 cm C.4 cm 或 16 cm D.2 cm 或8 cm
9.在等腰 中， 腰长为12 cm,一腰上的中线 BD 把 的周长分为差为 4 cm的两部分，则其底边长为 ( )
A.8 cm B.16 cm C.8 cm 或 12 cm D.8 cm 或 16 cm
类型五 腰上的垂直平分线位置不确定，导致讨论
10.在 中， AC边的垂直平分线DE 与AC 相交于点D,与直线 AB 相交于点 E，且与直线 AB 所夹的锐角为 求顶角的度数.
类型六 画等腰三角形需要分类讨论
11.如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中 A，B 在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为 ( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10 个
12.如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，若点C 也在格点上，并且△ABC 是等腰三角形，则点 C的个数为________个.
13.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫做格点.请在图中清晰地标出使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形的所有点C(点C 为格点)的位置(可以用C ,C …表示).
参考答案
1. D 2. B 3.30 4. D 或
6.解：需分两种情况讨论：
①若底角和顶角之比为1：2，
设底角度数为α，那么顶角度数为2α，则α+α+2α=180°,
所以α=45°,此时2α=90°,
所以三角形的三个内角分别是45°，45°，90°.
②若顶角和底角之比为1：2，
设顶角度数为β，那么底角度数为2β，则β+2β+2β=180°,
所以β=36°,此时2β=72°,
所以三角形的三个内角分别是36°，72°，72°.
综上所述，三角形的三个内角分别是45°，45°，90°或 36°,72°,72°.
7.解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1
所示,因为 CD 是△ABC的高,所以∠ADC=90°,
所以∠A=90°-∠ACD=90°-50°=40°.
因为△ABC是等腰三角形，所以
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示.
因为CD 是△ABC的高,所以∠ADC=90°,
所以∠CAD=90°-∠ACD=90°-50°=40°,
所以∠BAC=180°-∠CAD=180°-40°=140°.
因为△ABC是等腰三角形，
所以
综上所述，这个等腰三角形的底角为70°或20°.
8. A 9. D
10.解：分两种情况讨论：
①当垂直平分线 DE 与直线 AB 的交点 E 在线段AB 上时，如图1，
因为 DE 是AC 的垂直平分线，所以∠ADE=90°,
又因为 所以
②当垂直平分线 DE 与直线 AB 的交点 E 在线段 BA 延长线上时，如图 2，
因为 DE 是 AC 的垂直平分线，所以
又因为
所以
所以
综上所述，顶角的度数是 或
11. B 12.3
13.解：点C 在图中如图所示：
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