第二章 轴对称 章末复习（含答案）
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第二章 轴对称
章末复习
类型一 轴对称图形和轴对称的性质应用
1.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是山西省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是 ( )
2.如图,∠AOB 内一点 P,P ,P ,分别是 P 关于OA,OB的对称点,P P 交 OA 于点M,交 OB 于点 N,若△PMN的周长是 5 cm,则 P P 的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.如图所示,点 P 是∠AOB 外的一点,点 Q 与点 P 关于OA 对称,点 R 与点 P 关于OB对称,直线 QR 分别交OA,OB 于点M,N.若 PM=PN=3,MN=4,求线段 QR 的长.
类型二 角平分线与线段的垂直平分线
4.如图，在 中， DE 是AB 的垂直平分线， 则 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
第 4 题图 第5题图
5.如图所示，直线 AB 是CD 的垂直平分线，下列结论正确的有 ( )
①AC=AD ②CD垂直平分AB ③△ABC≌△ABD ④AB平分∠CBD
A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC7.如图所示，已知直线 AB 与直线 BC 相交于点B,点 D 是直线 BC 上一点.
求作:点 E,使直线 DE∥AB,且点 E 到 B,D两点的距离相等.(在题目的原图中完成作图)
8.如图所示， 的边AB，AC的垂直平分线 PM,PN 相交于点 P,连接 PB,PC.若试求 的度数.
类型三 等腰三角形的性质与判定
9.如图, ∥,点 A 在直线上,点 B 在直线上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°.则∠2的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
第9题图 第10题图
10.5月 26 日,“2023 中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为 120°,腰长为 12 m,则底边上的高是 ( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
11.如图，等腰三角形 ABC 的底角为72°，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点 E，垂足为点D,连接 BE,则∠EBC 的度数为___________.
12.如图,在 中， AC,点 D为BC的中点,E,F 分别是AB,
AC上的点，且 连接 DE,DF,EF,AD.
求证：
类型四 等边三角形的性质与判定
13.如图所示，在等边三角形 ABC 中,AD⊥BC,E 为 AD 上一点,∠CED=55°,则 ∠ABE等于 ( )
A.10° B.20° C.25° D.30°
第13题图 第14题图
14.如图,在等边△ABC 中,BD⊥AC于点 D,QD=1.5,点 P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=2,在 BD 上有一动点E使PE+QE最短,则的最小值为( )
A.5 B.4 C.3.5 D.3
15.如图,已知5，P 是射线ON 上的一个动点，当 ________时， 为等边三角形.
16.如图1，在等边三角形ABC中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,连接AE,CD,AE与CD 相交于点 P.
(1)求证:
(2)如图 2,连接 PB,当. 时，求证:
易错点 性质与判定综合考虑不到位造成错误
17.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=60°,AE⊥BC于点E,AD平分∠BAE,EF⊥AD 于点 F,以下结论:①∠DEF=30°②AD=AC ③△AFE≌△AEC ④DE=CE.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
18.如图,AB∥CD,∠1=∠2,AD=AB+CD.
求证:(1)BE=CE;
(2)AE⊥DE.
参考答案
1. C 2. C
3.解:因为点 P 与Q 关于OA 对称,所以OA 垂直平分PQ，
所以 MQ=PM=3,同理可得 NR=PN=3.
因为 MN=4,所以 MQ+QN=4,所以QN=4-MQ=4-3=1,
所以QR=QN+NR=1+3=4.
4. C 5. C 6.6
7.解：如图所示，点E 即为所求作.
8.解：如图所示，连接AP.
因为 MP 为线段 AB 的垂直平分线，所以AP=BP,
所以∠ABP=∠BAP.
因为 PN 为线段AC 的垂直平分线，所以AP=CP,
所以∠PAC=∠ACP,所以BP=CP,
所以∠PBC=∠PCB.
又因为∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°,所以∠ABP+∠ACP=70°,
∠ABP +∠PBC +∠PCB +∠ACP +∠BAC=180°,所以∠PBC+∠PCB=40°,
所以∠PBC=∠PCB=20°.
9. A 10. B 11.36°
12.证明:(1)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 是BC 的中点,
所以 ∠B=∠C=45°,
所以∠B=∠DAB=∠DAF,所以BD=AD,
又因为BE=AF,所以△BED≌△AFD(SAS);
(2)由(1)可知,△BED≌△AFD,所以∠BDE=∠ADF,
因为 AB=AC,点 D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC,所以∠ADB=90°,
所以∠ADE+∠BDE=90°,所以∠ADE+∠ADF=90°,所以∠EDF=90°,
所以 DE⊥DF.
13. C 14. A 15.5
16.解:(1)证明:因为△ABC为等边三角形,
所以AB=BC=AC,∠ACB=∠B=∠CAB=60°,
在△ACE 和△CBD中,
所以△ACE≌△CBD(SAS),所以∠CAE=∠DCB,
所以∠APD=180°-∠CPA =∠CAE +∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°;
(2)过点 A 作 AM⊥CD,交 CD,BC 于点 M,N,
由(1)得∠APD=60°,所以∠PAN=30°,所以AP=2PM,
因为AP=2CP,所以AP=CM,
由(1)知∠BCD=∠CAE,所以∠ACP=∠EAB,
在△ACM和△BAP 中,
所以△ACM≌△BAP(SAS),
所以∠APB=∠CMA=90°,即 BP⊥PA.
17. C
18.证明:(1)如图,延长AB,DE,相交于点 F,
因为 DC∥AB,∠1=∠2,所以∠1=∠2=∠F,所以AD=AF,
因为AD=AB+CD,所以DC=BF.
因为∠2=∠F,∠DEC=∠BEF,DC=BF,所以△DCE≌△FBE(AAS),
所以CE=BE;
(2)因为△DCE≌△FBE,所以DE=EF.
因为 AD=AF,所以△DAF为等腰三角形，
所以 AE⊥DE.
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第二章 轴对称
章末复习
类型一 轴对称图形和轴对称的性质应用
1.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是山西省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是 ( )
2.如图,∠AOB 内一点 P,P ,P ,分别是 P 关于OA,OB的对称点,P P 交 OA 于点M,交 OB 于点 N,若△PMN的周长是 5 cm,则 P P 的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.如图所示,点 P 是∠AOB 外的一点,点 Q 与点 P 关于OA 对称,点 R 与点 P 关于OB对称,直线 QR 分别交OA,OB 于点M,N.若 PM=PN=3,MN=4,求线段 QR 的长.
类型二 角平分线与线段的垂直平分线
4.如图，在 中， DE 是AB 的垂直平分线， 则 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
第 4 题图 第5题图
5.如图所示，直线 AB 是CD 的垂直平分线，下列结论正确的有 ( )
①AC=AD ②CD垂直平分AB ③△ABC≌△ABD ④AB平分∠CBD
A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC
求作:点 E,使直线 DE∥AB,且点 E 到 B,D两点的距离相等.(在题目的原图中完成作图)
8.如图所示， 的边AB，AC的垂直平分线 PM,PN 相交于点 P,连接 PB,PC.若试求 的度数.
类型三 等腰三角形的性质与判定
9.如图, ∥,点 A 在直线上,点 B 在直线上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°.则∠2的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
第9题图 第10题图
10.5月 26 日,“2023 中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为 120°,腰长为 12 m,则底边上的高是 ( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
11.如图，等腰三角形 ABC 的底角为72°，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点 E，垂足为点D,连接 BE,则∠EBC 的度数为___________.
12.如图,在 中， AC,点 D为BC的中点,E,F 分别是AB,
AC上的点，且 连接 DE,DF,EF,AD.
求证：
类型四 等边三角形的性质与判定
13.如图所示，在等边三角形 ABC 中,AD⊥BC,E 为 AD 上一点,∠CED=55°,则 ∠ABE等于 ( )
A.10° B.20° C.25° D.30°
第13题图 第14题图
14.如图,在等边△ABC 中,BD⊥AC于点 D,QD=1.5,点 P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=2,在 BD 上有一动点E使PE+QE最短,则的最小值为( )
A.5 B.4 C.3.5 D.3
15.如图,已知5，P 是射线ON 上的一个动点，当 ________时， 为等边三角形.
16.如图1，在等边三角形ABC中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,连接AE,CD,AE与CD 相交于点 P.
(1)求证:
(2)如图 2,连接 PB,当. 时，求证:
易错点 性质与判定综合考虑不到位造成错误
17.如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=60°,AE⊥BC于点E,AD平分∠BAE,EF⊥AD 于点 F,以下结论:①∠DEF=30°②AD=AC ③△AFE≌△AEC ④DE=CE.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
18.如图,AB∥CD,∠1=∠2,AD=AB+CD.
求证:(1)BE=CE;
(2)AE⊥DE.
参考答案
1. C 2. C
3.解:因为点 P 与Q 关于OA 对称,所以OA 垂直平分PQ，
所以 MQ=PM=3,同理可得 NR=PN=3.
因为 MN=4,所以 MQ+QN=4,所以QN=4-MQ=4-3=1,
所以QR=QN+NR=1+3=4.
4. C 5. C 6.6
7.解：如图所示，点E 即为所求作.
8.解：如图所示，连接AP.
因为 MP 为线段 AB 的垂直平分线，所以AP=BP,
所以∠ABP=∠BAP.
因为 PN 为线段AC 的垂直平分线，所以AP=CP,
所以∠PAC=∠ACP,所以BP=CP,
所以∠PBC=∠PCB.
又因为∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°,所以∠ABP+∠ACP=70°,
∠ABP +∠PBC +∠PCB +∠ACP +∠BAC=180°,所以∠PBC+∠PCB=40°,
所以∠PBC=∠PCB=20°.
9. A 10. B 11.36°
12.证明:(1)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 是BC 的中点,
所以 ∠B=∠C=45°,
所以∠B=∠DAB=∠DAF,所以BD=AD,
又因为BE=AF,所以△BED≌△AFD(SAS);
(2)由(1)可知,△BED≌△AFD,所以∠BDE=∠ADF,
因为 AB=AC,点 D 是 BC 的中点,所以 AD⊥BC,所以∠ADB=90°,
所以∠ADE+∠BDE=90°,所以∠ADE+∠ADF=90°,所以∠EDF=90°,
所以 DE⊥DF.
13. C 14. A 15.5
16.解:(1)证明:因为△ABC为等边三角形,
所以AB=BC=AC,∠ACB=∠B=∠CAB=60°,
在△ACE 和△CBD中,
所以△ACE≌△CBD(SAS),所以∠CAE=∠DCB,
所以∠APD=180°-∠CPA =∠CAE +∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB=60°;
(2)过点 A 作 AM⊥CD,交 CD,BC 于点 M,N,
由(1)得∠APD=60°,所以∠PAN=30°,所以AP=2PM,
因为AP=2CP,所以AP=CM,
由(1)知∠BCD=∠CAE,所以∠ACP=∠EAB,
在△ACM和△BAP 中,
所以△ACM≌△BAP(SAS),
所以∠APB=∠CMA=90°,即 BP⊥PA.
17. C
18.证明:(1)如图,延长AB,DE,相交于点 F,
因为 DC∥AB,∠1=∠2,所以∠1=∠2=∠F,所以AD=AF,
因为AD=AB+CD,所以DC=BF.
因为∠2=∠F,∠DEC=∠BEF,DC=BF,所以△DCE≌△FBE(AAS),
所以CE=BE;
(2)因为△DCE≌△FBE,所以DE=EF.
因为 AD=AF,所以△DAF为等腰三角形，
所以 AE⊥DE.
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