第1章 图形的相似单元测试（B卷提升篇）（含解析）

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青岛版9上数学 第1章图形的相似单元测试（ B卷提升篇）（含答案）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的相似比为的，则位似中心的坐标和的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则 的周长为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心将放大得到若点、的横坐标分别为、，且，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则，，的数量关系为( )
A. B. C. D.
5.如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短它是由长度相等的两脚和交叉构成的如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度的地方即同时使，，然后张开两脚，使，两个尖端分别在线段的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度本题依据的主要数学原理是( )
A. 三边成比例的两个三角形相似
B. 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
C. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D. 平行线分线段成比例
6.如图，面积为的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上．若，则小正方形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，点，在对角线上如果四边形是菱形，那么线段的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，为上任一点，为中点，连接，在上，且满足，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，绕正方形的顶点顺时针旋转，得，连接交于，有如下五个结论；：：；；：：则正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.下列命题：如图，正方形中，、分别为、上的点，，、交于，交于，为的中点，交于，连
下列结论中：
；；；
其中正确的命题有( )
A. 只有 B. 只有 C. 只有 D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当，，三点共线时，旋转角为，连接，交于于点，下面结论：
为等腰三角形；；；∽；中，正确的结论的序号为______．
12.如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点的对应点为，点位于处，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为______．
13.如图，刘强在巴中塔子山游乐园游玩时，为了测量彩虹桥高度，在地面处放一面镜子，通过镜子恰好看到彩虹桥顶部，测得镜子与彩虹桥的距离米，他与镜子的距离米已知他的眼睛距离地面的高度米，则彩虹桥的高度为______米
14.如图，已知中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为连接，设运动的时间为单位：当为______时，和相似．
15.如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交于点，若，则 ______．
16.如图，在矩形纸片中，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处有下列结论：
．
其中正确的是 把所有正确结论的序号都选上
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，为的边上一点，，，求证：∽．
18.本小题分
如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约米的点处即米，把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点和建筑物顶端在一条直线上，点和底端在一条直线上已知晓波的臂长约为厘米，小棍的长为厘米，，，求这个建筑物的高度．
19.本小题分
如图，在与中，，，连接，．
求证：∽；
若：：，求的值．
20.本小题分
如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．
求证：∽；
若，求线段的长．
21.本小题分
如图，在中，点，分别在边，上，连接，且求证：．
22.本小题分
同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
已知：如图，中，是角平分线．
求证：．
方法一
证明：如图，过点作，与的延长线交于点．
方法二
证明：如图，过点作于，过点作于．
23.本小题分
如图，在正方形中，，的中点分别为，，连接，交于点，连接，平分交于．
探索与的关系；
求证：点为中点；
求的值．
24.本小题分
如图，先把一矩形纸片对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，得到过点折纸片使点叠在直线上，得折痕．
求证：∽；
你认为和相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图所示，位似中心的坐标为，的值为故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
根据平行四边形的性质得，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得，，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质得到∽，且相似比为：，根据相似比等于位似比计算即可．
【解答】
解：以原点为位似中心，将放大得到，点、的横坐标分别为、，，
∽，且相似比为：，
，
，
．
4.【答案】
【解析】如图，设与交于点．四边形是正方形，，，∽，．，，四边形是矩形，．，，正方形的边长是，，，，，，，故选D．
5.【答案】
【解析】解：，，
：：：，
，
∽．
故选：．
利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似解答．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．
6.【答案】
【解析】解：四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
∽，
，
又，，则，
，
，
在中，由勾股定理可求得，
小正方形的边长为，
则小正方形的周长，
故选：．
由条件可证明∽，则有，代入可求得，在中可求得，即小正方形的边长，进而可求出小正方形的周长．
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，利用相似三角形的对应边的比相等求得的长是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接交于，如图：
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
中，，，
，
，
，，
∽，
，
即，
，
故选：．
连接交于，易证得≌，可得，由勾股定理求得的长，求得的长，证∽，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明，取中点，构造直角三角形的斜边中线等于斜边一半．
先证明通过∽，说明，取中点，则，，再由、、三点共线时，可以取到，即可得到答案．
【解答】
解：在和中，
，
，
，
∽，
，
．
如图，取中点，则．
在中，，，，
，
，
为中点，
且，
当且仅当、、三点共线时，最小，
最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，≌
，，．
，故此选项正确；
是等腰直角三角形，有：：，故此选项正确；
与不相似，
不正确．故此选项错误，
过点作，则，
，，
，
故正确；
，
∽，
：：，故此选项正确．
故选C．
由旋转的性质证出，，可得出正确；过点作，则，可得出正确；证明∽，得出：：，则正确．
此题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及直角三角形斜边中线的性质，比较综合，有一定难度．
可证≌得到∽，所以得证；
由题意正方形中，由知，证得≌，得到即得证；
由≌，所以，只有是的中点时，等于的一半，所以错误；
过点作垂直，交于点，由题意可证得≌故GC，且是等腰直角三角形，，所以式成立．
【解答】
解：四边形为正方形，
则，，
，
≌，
，
又
∽，
，
即，正确；
四边形是正方形，
，即，，
由题意正方形中，
由知，
，
≌，
，即正确；
≌，
，
因为，
所以只有当为的中点时，，
但由于点是运动的，不恒为中点
故错误；
过点作垂直，交于点，
，
故，即，
在与中，
故≌，
则，，
，
是等腰直角三角形，
则，
故，
所以式成立．
综上所述，正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由旋转的性质可知，
为等腰三角形，即正确；
，
，
又，
，
，
；
正确；
，
旋转角，故错误；
，
，
，
，
在与中，
，，
∽，即正确；
在与中，
，，
∽，
，
如图，过点作，
设，则，，，，，
，
，
，即正确．
故答案为：．
首先根据旋转的性质得出，从而结论可判断；再通过三角形内部角度及旋转角的计算对作出判断；通过，，判定∽；通过证明∽，利用相似三角形的性质列式计算对作出判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过作轴于，过作轴于，
则，
∽，
，
点的对应点为，点位于处，
，
和的相似比为：，
过点作作于，过点作轴于，
则，
∽，
，
点的坐标为，点的横坐标为，
，
和的相似比为：，即，
，
解得：，
点的横坐标为，
故答案为：．
过作轴于，过作轴于，过点作作于，过点作轴于，得到∽，根据相似三角形的性质求出和的相似比，进而求出，根据坐标与图形性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，
，
∽，
，
，
解得：，
彩虹桥的高度为米，
故答案为：．
根据题意可得：，，，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：由题意得：，，，
，
，
是直角三角形，，
和有公共角，
只要或等于，和就相似，
当时，∽，
，
即，
解得：；
当时，∽，
，即，
解得：；
综上所述，为或时，和相似，
故答案为：或
由题意得，，，先证是直角三角形，，当时，∽，则，求出；当时，∽，则，求出；即可得出答案
本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：如图，当点在线段上时，过点作交的延长线于点，过点作于点，
设，则，作于，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得，
，，
，
，
∽，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
设，则，
由得，，
过点作交的延长线于点，过点作于点，
同理可得，，，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
当点在线段上时，作，交的延长线于，作于，设，则，解直角三角形，求得的长，根据∽求得，进而求得，进一步得出结果；当点在的延长线上时，设，则，同样方法求得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．
由折叠性质得，，，易得，于是可对进行判断；根据，，则在中利用勾股定理可计算出，所以，设，则，在中利用勾股定理得，即，，；易知，得出，，若，则，但，则可判定根据三角形面积公式可对进行判断；利用，，可对进行判断．
【解答】
解：，，，
，故正确
，，，
，
设，则，
在中，，
，，
即，，
，，
，
，
又，
，
又，
，
，即，
，，
若，则，
但，故不正确
，，，
，
，故正确
，
，，故正确．
17.【答案】解：，，
，
，，
，
又，
∽．
【解析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．直接利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似去证明即可．
18.【答案】解：如图，过点作，交于点，垂足为，
由题意，得厘米米，米，厘米米，
，
∽，
，
，
米．
答：这个建筑物的高度为米．
【解析】过点作，交于点，垂足为，根据，得到∽，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案．
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
19.【答案】证明：，，
∽，
，，
，
，
又，
，
∽；
解：：：，
，
，
，
由可知，∽，
．
【解析】首先证明∽，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明∽即可；
首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
20.【答案】证明：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
∽；
解：在中，，
∽，
，即，
解得．
【解析】利用得到，则根据，可判断∽；
先利用勾股定理计算出，由于∽，则利用相似比可计算出 ．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
又，
．

【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先证明，再由可以根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似证明结论．
22.【答案】方法一：证明：如图，过点作与得延长线交于点．
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
方法二：证明：如图，过点作于，过点作于，过点作于．
平分，
，
，
，
．
【解析】过作交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，可得结论；
通过和面积的比来证明即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，面积法，掌握相关图形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：在正方形中，
，，、分别为边、的中点，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，；
证明：方法一：如图，延长交延长线于，
为中点，
，
又四边形是正方形，
，，
，
为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
又，
，
，
平分，
为中点；
方法二：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
为中点，
，
≌，
，
由已证≌，
，
又，
，
，
又由已证，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
平分，
为中点；
解：设正方形的边长为，则由和可得：，，
四边形是正方形，
，
，
在与中，
，，
∽，
，即，
，，
，
．
【解析】根据在正方形性质证明，≌，可得，，再等量代换证明，即可解答；
方法一：延长交延长线于，先证明≌，所以，，再根据三线合一即可解答；
方法二：连接，根据正方形性质，证明≌，所以，又由已证≌，从而证明、、、四点共圆，所以，，所以，从而解答问题；
设正方形的边长为，则由和可得：，，由勾股定理得，再证明∽，所以，即，解出，，再根据，即可解答．
本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆的判定、同弧所对的圆周角相等等性质，解题关键是熟练掌握以上性质，属于中考题型．
24.【答案】证明：，，
．
在与中，
，，
∽．
解：和相似．
∽，
．
，
．
又，
∽．
【解析】和都是直角三角形，所以再证一对角相等即可．由得，易证得证．
和都是直角三角形，利用的结论，结合可证直角的两边对应成比例，得证．
此题把折叠问题与相似三角形结合起来，有一定难度．
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