第一章 勾股定理单元质检卷（B卷） 八年级上册数学北师大版(2012)（含解析）

（2）勾股定理—八年级上册数学北师大版(2012)单元质检卷（B卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,书中有一个关于门和竹竿的问题,简译为：今有一扇门,不知门的高和宽.另有一竹竿,也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺,竹竿竖着放时比门的高长2尺,竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等,求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
2.下列几组线段中,不能组成直角三角形的是( )
A.5,12,13 B.6,8,10 C.7,24,25 D.8,25,27
3.放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里.已知学校A.晓华家B，彬彬家C的两两之间的距离如图所示，且晓华家B在学校A的正东方向，则彬彬家C在学校A的( )
A.正南方向 B.正东方向 C.正西方向 D.正北方向
4.如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是( )
A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺
5.在学习《直角三角形》这一章时,爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中.按照这个规律,当时,b的值是( )
a 3 5 7 9 11 …
b 4 12 24 40 60 …
c 5 13 25 41 61 …
A.611 B.612 C.613 D.614
6.下列说法中正确的是( )
A.已知a,b,c是三角形的三边,则
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在中,,所以
D.在中,,所以
7.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
8.如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是( )
A.9 B. 8 C.7 D.6
9.国是较早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：
①；
②；
③；
④，其中正确的是( )
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.已知三角形三边长分别为6,8,10,则此三角形的面积为______.
12.定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则_____.
13.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为______(滑轮上方的部分忽略不计).
14.如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,面积分别记为,,,.若,,则______.
15.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则______.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨,在超市门口离地面一定高度的墙上D处,装有一个由传感器控制的迎宾门铃,人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时,门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音如图,一个身高1.6米的学生刚走到A处(学生头顶在B处),门铃恰好自动响起,此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等,请你计算迎宾门铃距离地面多少米？
17.（8分）如图，在中，，，，垂足为点D，点E是边上一点，连接，若，，求的长.
18.（10分）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在中,,若,,,请你利用这个图形解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若拼成的大正方形面积为169,小正方形的面积为49,求的值.
19.（10分）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距50海里.
（1）求两船速度分别是多少？
（2）求客船航行方向.
20.（12分）如图是一块地，已知，，，，且
(1)连接，说明是直角三角形；
(2)求这块地的面积
21.（12分）勾股定理的证明与计算
在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律.
(1)右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程.
(2)它体现的数学思想是( )
A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想
(3)如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：.
证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程：
答案以及解析
1.答案：C
解析：设门的对角线长为x尺,则可列方程为：
故选：C.
2.答案：D
解析：A、,即能组成直角三角形,故本选项不合题意；
B、,即能组成直角三角形,故本选项不合题意；
C、,即能组成直角三角形,故本选项不合题意；
D、,即不能组成直角三角形,故本选项符合题意；
故选：D.
3.答案：D
解析：由图可得：，，，
，
是直角三角形，
彬彬家C在学校A的正北方向，
故选：D.
4.答案：C
解析：设芦苇的长度为x尺，则为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度为8.5尺.
故选C.
5.答案：B
解析：由表格中的数据得：,,
∴,
∴当时,则,
解得：,
故选：B.
6.答案：C
解析：A.若该三角形不是直接三角形,则等式不成立,故本选项错误；
B.在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,故本选项错误；
C.在中,,a、b、c分别是,,的对边,则,故本选项正确；
D.在中,,a、b、c分别是,,的对边,则,故本选项错误；
故选C.
7.答案：A
解析：∵,,,,
,
即,,,
∴不是直角三角形,不是等腰三角形.
∵是钝角三角形,
∴是锐角三角形.
故选：A.
8.答案：A
解析：由题意可得，
解得 ，
或(不合题意，舍去)
即 ，
故选: A.
9.答案：C
解析：A.大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，，故本选项不符合题意；
B.梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C.图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
D.图中图形面积等于边长为c的正方形面积，加上两个直角边分别为a、b的长方形面积，即其面积为：，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为：，，故本选项不符合题意；
故选：C.
10.答案：A
解析：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
在和中
，
，
，故①正确；
连接，如图：
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，故②正确；
延长交于H，如图：
，，
，，
，故③正确；
在中，，
，
，
，，
，
，故④正确，
综上所述，正确的有①②③④，
故选：A.
11.答案：24
解析：∵,
∴此三角形为直角三角形,
∴此三角形的面积为：.
故答案为：24.
12.答案：61
解析：∵是“垂美”四边形，
∴，
∴，
故答案为：61.
13.答案：
解析：设旗杆高度为，过点C作于B，
则，，
在中，
即，
解得：，即旗杆的高度为17米.
故答案为：.
14.答案：86
解析：如图,连接.
由题意,得,,,.
在中,由勾股定理得.
在中,由勾股定理得.
.
,
故答案为：86.
15.答案：4
解析：如图所示，根据题意可得：，
，
在和中
在中，，
，
，，，
同理可得：，
，
故答案：4.
16.答案：迎宾门铃距离地面2.6米
解析：由题意知,,,,,
如图,作于点E,则,,
设迎宾门铃距离地面x米,则,,
在中,由勾股定理得：,即,
解得：.
∴迎宾门铃距离地面2.6米.
17.答案：的长为
解析：，，
.
是直角三角形，且.
.
，
.
设，则.
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
的长为.
18.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：大正方形的面积表示为,又可以表示为,
∴,
∴,
∴.
(2)∵大正方形的面积为169,
∴
∵小正方形的面积为49,
∴
∵大正方形的面积,
∴,
∴,
∴.
19.答案：（1）客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时
（2）客船航行的方向为北偏东10°方向
解析：（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依题意得，
.
解得，
，，
客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）由题可得，，，，
，
是直角三角形，且，
又货船沿南偏东方向航行，
客船航行的方向为北偏东方向.
20.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)
，
，
，
又，
；
，
，
又，
，
，
是直角三角形；
(2).
21.答案：(1)见解析
(2)C
(3)见解析
解析：(1)如图1所示，大正方形的边长为，则其面积为，
又由大正方形面积为四个全等的直角三角形的面积加上一个边长为c的正方形面积，即大正方形的面积为，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，同理根据面积相等可得，
∴，
∴；
(2)根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C；
(3)如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.