第一章 直角三角形的边角关系单元质检卷（B卷） 九年级下册数学北师大版(2012)（含解析）

（2）直角三角形的边角关系—九年级下册数学北师大版(2012)单元质检卷（B卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.的值等于( )
A.1 B. C. D.2
2.如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了米，则客机直线爬升的距离为( )
A. B. C. D.
3.如图,一艘轮船航行至O点时,测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向,且它与灯塔A相距13海里,继续沿正东方向航行,航行至点B处时,测得灯塔A恰好在它的正北方向,则的距离可表示为( )
A.海里 B.海里
C.海里 D.海里
4.如图,梯子(长度不变)与地面所成的锐角为,关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列说法中,正确的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关
5.周末,刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起去江边垂钓.如图.钓鱼竿的长为4m.露在水面上的鱼线的长为,刘老师想看看鱼钩上的情况.把鱼竿逆时针转动15°到的位置,此时露在水面上的鱼线的长度是( )
A.3m B. C. D.
6.如图,东西方向上有A,C两点,点B在点A的北偏东方向上,在点C的北偏西方向上,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图,直线与坐标轴交于点A、B,则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
8.中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识.如图,在由四个全等的直角三角形(,,,)和中间一个小正方形拼成的大正方形中,设,若,则正方形与正方形的面积的比值为( )
A.13 B. C.5 D.
9.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.一段公路路面的坡度为,如果某人沿着这段公路向上行走了260米,那么此人升高了________米.
12.计算：________.
13.如图,在中,,,点D为边上的中点.连接,过点B作于点E,延长交于点F,则的长为__________.
14.在中，，.若是锐角三角形，则边长的取值范围是__________.
15.如图，在中，，，，，线段绕点A旋转，点P为的中点，则的最大值是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）中,,,点D在上,,,求的长.
17.（8分）如图,在中,点E,F分别在,上,且,.
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若,,,求的长.
18.（10分）无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测最大楼的高度,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处俯角为,楼顶C点处的俯角为,已知点A与大楼的距离为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度(结果保留根号)
19.（10分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）.
20.（12分）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：.
证明：如图1，过点C作于点D，则：
在中，
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积.(结果保留根号.参考数据：，)
21.（12分）如图,车站A在车站B的正西方向,它们之间的距离为100千米,修理厂C在车站B的正东方向.现有一辆客车从车站B出发,沿北偏东方向行驶到达D处,已知D在A的北偏东方向,D在C的北偏西方向.
(1)求车站B到目的地D的距离(结果保留根号)
(2)客车在D处准备返回时发生了故障,司机在D处拨打了救援电话并在原地等待,一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿方向前往救援,同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿方向前往接送滞留乘客,请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处.(参考数据：,,)
答案以及解析
1.答案：C
解析：,
故选：C.
2.答案：A
解析：，
米，
故选：A.
3.答案：A
解析：如图,由题意可知,,
在中,
,,海里,
∴海里.
海里.
故选：A.
4.答案：A
解析：A、的值越大,则越大,则梯子越陡,原说法正确,符合题意；
B、的值越大越小,梯子越平缓,原说法错误,不符合题意；
C、的值越小越小,梯子越平缓,原说法错误,不符合题意；
D、陡缓程度与的函数值有关,原说法错误,不符合题意；
故选：A.
5.答案：C
解析：∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选：C.
6.答案：B
解析：A、根据图象得,
∴,选项错误,不符合题意；
B、根据图象得,
∴,选项正确,符合题意；
C、,选项错误,不符合题意；
D、,选项错误,不符合题意；
故选：B.
7.答案：A
解析：∵直线与坐标轴交于点A、B,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
解得,
∴,
故选：A.
8.答案：A
解析：设小直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,斜边长为c,
∵四边形是正方形,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
,
∴正方形与正方形的面积的比值为13,
故选：A.
9.答案：A
解析：设宽为x，
宽与长的比是，
长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
，
，
，
设，
在中，，
变形得：，
，，
，
故选A.
10.答案：A
解析：过G作于H，
四边形ABCD是矩形，
，，
，，
，
，
，
和是等腰直角三角形
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故选：A.
11.答案：100
解析：设此人升高了x米,
∵坡度为,
∴他行走的水平距离为米,
由勾股定理得,,
解得：(负值舍去),
即他沿着垂直方向升高了100米,
故答案为：100.
12.答案：0
解析：
故答案为：0.
13.答案：/
解析：过点D作于点M,
∵,,点D为边上的中点,.
∴,,,；
∴,,
∴,,
∴,
∴,
故答案为：.
14.答案：
解析：如图，作的高，，
是锐角三角形，
，在的内部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案为：.
15.答案：
解析：取的中点M，连接、.
，，，
，
，
，
P、M分别是的中点，
.
如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值，
最大值为，
故答案为：.
16.答案：30
解析：∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,.
17.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：∵
∴,
∵
∴即
∴四边形是平行四边形
∵
∴是矩形；
(2)∵矩形
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
18.答案：大楼的高度为
解析：如图,过P作于H,过C作于Q,而,
则四边形是矩形,
∴,,
由题意可得：,,,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴大楼的高度为.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，，
，，
在中，由，
得：，
，
答：；
（2）在中，由勾股定理得，，
在中，，
，
，
由题意得，，
，
，
答：物体上升的高度约为.
20.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：如图2，过点A作于点D，
在中，，
在中，，
，
；
(2)如图3，过点A作于点E，
，，
，
在中，
又，
即，
，
.
21.答案：(1)千米
(2)能
解析：(1)过点D作于点E,如图,
则,
由题意知,,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
设千米,则千米,
在中,,
∴,
∵,
∴,
解得：,
∴千米,
即车站B到目的地D的距离为千米；
(2)根据题意得,
又,
∴千米,
又∵
∴千米,
救援车所用时间为：(时)；
应急车所用时间为：(时)
∵,
∴救援车能在应急车到达之前赶到D处.