第一章 特殊平行四边形单元质检卷（B卷）九年级上册数学北师大版(2012)（含解析）

（2）特殊平行四边形—九年级上册数学北师大版(2012)单元质检卷（B卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件( )
A.矩形 B.菱形 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
2.已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是( )
A.当时，它是菱形 B.当时，它是菱形
C.当时，它是菱形 D.当时，它是菱形
3.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,,F为DE的中点.若的周长为18,则OF的长为( )
A.3 B.4 C. D.
4.如图，菱形的对角线，相交于点O，于点H，连接，若，菱形的面积为，则的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,正方形ABCD的面积为169,G是BC上的一点,于点E,,且交AG于点F,若,则EF的长是( )
A. B.13 C.8 D.7
6.菱形，，E，F分别是，上两点，连接，，，且，如果，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
7.如图,四边形为正方形,E为上一点,于点F,连接,设,若,则可表示为( )
A. B. C. D.
8.如图,在矩形中,,连接,分别以点A,C为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N,直线分别交,于点E,F.下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分,则.其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9.如图,在中,,,,为边上一动点,于点E,于点F,点M为的中点,则的最小值为( )
A.1.4 B.2.4 C.1.2 D.1.3
10.如图,菱形ABCD中,,AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且,连接BE分别交AC,AD于点F、G,连接OG,则下列结论正确的是( )
①；②与全等的三角形共有2个；③；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.已知菱形的面积为,对角线长为,则对角线__________厘米.
12.如图,在矩形中,,,点P为边上任意一点,过点P作,,垂足分别为E、F,则____________.
13.如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为______.
14.如图,菱形的边长为4,,M为的中点,点N在上.若N是上动点,则的最小值为_________.
15.如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕、与相交于点N，若直线交直线于点O，，，则的长为________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）如图,在中,,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证：；
(2)求证：四边形ADCF为矩形.
17.（8分）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，DE平分交BC于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若，求的度数；
(3)在(2)的条件下，若，求矩形ABCD的面积.
18.（10分）在中,,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作交BE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若,,求菱形ADCF的面积.
19.（10分）如图1,中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线,设MN交的平分线于点E,交的平分线于点F.
(1)线段CE与CF的位置关系是______；
(2)探究：线段OE与OF的数量关系,并加以证明；
(3)如图2,当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并说明理由；
(4)在(3)的前提下,直接写出满足什么条件时,四边形AECF是正方形.
20.（12分）如图1,正方形中,点E,G,H分别在、、上,且,垂足为点O.
(1)求证：；
(2)平移图1中线段,使点G与点D重合,点H在延长线上,连接,取中点P,连接.如图2,试探究线段CP与BE的数量关系,并说明理由.
21.（12分）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形.
(1)定义以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(2)如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形；
(3)如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N.在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：四边形的中点四边形是一个矩形，
四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可，
故选：D.
2.答案：D
解析：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：D.
3.答案：D
解析：∵,的周长为18,
∴.
∵F为DE的中点,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,O为BD的中点,
∴OF是的中位线,
∴,
故选D.
4.答案：C
解析：四边形ABCD是菱形，
，.
，
.
.
，
.
.
故选：C.
5.答案：D
解析：∵正方形的面积为169,
,
∵于点E,,
∵于点E,,
∴,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
故选：D.
6.答案：D
解析：如图，连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
；
，
，
；
，
，
；
在与中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选项A正确；
，
，
，
故选项B正确；
，
故选项C正确；
，
，
故选项D错误；
故选：D.
7.答案：C
解析：如图所示,过点D作于G,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
故选C.
8.答案：C
解析：设交于点O
由作图知,垂直平分
,
在矩形中,
四边形是菱形
∴①正确
四边形是菱形
∴②正确
,
∴③错误
平分
∴④错误.
故选C.
9.答案：C
解析：如图,连接AP
,,,
,
,,
,
∴四边形是矩形,
,
∵M是EF的中点,
,
根据垂线段最短可知,当时,AP最短,
则PM也最短,
此时,
,
,
即AP最短时,,
的最小值,
故选:C.
10.答案：A
解析：∵四边形ABCD是菱形,
∴,,,,,
∴,,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴OG是的中位线,
∴,故①正确；
连接AE,
∵,,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∵,
∴、是等边三角形,
∴,,
∴,四边形ABDE是菱形,故④正确；
∴,
由菱形的性质得：,
在和中,
,
∴,
∴,故②不正确；
∵,
∴,
∵四边形ABDE是菱形,
∴,
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等,故③正确；
故选：A.
11.答案：8
解析：根据菱形的性质可得菱形面积等于对角线相乘除以2,
(厘米),
故答案为：8.
12.答案：
解析：∵矩形中,,,
∴,
∴,,
连接,
根据矩形的性质,得,,
解得,
故答案为：.
13.答案：6
解析：四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
.
故答案为：6
14.答案：
解析：菱形的边长为4,,
,,
是等边三角形,
点关于的对称点为B点,连接交于点N,如图,
∴此时最小,
∵M为的中点,
,,
.
故答案为：.
15.答案：
解析：连接，，
四边形是矩形
由折叠得：，点B与A关于直线对称，点与点A关于直线对称，
垂直平分，垂直平分，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
.
故答案为：.
16.答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：∵,
∴,
∵E是线段AD的中点,
∴,
∵,
∴；
(2)证明：∵,
∴,
∵D是线段BC的中点,
∴,
∴,
∵,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵,
∴,
∴,
∴四边形ADCF为矩形.
17.答案：(1)见解析
(2)75°
(3)
解析：(1)证明：，
，
，
，
，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，DE平分，
，
，
又，
，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
(3)∵四边形ABCD是矩形，
，，
由(1)可知，，
，
∴，
∴矩形OEC的面积.
18.答案：(1)证明见解析
(2)10
解析：(1)证明：如图,∵,
∴,
∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,
∴,,
在和中,
,
∴；
∴.
∵,
∴,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵,D是BC的中点,
∴,
∴四边形ADCF是菱形；
(2)连接DF,
∵,,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴,
∵四边形ADCF是菱形,
∴.
19.答案：(1)
(2),证明见解析
(3)O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,理由见解析
(4)当时,矩形AECF是正方形
解析：(1)结论：.理由如下：
∵CE平分,CF平分,
∴,,
∵,
∴,
∴,
故答案为：.
(2)结论：.理由如下
∵CE为的平分线,CF为的平分线,
∴,,
∵,
∴,,
∴,,
∴,,
∴.
(3)O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下：
∵O为中点,
∴,且,
∴四边形AECF平行四边形,
∵,
∴四边形AECF为矩形,
∴当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形.
(4)当时,矩形AECF是正方形.理由如下：
∵,,
∴,
∴,
∴矩形AECF是正方形.
20.答案：(1)证明见解析
(2),理由见解析
解析：(1)证明：作平行四边形,则,,,
,
,
,
,
在和中,
,
,
；
(2),理由是：
在上截取一点N,使得.则是等腰直角三角形,.
,
,
,,
,
,
,
,即.
21.答案：(1)②④
(2)见解析
(3)，理由见解析
解析：(1)∵矩形和正方形都有一组邻角相等，
∴矩形和正方形是等邻角四边形，
故答案是：②④；
(2)证明：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为等邻角四边形.
(3)，理由如下：
过点P作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为等邻角四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
即.