中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册，第六章
课标要求 1、探索实例中的数量关系和变化规律，了解常量与变量的意义。2、结合实例，了解一次函数的三种表现形式。能举出函数的实例。3、能结合图像对对简单的实际问题中的函数关系进行分析。4、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。5、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。6、结合对函数关系的分析，能对函数的变量的变化情况进行讨论。7、结合具体情境，体会反比例函数的意义，能根据函数条件确定函数表达式。8、能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式探索并理解K>0和K<0的图像变化。9、能用反比例函数的知识解决实际问题。
内容分析 本章主要内容是反比例函数的概念、解析式、性质和图像，是学习已经学习了图形与坐标和一次函数后继续探索函数，是学习进一步理解函数的内涵，并感受现实生活中存在各种函数以及用函数的额方法解决实际问题。反比例函数是最根本的函数之一，是后续学习各种函数的基础。本章主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步对具体函数的感性认识上升代理性认识，
学情分析 小学学过正反比例，在八年级学生已经学习了一次函数，对一次函数的定义和一次函数的表现形式有了一定的了解。积累了一些研究方法、和运用函数的观念处理问题的经验。九年级学生抽象思维能力、推理能力、综合概括能力逐步发展，但尝未成熟，他们能理解一些抽象的概念和性质，但可能需要具体的情景或图形来支撑。所以本章教学尽量以情景为切入口，注重数型结合。
单元目标 教学目标知识与技能领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式。掌握反比例函数的图像和性质。能用反比例函数的知识解决实际问题。过程与方法经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数的模型，进而解决实际问题的过程，运用反比例函的解析式和图像表示问题情境反比例函数量之间的关系，进而用反比例函数的图像和性质解决实际问题。情感态度与价值观体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感态度增强运用意识，体会数形结合的数学思想。培养学生自主学习，利用代数的方法解决实际问题。（二）教学重点、难点重点；反比例函数是继一次函数后又一重要的根本函数，它为后续学习图像和曲线的关系提供了研究方法，反比例函数本身在日常生产和生活中有许多直接运用，这对学生的建模思想、数型结合思想等重要思想的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章的重点。难点：反比例函数的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章的难点之一。综合运用反比例函数的解析式、图形和性质来解决实际问题，往往会遇到复杂的问题情境，需要建模，利用图像和方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数的知识解决实际问题又是本章的另一个难点。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1反比例函数12反比例函数的图像和性质13反比例函数的运用14回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务反比例函数1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间相互关系，加深对函数概念理解。2．经历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。3．通过辨析反比例函数与正比例函数等的区别以及求反比例函数关系式等，培养学生基本数学素养（创新思维、建模能力；类比、分类思想；待定系数法等）4．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学数学兴趣。5．通过本课学习培养学生既独立思考又合作交流的良好学习习惯。1、学生思考并回答问题。2、小组探究问题1、2.3、单独完成问题3.4、教师引导学生总结反比例函数的定义，理解反比例函数具备的条件。5、认识反比例函数的几种表达形式。6、小组合作共同完成例题的学习。教师关注学困生。环节一：复习旧知环节二；探究反比例函数的定义。环节三：典例精析反比例函数的图像和性质知识与技能：1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，能描点画出反比例函数的图象。2、能根据图象数形结合，引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。3、能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，进一步理解数形结合的思想方法。过程与方法：通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力。通过观察图象，引导探究反比例函数图象的相关性质，让学生进行概括，培养学生数形结合思想，训练学生的总结、归纳能力。情感态度价值观：通过观察、动手作图、讨论合作、探究得出反比例函数的图像与性质，培养学生自主探究、合作交流的能力。让学生积极参与到教学活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，激发学生学习数学的兴趣。1、`引导学生回忆反比例函数的定义。2、回顾一次函数的图像和性质。3、回顾一次函数的作图过程。4、类比一次函数的作图，对反比例函数作图。5、小组合作对照图像探究反比例函数的性质。6、教师引导学生完成例题1的学习。7、自主探究K值对函数图像的影响。从而得到增函数、减函数的含义。环节一：复习旧知环节二；探究反比例函数的图像和性质。环节三：典例精析反比例函数的应用1. 经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。2．体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。3. 培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。1、学生根据教师的引导，回答问题，逐步完成表格内容。2、学生独立完成引例。3、小组探究变式1、2、34、总结反比例函数的系数K与对曲线上的点出发构成的几何图形面积的关系。5、学科融合：回顾压强、压力和面积的关系。完成例题1的学习。6、学科融合：回顾电压、电流和电阻的关系。完成例题2的学习。7、小组合作完成例题3的学习。节一：复习旧知环节二；探究新知。环节三：典例精析回顾与思考1、经历反比例函数概念、图象与性质的知识点的梳理，通过相应知识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握．2、通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神．3、探索理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息提出问题，能用待定系数法确定反比例函数表达式，并利用它们解决简单的实际问题．4、创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法．1、知识回顾，对本章知识有整体性认识。2、对反比例函数的定义进行梳理，并完成对应练习。3、对反比例函数的图像和性质进行梳理，并完成对应练习。4、对反比例函数的应用进行梳理，并完成对应练习。节一：知识架构环节二；知识梳理
《反比例函数》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究反比例函数的定义
任务一：反比例函数
活动三：典例精析
反
比
例
函
数
活动一：复习旧知
活动二：探究反比例函数的图像和性质
任务二：反比例函数的图
像和性质
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：反比例函数的运用
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动一：知识架构
任务三：反比例函数回顾与思考
活动二：知识梳理
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
（北师大版版）九年级
上
6.1反比例函数
反比例函数
第六章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间相互关系，加深对函数概念理解。
2．经历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。
3．通过辨析反比例函数与正比例函数等的区别以及求反比例函数关系式等，培养学生基本数学素养（创新思维、建模能力；类比、分类思想；待定系数法等）
4．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学数学兴趣。
5．通过本课学习培养学生既独立思考又合作交流的良好学习习惯。
知识回顾
什么是函数、一次函数、正比例函数？
一般地.在某个变化中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了y的一个值,那么我们称y是x的函数,其中x叫自变量,y叫因变量.
若两个变量x,y的关系可以表示y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是做x的一次函数 (x为自变量,y为因变量).
对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当常数b＝0时,就成为:y=kx(k是常数,k≠0),称y是x的正比例函数.
新知讲解
我们知道,电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V，
（1）你能用含有R的代数式表示I吗？
（2）利用写出的关系式完成下表
R/ 20 40 60 80 100
I/A
11
5.5
3.67
2.75
2.2
当R越来越大时,I怎样变化 当R越来越小呢
新知讲解
当R越来越大时，I越来越小；当R越来越小时，I越来越大。
（3）变量I是R的函数吗？
变量I是R的函数，因为有两个变量I和R,如果给定一个R的值,相应地就确定了I的一个值,那么我们称I是R的函数,
新知讲解
京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系 变量t是v的函数吗 为什么
变量t与v之间的关系可表示为：
新知讲解
1、菱形的面积为5cm2，它的一条对角线长y（cm）关于另一条对角线长x（cm）的关系式是 。
2、小明同学用50元钱买学习用品，单价y（元）与数量x（件）之间的关系式是 。
新知讲解
问题：
(1)上面两个问题的式子反应的是两个变量之间的函数关系，它们是我们已经学过的一次函数或正比例函数吗？
(2) 这些关系式与我们已学过的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？
外在表达形式差异：一个整式，一个分式.
新知讲解
反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成：
的形式，那么称y是x的反比例函数.
讨论：（1）反比例函数关系式中有几个变量？
（2）变量之间存在什么关系？
（3）还有其他形式吗？若有，请指出来.
（4）对x、y、k有什么具体要求？为什么？
新知讲解
反比例函数应具备的特征：
（1）两个变量；
（2）积为定值；
（3）这个定值不能为零
反比例函数解析式的几种表达形式：
其中K≠0)
典例精析
典例精析
m为何值时 为正比例函数
典例精析
m为何值时 为二次函数
典例精析
m为何值时 为反比例函数
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
D
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3、用x表示自变量，y表示x的函数，下列给出的函数关系中，是反比列函数关系的是（ ）
A 长方形的周长为2，长为x，宽为y
B 正方形的边长为x，面积为y
C 李明以2米/秒的速度行走，行走的时间x，行走的路程y
D 王芳以x米/分钟的速度花y分钟爬完40米的高楼
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4、生活中有许多反比列函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的有几个？ （ ）
（1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg
（2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为∏m3
（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm
（4）在水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间y
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
-1
①③④
②
z与x的关系是反比例函数．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
9.已知反比例函数 ，下列问题情境符合的是( )
A.已知三角形的面积为20，其中一边长y与该边上的高x的关系
B.矩形的长为20，矩形的面积y与宽x的关系
C.购买橡皮的总价为20元，橡皮的块数y与橡皮的单价x（元）的关系
D.一部20集的电视剧，已看集数y与未看集数x的关系
10.当K=-1 时，下列函数是反比例函数的是（ ）
C
C
课堂总结
反比例函数的定义：
一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示 的形式，
那么称y是x的反比例函数, 其中是x是自变量, y是因变量.
y是x的反比例函数，比例系数为k（k≠0）
板书设计
y是x的反比例函数，比例系数为k（k≠0）
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
C
B
4
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5.已知反比例函数y=﹣ （1）说出这个函数的比例系数；
（2）求当x=﹣10时函数y的值；（3）求当y=6时自变量x的值．
【综合拓展类作业】
作业布置
作业布置
7．在某电路中，电阻R=15时，电流I=4，则I与R之间的函数关系是什么？
解：∵当电阻R=15时，电流I=4，
∴U=IR=60，
∴I=
作业布置
Thanks!
2
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《反比例函数》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《反比例函数》是义务教育教科书北师大版九年级上册数学第六章第一节第149页—150页的内容，是继一次函数学习之后的又一类新函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。
学习者分析 此阶段学生有比较强烈的自我发展意识。本节课让学生在做中探索，在做中感悟，在做中收获，老师可以尽可能的让学生在这些活动中表现自我，发展自我，从而感受数学的丰富多样，让学生尽情的去做探索者，研究者，挑战自己，展示自己。 学生在本节课之前，已经学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已有了初步的认识。在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后继学习二次函数等产生积极的影响。
教学目标 1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间相互关系，加深对函数概念理解。 2．经历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。 3．通过辨析反比例函数与正比例函数等的区别以及求反比例函数关系式等，培养学生基本数学素养（创新思维、建模能力；类比、分类思想；待定系数法等） 4．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学数学兴趣。 5．通过本课学习培养学生既独立思考又合作交流的良好学习习惯。
教学重点 建立与领悟反比例函数的概念。
教学难点 正确列出实际问题中的反比例函数关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 什么是函数、一次函数、正比例函数？ 一般地.在某个变化中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了y的一个值,那么我们称y是x的函数,其中x叫自变量,y叫因变量. 若两个变量x,y的关系可以表示y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是做x的一次函数 (x为自变量,y为因变量). 对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当常数b＝0时,就成为:y=kx(k是常数,k≠0),称y是x的正比例函数.学生活动1： 学生思考并回答问题。活动意图说明： 以旧知识作为引入，为接下来进行函数概念抽象过程做准备。环节二：探究新知教师活动2： 问题1:我们知道,电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V， （1）你能用含有R的代数式表示I吗 （2）利用写出的关系式完成下表 R/ 20406080100I/A
当R越来越大时,I怎样变化 当R越来越小呢 （3）变量I是R的函数吗？ 变量I是R的函数，因为有两个变量I和R,如果给定一个R的值,相应地就确定了I的一个值,那么我们称I是R的函数, 问题2：京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系 变量t是v的函数吗 为什么 变量t与v之间的关系可表示为： 问题3：列出题中数量关系式 1、菱形的面积为5cm2，它的一条对角线长y（cm）关于另一条对角线长x（cm）的关系式是 。 2、小明同学用50元钱买学习用品，单价y（元）与数量x（件）之间的关系式是 。 观察讨论 (1)上面两个问题的式子反应的是两个变量之间的函数关系，它们是我们已经学过的一次函数或正比例函数吗？ (2) 这些关系式与我们已学过的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（外在表达形式差异：一个整式，一个分式.） 反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成： 的形式，那么称y是x的反比例函数. 讨论：（1）反比例函数关系式中有几个变量？ （2）变量之间存在什么关系？ （3）还有其他形式吗？若有，请指出来. （4）对x、y、k有什么具体要求？为什么？ 反比例函数应具备的特征： （1）两个变量； （2）积为定值； （3）这个定值不能为零 反比例函数解析式的几种表达形式： 其中K≠0)学生活动2： 小组探究问题1、2. 单独完成问题3. 教师引导学生总结反比例函数的定义，理解反比例函数具备的条件。 认识反比例函数的几种表达形式。活动意图说明： 以问题激活学生认知结构中的相关知识和经验。启发学生自觉主动地进入下面的探究活动之中，并进一步讨论两个变量之间的关系，加深对函数概念的理解。环节三：典例精析教师活动3： 例题;已知y＝（m2+2m）x． （1）当m为何值时，y是x的正比例函数？ （2）当m为何值时，y是x的二次函数？ （3）当m为何值时，y是x的反比例函数？ 解：（1）根据题意得，， 由①得：m≠0，m≠﹣2， 由②得：m＝﹣2或1， 解得m＝1， 故当m＝1，y是x的正比例函数； （2）根据题意得，， 由①得：m≠0，m≠﹣2， 由②得：m＝， 故当m＝，y是x的二次函数； （3）根据题意得，， 由①得：m≠0，m≠﹣2， 由②得：m＝0或﹣1， 解得m＝﹣1， 故当m＝﹣1，y是x的反比例函数．学生活动3： 小组合作共同完成例题的学习。教师关注学困生。活动意图说明： 在强化函数和反比例函数的概念，鼓励学生用数学的眼光分析实际问题，体会反比例函数的实际意义，增强数学的应用意识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ D ） A． B． C． D．y＝5x﹣1 2.已知变量与成反比例，当时，，则该反比例函数的表达式为( B ) A. B. C. D. 3、用x表示自变量，y表示x的函数，下列给出的函数关系中，是反比列函数关系的是（ D ） A 长方形的周长为2，长为x，宽为y B 正方形的边长为x，面积为y C 李明以2米/秒的速度行走，行走的时间x，行走的路程y D 王芳以x米/分钟的速度花y分钟爬完40米的高楼 4、生活中有许多反比列函数的例子，在下面的实例中，x和y成反比例函数关系的有几个？ （ B ） （1）x人共饮水10kg，平均每人饮水ykg （2）底面半径为xm，高为ym的圆柱形水桶的体积为∏m3 （3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为xcm，做成圆的半径为ycm （4）在水龙头前放满一桶水,出水的速度为x，放满一桶水的时间y A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5．若函数y＝（m﹣1）x是反比例函数，则m＝ -1 ． 6．已知y与x成正比例，z与y成反比例，那么z与x的关系是：z与x的关系是反比例函数． 7．判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②y＝5﹣x；③；④； 解：其中 ①③④ 是反比例函数，而 ②．不是． 选做题： 8.已知函数y＝（m2﹣m） （1）当m为何值时，此函数是正比例函数？ （2）当m为何值时，此函数是反比例函数？ 解：（1）由y＝（m2﹣m）是正比例函数，得 m2﹣3m+1＝1且m2﹣m≠0． 解得m＝3， 当m＝3时，此函数是正比例函数 解：（2）由y＝（m2﹣m）是反比例函数，得 m2﹣3m+1＝﹣1且m2﹣m≠0． 解得m＝2， 当m＝2时，此函数是反比例函数． 【综合拓展类作业】 9.已知反比例函数，下列问题情境符合的是( C ) A.已知三角形的面积为20，其中一边长y与该边上的高x的关系 B.矩形的长为20，矩形的面积y与宽x的关系 C.购买橡皮的总价为20元，橡皮的块数y与橡皮的单价x（元）的关系 D.一部20集的电视剧，已看集数y与未看集数x的关系 10.当时，下列函数是反比例函数的是（ C ） A. B. C. D.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数中，y是x的反比例函数的为（ C ） A．y=2x+1 B．y= C．y= D．2y=x 2.已知y=2x，z=，那么z与x之间的关系是（ B ） A．成正比例 B．成反比例 C．有可能成正比例有可能成反比例 D．无法确定 3．对于函数 ，当 4 时， 是 的反比例函数，且比例系数是3. 4．反比例函数y=﹣中，相应的k= ﹣ ． 选做题： 5.已知反比例函数y=﹣ （1）说出这个函数的比例系数； （2）求当x=﹣10时函数y的值； （3）求当y=6时自变量x的值． 解：（1）原式=，比例系数为﹣； 当x=﹣10时，原式=﹣=； （3）当y=6时，﹣=6，解得，x=﹣． 【综合拓展类作业】 6.下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：（1）y=；（2）y=；（3）xy=6；（4）3x+y=0；（5）x﹣2y=1；（6）3xy+2=0． 解：（1）y=不是反比例函数． （2）∵y=， ∴xy=． ∴y=，是反比例函数． （3）∵xy=6， ∴xy=6是反比例函数． （4）∵3x+y=0， ∴3x+y=0；不是反比例函数． （5）∵x﹣2y=1， ∴2y=x﹣1． ∴x﹣2y=1不是反比例函数． （6）∵3xy+2=0， ∴xy=﹣． ∴3xy+2=0．是反比例函数． 7．在某电路中，电阻R=15时，电流I=4，则I与R之间的函数关系是什么？ 解：∵当电阻R=15时，电流I=4， ∴U=IR=60， ∴I=， 对比反比例函数的定义，可知I=是反比例函数． 8.当m为何值时，函数 是反比例函数？ 解：因为函数 是反比例函数， 所以 且 ， 解得： 且 ， 故 . 9．已知y=（k2+k）中，请问：k为何值，y是x的反比例函数． 解：∵y=（k2+k）中，y是x的反比例函数，∴，解得k=0（舍去）或k=1． ∴k=1时，y是x的反比例函数．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
