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（北师大版版）九年级
上
6.1反比例函数的图像和性质
反比例函数
第六章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
知识与技能：
1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，能描点画出反比例函数的图象。
2、能根据图象数形结合，引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。
3、能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，进一步理解数形结合的思想方法。
过程与方法：
通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力。通过观察图象，引导探究反比例函数图象的相关性质，让学生进行概括，培养学生数形结合思想，训练学生的总结、归纳能力。
情感态度价值观：
通过观察、动手作图、讨论合作、探究得出反比例函数的图像与性质，培养学生自主探究、合作交流的能力。让学生积极参与到教学活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，激发学生学习数学的兴趣。
知识回顾
1. 下列函数中哪些是反比例函数？
知识回顾
2.上节课我们学的反比例函数关系式是什么？
（k ≠0，k是常数）
自变量x的取值范围是什么？
函数y的取值范围是什么？
x≠0 ，y≠0
知识回顾
3.一次函数y=kx+b（k ≠ 0 且k、b为常数）的图象和性质
知识回顾
一次函数y=kx+b（k ≠ 0 且k、b为常数）的图象和性质
新知讲解
探究反比例函数图象的画法
1、如何画一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象？
列表-------描点-------连线
2、仿照画一次函数的方法画反比例函数
的图像
新知讲解
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
描点
连线
新知讲解
思考：
1.是折线还是曲线
函数的图象由两支曲线组成，称为双曲线
2.与坐标轴相交
不会与x轴y轴相交
新知讲解
议一议:你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题
与同伴交流.
1、在列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点.
2.列表、描点时,要尽量多取一些点,这样方便连线.
3.连线时必须用光滑的曲线连接各点，曲线是无限延伸的.
4.描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线, 从中体会函数的增减性；
5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交
新知讲解
画出函数 的图象
新知讲解
1.观察函数 和 的图象,有什么相同点和不同点.
相同点
反比例函数的图象是双曲线
是轴对称也是中心对称图形
不同点
k>0，图象在一、三象限
k<0，图象在二、四象限
新知讲解
归纳与概括：
反比例函数 K≠0图象有下列特征：
反比例函数的图象 是由两支曲线组成的。两支双曲线既是轴对称，又是中心对称，对称中心是原点。
(1) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，
(2) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限.
典例精析
例题1：如图：一次函数的图象 与反比例函数 交于M(2，m)、N(-1，-4)两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出反比例函数的值
大于一次函数的值的x的取值范围.
M（2，m）
2
0
-1
N（-1，-4）
y
x
典例精析
M（2，m）
2
0
-1
N（-1，-4）
y
x
解:（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上∴k=4,
又∵点M（2，m）在反比例函数图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
∵点M、N都在y=ax+b的图象上
∴y= 2x-2
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
典例精析
（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数值的x的取值范围.
答：由图象得：
当x<-1或0典例精析
(1)函数图象位于哪几个象限？
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y 的值
自主探索
一、三象限
减小
K>0
典例精析
(1)函数图象位于哪几个象限？
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y 的值
二、四象限
增加
K<0
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.函数 的图像在第 象限，函数 的图象在第 象限。
2. 双曲线 经过点（-3，___）
3.函数 的图像在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .
4.对于函数 ，这部分图像在第 ______象限，并且y随x的增大而
5.反比例函数 （k为常数）图象位于第______象限
6函数 的图像在二、四象限，则m的取值范围是 _______.
二、.四
一、.三
3x
y =
1
9
1
m-2
x
y =
m < 2
y =
1
2x
一、.三
减少
一、.三
m < 3
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
8.反比例函数 y= - 的图象大致是（ ）
A：
x
y
o
B：
x
y
o
C：
x
y
o
D：
x
y
o
C
9. 已知k＞0,则函数 y1=kx, y2= 在同一坐标系中的图象大致是
B
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂总结
反比例函数的图象和性质
形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的此称.比例函数的图象为双曲线;
位置两支双曲线分别位于两个不同的象限内两支;关两支曲线关于原点成中心对称图形，关于直线y=±x形。都与两坐标轴没有交点。
性质反比例函数当k＞0时图像经过第一、三象限；当k＜0经过第二、四象限。
板书设计
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
D
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
y3＜y1＜y2
A
作业布置
6.如图所示，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC.若△ABC面积为S,则______
【知识技能类作业】选做题：
(A)s=1 (B) s=2
(C)1A
作业布置
7.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则这个反比例函数的关系式是__________ 。
12
x
y
＝
x
y
o
M
N
p
【综合拓展类作业】
作业布置
8、已知K≠0，在同一坐标系中，函数y=k(x+1)与 的图象大致为（ ）
D
【综合拓展类作业】
作业布置
作业布置
作业布置
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册，第六章
课标要求 1、探索实例中的数量关系和变化规律，了解常量与变量的意义。2、结合实例，了解一次函数的三种表现形式。能举出函数的实例。3、能结合图像对对简单的实际问题中的函数关系进行分析。4、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。5、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。6、结合对函数关系的分析，能对函数的变量的变化情况进行讨论。7、结合具体情境，体会反比例函数的意义，能根据函数条件确定函数表达式。8、能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式探索并理解K>0和K<0的图像变化。9、能用反比例函数的知识解决实际问题。
内容分析 本章主要内容是反比例函数的概念、解析式、性质和图像，是学习已经学习了图形与坐标和一次函数后继续探索函数，是学习进一步理解函数的内涵，并感受现实生活中存在各种函数以及用函数的额方法解决实际问题。反比例函数是最根本的函数之一，是后续学习各种函数的基础。本章主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步对具体函数的感性认识上升代理性认识，
学情分析 小学学过正反比例，在八年级学生已经学习了一次函数，对一次函数的定义和一次函数的表现形式有了一定的了解。积累了一些研究方法、和运用函数的观念处理问题的经验。九年级学生抽象思维能力、推理能力、综合概括能力逐步发展，但尝未成熟，他们能理解一些抽象的概念和性质，但可能需要具体的情景或图形来支撑。所以本章教学尽量以情景为切入口，注重数型结合。
单元目标 教学目标知识与技能领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式。掌握反比例函数的图像和性质。能用反比例函数的知识解决实际问题。过程与方法经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数的模型，进而解决实际问题的过程，运用反比例函的解析式和图像表示问题情境反比例函数量之间的关系，进而用反比例函数的图像和性质解决实际问题。情感态度与价值观体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感态度增强运用意识，体会数形结合的数学思想。培养学生自主学习，利用代数的方法解决实际问题。（二）教学重点、难点重点；反比例函数是继一次函数后又一重要的根本函数，它为后续学习图像和曲线的关系提供了研究方法，反比例函数本身在日常生产和生活中有许多直接运用，这对学生的建模思想、数型结合思想等重要思想的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章的重点。难点：反比例函数的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章的难点之一。综合运用反比例函数的解析式、图形和性质来解决实际问题，往往会遇到复杂的问题情境，需要建模，利用图像和方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数的知识解决实际问题又是本章的另一个难点。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1反比例函数12反比例函数的图像和性质13反比例函数的运用14回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务反比例函数1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间相互关系，加深对函数概念理解。2．经历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。3．通过辨析反比例函数与正比例函数等的区别以及求反比例函数关系式等，培养学生基本数学素养（创新思维、建模能力；类比、分类思想；待定系数法等）4．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学数学兴趣。5．通过本课学习培养学生既独立思考又合作交流的良好学习习惯。1、学生思考并回答问题。2、小组探究问题1、2.3、单独完成问题3.4、教师引导学生总结反比例函数的定义，理解反比例函数具备的条件。5、认识反比例函数的几种表达形式。6、小组合作共同完成例题的学习。教师关注学困生。环节一：复习旧知环节二；探究反比例函数的定义。环节三：典例精析反比例函数的图像和性质知识与技能：1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，能描点画出反比例函数的图象。2、能根据图象数形结合，引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。3、能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，进一步理解数形结合的思想方法。过程与方法：通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力。通过观察图象，引导探究反比例函数图象的相关性质，让学生进行概括，培养学生数形结合思想，训练学生的总结、归纳能力。情感态度价值观：通过观察、动手作图、讨论合作、探究得出反比例函数的图像与性质，培养学生自主探究、合作交流的能力。让学生积极参与到教学活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，激发学生学习数学的兴趣。1、`引导学生回忆反比例函数的定义。2、回顾一次函数的图像和性质。3、回顾一次函数的作图过程。4、类比一次函数的作图，对反比例函数作图。5、小组合作对照图像探究反比例函数的性质。6、教师引导学生完成例题1的学习。7、自主探究K值对函数图像的影响。从而得到增函数、减函数的含义。环节一：复习旧知环节二；探究反比例函数的图像和性质。环节三：典例精析反比例函数的应用1. 经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。2．体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。3. 培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。1、学生根据教师的引导，回答问题，逐步完成表格内容。2、学生独立完成引例。3、小组探究变式1、2、34、总结反比例函数的系数K与对曲线上的点出发构成的几何图形面积的关系。5、学科融合：回顾压强、压力和面积的关系。完成例题1的学习。6、学科融合：回顾电压、电流和电阻的关系。完成例题2的学习。7、小组合作完成例题3的学习。节一：复习旧知环节二；探究新知。环节三：典例精析回顾与思考1、经历反比例函数概念、图象与性质的知识点的梳理，通过相应知识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握．2、通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神．3、探索理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息提出问题，能用待定系数法确定反比例函数表达式，并利用它们解决简单的实际问题．4、创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法．1、知识回顾，对本章知识有整体性认识。2、对反比例函数的定义进行梳理，并完成对应练习。3、对反比例函数的图像和性质进行梳理，并完成对应练习。4、对反比例函数的应用进行梳理，并完成对应练习。节一：知识架构环节二；知识梳理
《反比例函数》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究反比例函数的定义
任务一：反比例函数
活动三：典例精析
反
比
例
函
数
活动一：复习旧知
活动二：探究反比例函数的图像和性质
任务二：反比例函数的图
像和性质
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：反比例函数的运用
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动一：知识架构
任务三：反比例函数回顾与思考
活动二：知识梳理
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分课时教学设计
第一课时《反比例函数的图像和性质》》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版初中数学九年级上册第五章第二节《反比例函数的图象与性质》的内容，也是本章的重点，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域，是在学生学面直角坐标系和一次函数的基础上，再进一步学习的内容，同时也是后面学习二次函数的基础，因此，本节课在知识在衔接上起到了承上启下的作用。 通过本章的学习，让学生与学过的函数知识进行整合以及如何运用函数解决实际问题，从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念。
学习者分析 虽然学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念，但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在探究活动中的比例函数作图、性质等方面出现负迁移等问题，如：只画一支双曲线，曲线不是圆滑、连接成折现等情况出现。所以本节课在教学时，应该采用激发诱导，自主探索，实践操作、讲练结合的教学方式，通过“设疑，探索，动手操作，解惑”的过程来解决可能出现的问题，熟练掌握反比例函数图象与性质。学生经历动手，动口，动脑，感受数学思考的过程，培养了学生能灵活运用理论知识来解决实际问题的能力，实现了学生的主体地位与老师的主导作用，再加上多媒体手段的应用,调动广泛学生的积极性和主动性，可以充分激发学生的学习兴趣
教学目标 知识与技能： 1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，能描点画出反比例函数的图象。 2、能根据图象数形结合，引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。 3、能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，进一步理解数形结合的思想方法。 过程与方法： 通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力。通过观察图象，引导探究反比例函数图象的相关性质，让学生进行概括，培养学生数形结合思想，训练学生的总结、归纳能力。 情感态度价值观： 通过观察、动手作图、讨论合作、探究得出反比例函数的图像与性质，培养学生自主探究、合作交流的能力。让学生积极参与到教学活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点 画反比例函数图象，理解反比例函数的性质。
教学难点 理解反比例函数的性质，并能灵活运用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：回顾旧知教师活动1： 下列函数中哪些是反比例函数？ Y=3x-1 y=2x y= y= y=3x y=- y= y= 上节课我们学的反比例函数关系式是什么？（） 自变量x的取值范围是什么？（X≠0)） 函数y的取值范围是什么？(Y≠0) 4、一次函数y=kx+b（k ≠ 0 且k、b为常数）的图象和性质 学生活动1： 1、`引导学生回忆反比例函数的定义。 2、回顾一次函数的图像和性质活动意图说明： 引导学生回忆反比例函数的定义。通过类比一次函数的图象，引导学生思考新知，激发学生学习新知的兴趣环节二；探究反比例函数的图像和性质教师活动2： 一、探究反比例函数的画法 1、如何画一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象？列表---描点---连线 2、仿照画一次函数的方法画反比例函数y=的图像 (1)列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值) 描点 （3）连线 3、思考： （1）是折线还是曲线 函数的图象由两支曲线组成，称为双曲线 （2）与坐标轴相交 不会与x轴y轴相交 4、议一议:你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题 与同伴交流. （1）在列表时,自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值,这样既可简化计算,又便于描点. （2）列表、描点时,要尽量多取一些点,这样方便连线. （3）连线时必须用光滑的曲线连接各点，曲线是无限延伸的. （4）描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线, 从中体会函数的增减性； （5）曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交 5、画出函数 的图象 二、探究反比例函数图像的性质 1.观察函数y= 和 的图象,有什么相同点和不同点. 相同点;反比例函数的图象是双曲线，是轴对称也是中心对称图形 不同点：k>0，图象在一、三象限，减函数。k<0，图象在二、四象限，增函数。 归纳与概括： 反比例函数(x≠0)图象有下列特征： 反比例函数的图象(x≠0)是由两支曲线组成的。两支双曲线既是轴对称，又是中心对称，对称中心是原点。 (1) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限， (2) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限.学生活动2： 回顾一次函数的作图过程。 类比一次函数的作图，对反比例函数作图。 小组合作对照图像探究反比例函数的性质。活动意图说明： 经历探究作图过程，在填表过程中亲自感受随变化的规律，为基于图象探究函数性质打下基础。 引导学生根据数形结合思想研究反比例函数的性质。同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的归纳组织能力。环节三：典例精析教师活动3： 例题1：如图：一次函数的图象y=ax+b与反比例函数交于M(2，m)、N(-1，-4)两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出反比例函数的值 大于一次函数的值的x的取值范围. 解:（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上∴k=4, 又∵点M（2，m）在反比例函数图象上 ∴m=2 ∴M（2，2） ∵点M、N都在y=ax+b的图象上 ∴y= 2x-2 答：由图象得：当x<-1或00 (1)函数图象位于哪几个象限？【第一、三象限】 （2）在每一个象限内，随着x值的增大，y 的值 【减少】 K<0 (1)函数图象位于哪几个象限？【第二、四象限】 （2）在每一个象限内，随着x值的增大，y 的值【增加】学生活动3： 教师引导学生完成例题1的学习。 自主探究K值对函数图像的影响。从而得到增函数、减函数的含义。活动意图说明： 让学生巩固本节课所学的知识，同时对学生提出了更高的要求，使学生获取知识和技能，激发学习数学的兴趣，并使智力得到发展，能力得到培养。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.函数的图像在第二、四象限，函数的图象在第 一、三 象限。 2. 双曲线 经过点（-3， ） 3.函数 的图像在二、四象限，则m的取值范围是m < 2 4.对于函数，这部分图像在第一、三象限，并且y随x的增大而 减少 5.反比例函数 （k为常数）图象位于第一、三象限 6函数的图像在二、四象限，则m的取值范围是 m < 3 选做题： 7.在同一个直角坐标系中y=x+k和（k为常数且均不等于0）的图像大致是（B） 【综合拓展类作业】 反比例函数 y= 的图象大致是（C） 9. 已知k＞0,则函数 y=kx, y= 在同一坐标系中的图象大致是 （B） 10.如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数y＝的图象交于点E（1，5）和点F． （1）求k，b的值以及点F的坐标； （2）求△EOF的面积； （3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的范围． 解：（1）将点E（1，5）代入y＝﹣x+b和y＝，得 b＝6，k＝5， 由题意，联立方程组得， ，解得或， ∴点F的坐标为（5，1）； （2）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴A（6，0），B（0，6）， ∴S△EOF＝S△AOB﹣S△AOF﹣S△BOE＝6×6﹣×1﹣6×1＝12； （3）观察函数图象可知： 反比例函数值大于一次函数值时x的范围为： 0＜x＜1或x＞5．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.反比例函数的图象经过点,则n的值是( D ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ A ） A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2 3．反比例函数y＝（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（A ） A．y2＜y3＜y1 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 4．在函数的图象上有三点(﹣3，y1)、(﹣2，y2)、(1，y3)，则函数值y1、y2、y3的大小关系为 y3＜y1＜y2． 5．在平面直角坐标系内，过反比例函数的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为 【】． 选做题： 6.如图所示，正比例函数Y=KX(K>0)与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC.若△ABC面积为S,则 (A) A, s=1 B, s=2 C, 1教学反思
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