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学 科 数学 年 级 九年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册，第六章
课标要求 1、探索实例中的数量关系和变化规律，了解常量与变量的意义。2、结合实例，了解一次函数的三种表现形式。能举出函数的实例。3、能结合图像对对简单的实际问题中的函数关系进行分析。4、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。5、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。6、结合对函数关系的分析，能对函数的变量的变化情况进行讨论。7、结合具体情境，体会反比例函数的意义，能根据函数条件确定函数表达式。8、能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式探索并理解K>0和K<0的图像变化。9、能用反比例函数的知识解决实际问题。
内容分析 本章主要内容是反比例函数的概念、解析式、性质和图像，是学习已经学习了图形与坐标和一次函数后继续探索函数，是学习进一步理解函数的内涵，并感受现实生活中存在各种函数以及用函数的额方法解决实际问题。反比例函数是最根本的函数之一，是后续学习各种函数的基础。本章主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引入反比例函数的概念，使学生逐步对具体函数的感性认识上升代理性认识，
学情分析 小学学过正反比例，在八年级学生已经学习了一次函数，对一次函数的定义和一次函数的表现形式有了一定的了解。积累了一些研究方法、和运用函数的观念处理问题的经验。九年级学生抽象思维能力、推理能力、综合概括能力逐步发展，但尝未成熟，他们能理解一些抽象的概念和性质，但可能需要具体的情景或图形来支撑。所以本章教学尽量以情景为切入口，注重数型结合。
单元目标 教学目标知识与技能领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式。掌握反比例函数的图像和性质。能用反比例函数的知识解决实际问题。过程与方法经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数的模型，进而解决实际问题的过程，运用反比例函的解析式和图像表示问题情境反比例函数量之间的关系，进而用反比例函数的图像和性质解决实际问题。情感态度与价值观体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感态度增强运用意识，体会数形结合的数学思想。培养学生自主学习，利用代数的方法解决实际问题。（二）教学重点、难点重点；反比例函数是继一次函数后又一重要的根本函数，它为后续学习图像和曲线的关系提供了研究方法，反比例函数本身在日常生产和生活中有许多直接运用，这对学生的建模思想、数型结合思想等重要思想的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章的重点。难点：反比例函数的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章的难点之一。综合运用反比例函数的解析式、图形和性质来解决实际问题，往往会遇到复杂的问题情境，需要建模，利用图像和方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数的知识解决实际问题又是本章的另一个难点。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1反比例函数12反比例函数的图像和性质13反比例函数的运用14回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务反比例函数1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间相互关系，加深对函数概念理解。2．经历抽象反比例函数概念的过程，领悟反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，在经历反比例函数的建模过程中，培养学生抽象思维能力。3．通过辨析反比例函数与正比例函数等的区别以及求反比例函数关系式等，培养学生基本数学素养（创新思维、建模能力；类比、分类思想；待定系数法等）4．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，让学生感受数学有用，从而培养学生学数学兴趣。5．通过本课学习培养学生既独立思考又合作交流的良好学习习惯。1、学生思考并回答问题。2、小组探究问题1、2.3、单独完成问题3.4、教师引导学生总结反比例函数的定义，理解反比例函数具备的条件。5、认识反比例函数的几种表达形式。6、小组合作共同完成例题的学习。教师关注学困生。环节一：复习旧知环节二；探究反比例函数的定义。环节三：典例精析反比例函数的图像和性质知识与技能：1、进一步熟悉作函数图象的主要步骤，能描点画出反比例函数的图象。2、能根据图象数形结合，引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。3、能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，进一步理解数形结合的思想方法。过程与方法：通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力。通过观察图象，引导探究反比例函数图象的相关性质，让学生进行概括，培养学生数形结合思想，训练学生的总结、归纳能力。情感态度价值观：通过观察、动手作图、讨论合作、探究得出反比例函数的图像与性质，培养学生自主探究、合作交流的能力。让学生积极参与到教学活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，激发学生学习数学的兴趣。1、`引导学生回忆反比例函数的定义。2、回顾一次函数的图像和性质。3、回顾一次函数的作图过程。4、类比一次函数的作图，对反比例函数作图。5、小组合作对照图像探究反比例函数的性质。6、教师引导学生完成例题1的学习。7、自主探究K值对函数图像的影响。从而得到增函数、减函数的含义。环节一：复习旧知环节二；探究反比例函数的图像和性质。环节三：典例精析反比例函数的应用1. 经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。2．体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。3. 培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。1、学生根据教师的引导，回答问题，逐步完成表格内容。2、学生独立完成引例。3、小组探究变式1、2、34、总结反比例函数的系数K与对曲线上的点出发构成的几何图形面积的关系。5、学科融合：回顾压强、压力和面积的关系。完成例题1的学习。6、学科融合：回顾电压、电流和电阻的关系。完成例题2的学习。7、小组合作完成例题3的学习。节一：复习旧知环节二；探究新知。环节三：典例精析回顾与思考1、经历反比例函数概念、图象与性质的知识点的梳理，通过相应知识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握．2、通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神．3、探索理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息提出问题，能用待定系数法确定反比例函数表达式，并利用它们解决简单的实际问题．4、创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法．1、知识回顾，对本章知识有整体性认识。2、对反比例函数的定义进行梳理，并完成对应练习。3、对反比例函数的图像和性质进行梳理，并完成对应练习。4、对反比例函数的应用进行梳理，并完成对应练习。节一：知识架构环节二；知识梳理
《反比例函数》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究反比例函数的定义
任务一：反比例函数
活动三：典例精析
反
比
例
函
数
活动一：复习旧知
活动二：探究反比例函数的图像和性质
任务二：反比例函数的图
像和性质
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务三：反比例函数的运用
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动一：知识架构
任务三：反比例函数回顾与思考
活动二：知识梳理
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分课时教学设计
第一课时《反比例函数的回顾与思考》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型．反比例函数在前面已经学习了“图形与坐标”、 “一次函数”基础上研究一类基本函数.本专题复习在反比例函数单元复习基础上展开的，以函数图象为载体，以数形结合思想为主线，围绕“比较大小、图象法解方程与不等式、函数实际应用”核心内容进行，学生在解决问题过程中进一步领悟反比例函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点解决问题的经验，为后继学习二次函数等产生积极的影响
学习者分析 反比例函数是函数的重要知识，核心知识是反比例函数的概念、图象、性质与应用.从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数增减性容易相混，用函数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求.基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为立意，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数乃至对三类函数的理解
教学目标 1、经历反比例函数概念、图象与性质的知识点的梳理，通过相应知识点的配套练习加深学生对反比例函数本章知识的理解与掌握． 2、通过对相关问题的变式探究，正确运用反比例函数知识，进一步体验形成解决问题的一些基本策略，发展实践能力和创新精神． 3、探索理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息提出问题，能用待定系数法确定反比例函数表达式，并利用它们解决简单的实际问题． 4、创设教学情景，鼓励学生主动参与反比例函数复习活动，激发学习兴趣，获得问题解决后的乐趣，继续渗透数形结合等数学思想方法．
教学重点 进一步掌握反比例函数的概念、图像、性质并正确运用．
教学难点 1.反比例函数性质的灵活运用； 2.数形结合思想的应用，从图像中获取信息，解题方法的渗透．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识架构教师活动1： 学生活动1： 知识回顾，对本章知识有整体性认识。活动意图说明： 引导学生对本章的知识进行整体性的认识、及知识间相互的联系。并在此过程中发现自己掌握不够或是理解错误的地方，及时完善或改正。 环节二：知识梳理教师活动2： 考点1：反比例函数的定义 1、一般地, 函数（k≠0）叫做反比例函数. 2、自变量x取值范围x≠0。 3、反比例函数另外两种形式分别;y=kx-1 (k≠0),xy=k (k≠0) 练一练： 1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数 y = 3x, y = 2x , ，y = 3x-1 , y=, y 2. 若 是反比例函数，则m＝-2 3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( D ). 考点2. 反比例函数的图象和性质 1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线 ，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线，当K>0,对称轴是y=x， 当K<0,对称轴是y=-x；对称中心是原点. 比较正比例函数和反比例函数的异同 练一练 1、(2010·桂林) 已知反比例函数下列结论不正确的是（ D ） A、图象经过点（1，1） B、图象在一、三象限 C、当x>1时,00）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的表达式为( B ) A. B. C . D。 第1题 第2题 第3题 如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=1/x (x>0)的图象上，则点E的坐标是 : 5.根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。 观察图象得：当x<-1或0板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列函数中，是反比例函数的是（ B ） A. y= - B. y=- C. y= D. y= 2.已知点 P（-1，4）在反比例函数y= （k=0）的图象上，则K值是（ D ） A. - B. C. 4 D. -4 3.下列各点中，在函数y= -图象上的是（ C ） A. （-2，-4） B.（2，3） C.（-1，6） D.（-，3） 4.反比例函数y=的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是（ D ） A. m<0 B. m>0 C.m>5 D. m<5 5.如图，已知点 A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点 M，且△AOM 的面积为1，则反比例函数的解析式为 y=-. 第5题 第6题 6.如图，一次函数y= kx＋b与反比例函数y=的图象交于A（2，1），B（-1，n）两点.连接 OA，OB，则三角形 OAB 的面积为 选做题： 7.对教室进行"薰药消毒".已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室 解：（1）设双曲线解析式为 ∵过(25,6) ∴k=xy=25×6=150 ∴ 当y=10 ∴ ∴A(15,10) ∴ 设OA解析式为y=mx ∴过(15,10)∴10=15m ∴ ∴ 综上： （2）当y=2，由，解得x=3 由解得x=75 ∴师生不能进入教室的时间是75-3=72(min)． 【综合拓展类作业】 8.码头工人以每天 30 吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8 天时间. （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度ν（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系 （2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物 解：（1） （2）∴ ∴ ∴v≥48 ∴每天至少卸48吨货物 9.如图，已知A（-4，2），B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 解：（1）∵反比例函数过点A(-4,2) ∴，∴m=-8 ∴反比例函数解析式为 ∴ ∴B(2,-4) ∴点A(-4,2)B(2-4)在一次函数y=kx+b的图象上 ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y=-x-2 （2）-42
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数是反比例函数的是( B ) A．y＝ B．y＝ C．y＝－2x－1 D．y＝8x－4 2．点A(－2，5)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是( D ) A．10 B．5 C．－5 D．－10 3．为了更好地保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的长方体污水处理池，他的底面积S(m2)与深度h(m)满足关系式V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是( C ) 4．如果反比例函数y＝的图象经过点(1，n2＋1)，那么这个函数的图象位于( A ) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝kx－1(k为常数，k＞0)的图象可能是( B ) 6．若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y2解：(1)2 (2)解：易知AB∥OC， 设B(m，)，则D(，)， ∴BD＝m－＝m. ∴S△BDF＝×m·＝3. (3)证明：由(2)知B(m，)，D(，)，则E(m，)，C(m，0)， ∴CE＝，BE＝－＝， 易得△ECF∽△EBD， ∴＝，∴CF＝. ∵点G与点O关于点C对称，∴CG＝OC＝m， ∴FG＝CG－CF＝m－＝m，∴BD＝FG. 又∵BD∥FG， ∴四边形BDFG是平行四边形． 【综合拓展类作业】 9．如图，直线y＝x＋b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2－7x－8＝0的一个根． (1)求点B的坐标； (2)双曲线y＝(k≠0，x＞0)与直线AB交于点C，且AC＝5 ，求k的值． 解：(1)解方程x2－7x－8＝0，得x＝8或x＝－1. ∵线段OA的长是方程x2－7x－8＝0的一个根， ∴OA＝8.∴A(－8，0)． 将点A(－8，0)的坐标代入y＝x＋b，得－4＋b＝0， 解得b＝4， ∴B(0，4)． (2)在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝4， ∴AB＝＝＝4 . 如图，过点C作CH⊥x轴于点H.则∠AHC＝∠AOB＝90°. 又∵∠CAH＝∠BAO， ∴△AHC∽△AOB. ∴＝＝. ∵AC＝5 ，∴＝＝. 解得CH＝5，AH＝10， ∴OH＝AH－AO＝10－8＝2.∴C(2，5)． ∵双曲线y＝(k≠0，x＞0)经过点C， ∴k＝2×5＝10. 10．如图，已知A(n，－2)，B(1，4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接AO，求△AOC的面积； (3)不等式kx＋b＜的解集是 _____________． 解：(1)∵B点(1，4)在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y＝. ∵A点(n，－2)在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝－2，即A点坐标为(－2，－2)． 又∵A、B两点在一次函数的图象上， ∴代入一次函数的表达式y＝kx＋b可得解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋2. (2)在y＝2x＋2中，令x＝0可得y＝2， ∴C点坐标为(0，2)，∴OC＝2. 又∵A为(－2，－2)， ∴A到OC的距离为2，∴S△AOC＝×2×2＝2. (3)x＜－2或0＜x＜1
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