【预习衔接】第一单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年小学数学六年级上册苏教版

第一单元长方体和正方体
（知识梳理+专项练习）
分数乘法
一、长方体和正方体的特征
相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点。
不同点：
面：长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同，相对的棱长度相等；正方体的6 个面都是正方形，6个面完全相同。
棱：长方体的棱有3组，每组的4条棱长度相等；正方体12条棱的长度都相等。
二、长方体和正方体的表面积
相同点：都是计算6个面的总面积。
不同点：
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S= (ab十ah十bh)×2
正方体的表面积＝棱长×棱长×6
S=6a
三、体积和容积的意义、常用的体积单位、相邻体积单位间的进率
相同点：相邻体积（或容积）单位间的进率是 1000。
不同点：
1．物体所占空间的大小叫作物体的体积；容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
2．常用的体积单位：立方厘米、立方分米、立方米。
3．常用的容积单位：升、毫升。
4. 1毫升＝1立方厘米、1升＝1立方分米
补充：相邻面积单位间的进率是 100。
相邻长度单位间的进率是 10。
四、长方体和正方体的体积（或容积）
相同点：都可以用底面积×高计算，即V= Sh。
不同点：长方体的体积（或容积）＝长×宽×高，即V=abh。
正方体的体积（或容积）＝棱长×棱长×棱长，即V=a 。
分数乘法
一、选择题
1．一个长方体容器，从里面量长为4分米，宽为3分米，高为6分米。向容器里注水使容器中的水所形成长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，容器里有水多少升？（ ）
A．36 B．72 C．64 D．48
2．一个长方体底面是面积为9平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的表面积为（ ）平方分米。
A．90 B．144 C．162 D．216
3．用（ ）个棱长1厘米的小正方体摆成体积是1立方分米的大正方体。
A．10 B．100 C．1000 D．10000
4．下面图形是正方体展开图的有（ ）。
A． B． C． D．
5．下面（　　）个一样的小正方体可以拼成一个大正方体．
A．4 B．9 C．16 D．64
6．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的（ ）倍，表面积扩大到原来的（ ）倍。
A．2；4 B．4；4 C．12；8 D．8；12
二、填空题
7．一个棱长是4分米的正方体木块，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
8．一个正方体木块，棱长4厘米，把它的外表涂成绿色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体。小正方体中，只有一面是绿色的有( )块，没有一个面是绿色的有( )块。
9．把一个棱长1cm的正方体切成两个相同的长方体，两个长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了( )平方厘米．
10．一个底面是正方形的长方体（如图），把它的侧面（侧面：前面、后面、左面、右面）展开后得到一个边长是20厘米的正方形，这个长方体的表面积是( )平方厘米。
11．一个长方体，长、宽、高分别是a、b、c厘米，长、宽、高的和是( )厘米，棱长的和是( )厘米。
12．用4个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是( )平方厘米。
13．小云有一张边长24厘米的正方形硬纸板。如果在硬纸板的四个角上各剪去一个正方形，做成一个无盖的正方体纸盒，这个纸盒的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米。
14．下面的长方体都是由棱长为1厘米的小正方体摆成的．先数一数各有多少个小正方体,再写出它们的长、宽、高分别是多少厘米
(1)　( )个小正方体,
长( )厘米,
宽( )厘米,
高( )厘米．
(2)　( )个小正方体,
长( )厘米,
宽( )厘米,
高( )厘米．
15．棱长是4厘米的正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体( )个。
16．将一个大正方体先表面涂色后，然后将其平均切成27个大小相同的小正方体，请问两面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的有( )块。
三、判断题
17．把一个棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是2立方厘米。( )
18．一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作由9个棱长1cm的小正方体组成。( )
19．把一个正方体分成两个相同的长方体，这两个长方体的体积之和与原正方体的体积相同．( )
20．用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体至少用8块。( )
21．一个正方体的棱长总和是36厘米，它的体积和表面积相等。( )
四、作图题
22．刘恒宇同学在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图，但他不会画外盒的展开图，请你帮他在方格纸上画出这个火柴盒外盒的展开图。
五、解答题
23．明明有两块同样大小的橡皮泥，他把其中一块捏成了一把剑，另一块捏成了一把刀，捏成的两个物体哪一个的体积比较大？为什么？
一个包装盒，如果从里面量长2.8dm，宽2dm，体积为11.76dm3。妈妈想用它包装一件长2.5dm，宽1.6dm，高2dm的玻璃器皿，是否可以装下？这个玻璃器皿的表面积是多少？
25．有一个花坛，从外面量，高0.5米，底面是边长为1.2米的正方形，四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，中间填满泥土。

（1）花坛所占的空间有多大？
（2）花坛里大约有泥土多少立方米？
用一根长48分米的铁丝做一个长方体框架，使它的长宽高的比是5：4：3，这个长方体的高是多少分米？
27．晶都学校修筑一条长95米，宽10米的直跑道，先铺上0.4米厚的三合土，再铺上0.05米厚的塑胶，需要三合土、塑胶各多少立方米？合多少立方分米？
28．全民健身中心体育馆的游泳池，长50米，宽20米，深1.8米，在这个游泳池的四周和底部贴瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？
小明要给电视机做一个布罩，电视机的长是5dm，宽是45cm，高是32cm，做这个布罩需要多少布？
一个底面是正方形的长方体纸箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长8分米的正方形．纸箱的表面积是多少？（先画图，再计算）
31．名苑小区新建了一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深3米。
（1）游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）在游泳池中放水后，水面离池口还有0.8米，游泳池中有水多少立方米？
烧烤店内有一个长0.5米，宽0.4米，高10米的长方体抽油烟管，制作一个这样的抽油烟管需要多少平方米的铁皮？
33．在一个长8分米，宽4分米，高6分米的玻璃水缸中完全浸入一块正方体冰块，水面高度由4分米上升到了4.25分米。
（1）这个冰块的体积是多少立方分米？
（2）过一段时间冰块完全融化成水，体积减少了10%。这个冰块可以化为多少升水？
（3）这时水槽里的水面是上升了还是下降了？
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意可知，所形成长方体第二次出现一组相对的面是正方形，表示水的高度等于长方体的长，也就是4分米，根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，用4×3×4即可求出水的体积，再换算成升。
【详解】4×3×4
＝12×4
＝48（立方分米）
48立方分米＝48升
容器里有水48升。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用以及体积（容积）单位的换算，要熟练掌握公式。
2．C
【详解】因为3×3＝9（平方分米），所以正方形的边长为3分米。
高：3×4＝12（分米）
表面积：9×2＋3×12×4
＝18＋144
＝162（平方分米）
故答案为：C
3．C
4．A
【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：
第一种：“141”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放 1个；
第二种：“222”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；
第三种：“33”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；
第四种：“132”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放 2个正方形。
根据正方体展开图的11种特征，图A属于正方体展开图的“ 141”结构，能折成正方体；其他不属于正方体的展开图，不能折成正方体；据此解答。
【详解】由分析可知，能折成正方体。
故答案为：A。
【点睛】本题主要是考查正方体展开图的特征，关键是要掌握正方体展开图的特征。
5．D
【分析】拼成大正方体的小正方体的个数，应该是一个数的立方数，1的立方除外，如2的立方8个，3的立方27个，4的立方64个，5的立方125个等．
【详解】拼成大正方体的小正方体的个数，
应该是一个数的立方数，
故选D．
6．B
【分析】正方体棱长扩大到原来的几倍，底面积扩大到原来的倍数×倍数；表面积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。
【详解】2×2＝4，一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，底面积扩大到原来的4倍，表面积扩大到原来的4倍。
故答案为：B
【点睛】正方形面积＝边长×边长，正方体表面积＝边长×边长×6。
7． 96 64
【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。
【详解】表面积：
4×4×6
＝16×6
＝96（平方分米）
体积：4×4×4
＝16×4
＝64（立方分米）
【点睛】掌握正方体的表面积和体积的计算公式是解题关键。
8． 24 8
【分析】棱长为4厘米的正方体的每条棱长上都能切下4个棱长1厘米的小正方体，由此根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面上，没有一面涂色的小正方体在正方体的内部，即可解答问题。
【详解】4－2＝2（个），
则一面涂色的有：2×2×6＝24（个），
没有一面涂色的有：2×2×2＝8（个），
答：只有一面是绿色的有24块，没有一个面是绿色的有8块。
故答案为24；8。
9．2
10．450
【分析】根据长方体的表面积公式进行求解。
【详解】长方体的长、宽都是：20÷4＝5（厘米）
则长方体的表面积：
（5×5＋5×20＋20×5）×2
＝（25＋100＋100）×2
＝225×2
＝450（平方厘米）
【点睛】解决本题的关键是熟练掌握并运用长方体的表面积公式。
11． 4（）
【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。连接一个顶点的三条线段分别是长、宽、高。即有4条长，4条宽，4条高。
【详解】长、宽、高的和是厘米，棱长的和是4（）厘米。
12．16
【分析】根据题意，拼法有：、、、，前两种拼法都是减少了6个面的面积，后两种拼法都是减少了8个面的面积，所以要使长方体的表面积最小，采用后两种拼法；通过观察，要求后两种拼法中长方体的表面积实际上是求（6×4－8）个正方形的面积。利用正方形的面积公式解答即可。
【详解】根据分析得，6×4－8＝24－8＝16（个）
1×1×16＝16（平方厘米）
【点睛】此题的解题关键是通过组合图形的拼搭，弄清组合后表面积的变化情况，再利用面积公式解决问题。
13． 8 512
【分析】如图，正方形纸板边长÷3＝正方体棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，计算即可。
【详解】24÷3＝8（厘米）
8×8×8＝512（立方厘米）
【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握正方体体积公式。
14． 24 4 3 2 48 4 3 4
15． 96 64 8
【分析】①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积；
②抓住正方体分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数。
【详解】4×4×6＝96（平方厘米）
4×4×4＝64（立方厘米）
2×2×2＝8（立方厘米）
64÷8＝8（个）
则棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个。
【点睛】此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法。
16． 12 1
【分析】因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体。根据立体图形的知识可知：三个面均涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体剩下的就是两面涂色的；在每个面上，减去棱上的正方体都是一面涂色。所有的小正方体的个数减去所有涂色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体的个数。根据上面的结论，即可求得答案。
【详解】因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体。
3面涂色的都在顶点处，所以一共有8个。
两面涂色的有：
（3－2）×12
＝1×12
＝12（个）
1面涂色的有：
（3－2）×（3－2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
没有涂色的有：3×3×3－6－12－8
＝27－6－12－8
＝1（个）
两面涂色的小正方体有12个，没有涂色的小正方体有1个。
【点睛】此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
17．√
【分析】把棱长为1厘米的两个小正方体拼成一个长方体，则长方体的体积＝小正方体的体积×2，据此解答。
【详解】1×1×1×2＝2（立方厘米），这个长方体的体积是2立方厘米。
故答案为：√
【点睛】此题考查了立体图形的拼接问题，把较小的立体图形拼成较大的立体图形，其表面积会减少，体积是不变的。
18．×
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，分别求出棱长是3cm、棱长1cm的正方体的体积，再用棱长3cm正方体的体积除以棱长1cm正方体的体积，得到的结果进行判断。
【详解】3×3×3÷（1×1×1）
＝9×3÷（1×1）
＝27÷1
＝27（个）
一个正方体的棱长是3cm，这个正方体可以看作由27个棱长1cm的小正方体组成。
原题干一个正方体棱长是3cm，这个正方体可以看作由9个棱长1cm的小正方体组成，说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
19．√
20．√
【分析】用多个小正方体拼大正方体，棱长为1厘米时，1个；棱长为2厘米时，要用2×2×2＝8个。
【详解】用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体,棱长是2厘米时，需要8块；棱长是3厘米时，需要27块，所以至少需要8块。故原题说法正确。
【点睛】用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大正方体，至少用2×2×2＝8块。
21．×
【分析】正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。
【详解】36÷12＝3（厘米）
体积：3×3×3＝27（立方厘米），表面积：3×3×6＝54（平方厘米）
体积和表面积不是同一种量，无法比较，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】物体的体积和表面积不是同一种量，无法进行比较。
22．见详解
【分析】由题意知，火柴盒的内盒是由5个面组成的，1个底面和4个侧面；火柴盒的内盒长是4格，宽是3格，高是1格；外盒是由4个面组成，外盒与内盒的长、宽、高的长度一一对应。据此画图。
【详解】由分析可得火柴盒的外盒展开图如下：
【点睛】此题主要考查长方体的展开图，关键是明确火柴盒的外盒是由4个面组成，内盒是由5个面组成。
23．一样大；原因见详解
【分析】体积是指物体所占空间的大小，所以明明有两块同样大小的橡皮泥，体积是相同的，大小是不变的，据此解答。
【详解】答：捏成的两个物体的体积一样大；因为体积是指物体所占空间的大小，两块同样大小的橡皮泥，则体积是相同的，无论捏成了一把剑还是捏成了一把刀，体积不变，所以橡皮泥的体积＝捏成的剑的体积＝捏成的刀的体积。
【点睛】此题主要考查的是体积的定义及其应用。
24．可以装下； 24.4平方分米
【分析】首先求出这个包装盒的高，与玻璃器皿的高进行比较确定；根据长方体的表面积公式计算玻璃器皿的表面积即可。
【详解】11.76÷（2.8×2）
＝11.76÷5.6
＝2.1（分米）
2.1分米＞2分米
（2.5×1.6＋2.5×2＋1.6×2）×2
＝（4＋5＋3.2）×2
＝12.2×2
＝24.4（平方分米）
答：可以装下，这个玻璃器皿的表面积是24.4平方分米。
【点睛】此题主要根据长方体的表面积的计算方法解决问题。
25．（1）0.72立方米
（2）0.32立方米
【分析】（1）已知花坛是一个长、宽都是1.2米，高是0.5米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出花坛所占空间的大小。
（2）根据题意，花坛的四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.2米，中间填满泥土，那么花坛里面的泥土是一个长、宽都是（1.2－0.2×2）米，高是0.5米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出泥土的体积。
【详解】（1）1.2×1.2×0.5
＝1.44×0.5
＝0.72（立方米）
答：花坛所占的空间有0.72立方米大。
（2）1.2－0.2×2
＝1.2－0.4
＝0.8（米）
0.8×0.8×0.5
＝0.64×0.5
＝0.32（立方米）
答：花坛里大约有泥土0.32立方米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的运用，在求泥土的体积时，确定泥土的长、宽是解题的关键。
26．3分米
【详解】试题分析：用一根长48分米的铁丝做一个长方体框架，也就是长方体的棱长总和是48分米；根据长方体的棱的特征，长方体的12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，再根据按比例分配的计算方法，求得长方体的高；由此解答．
解：5+4+3=12（份）；
48÷4×
=12×，
=3（分米）；
答：这个长方体的高是3分米．
点评：此题主要考查长方体的特征，根据求棱长总和的方法和按比例分配的方法解决问题．
27．三合土380立方米，合380000立方分米；塑胶47.5立方米，合47500立方分米。
【分析】根据题意，求的是长95米，宽10米，高0.4米的长方体体积，以及长95米，宽10米，高是0.05米的长方体体积，根据长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答；1立方米＝1000立方分米，再化成立方分米即可解答。
【详解】需要三合土的体积：
95×10×0.4
＝950×0.4
＝380（立方米）
380立方米＝380000立方分米
需要塑胶的体积：95×10×0.05
＝950×0.05
＝47.5（立方米）
47.5立方米＝47500立方分米
答：需要三合土380立方米，合380000立方分米；塑胶47.5立方米，合47500立方分米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，以及单位名数的互换。
28．1252平方米
【分析】求需要粘瓷砖的面积，就是求这个长方体游泳池的5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据解答。
【详解】50×20＋（50×1.8＋20×1.8）×2
＝1000＋（90＋36）×2
＝1000＋126×2
＝100＋252
＝1252（平方米）
答：需要粘瓷砖的面积是1250平方米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体表面积公式是解答本题的关键。
29．83.3dm2
【分析】做这个布罩需要需要5个面，运用长×宽＋（长×高＋宽×高）×2代入数据计算，就是做这个布罩需要多少布。
【详解】45cm＝4.5dm；32cm＝3.2dm
5×4.5＋（5×3.2＋4.5×3.2）×2
＝22.5＋（16＋14.4）×2
＝22.5＋60.8
＝83.3（dm2）
答：做这个布罩需要83.3dm2布。
【点睛】本题考查了长方体的表面积公式的灵活应用，计算时要认真。
30．72平方分米
【详解】8÷4=2（分米）
8×8+2×2×2=72（平方分米）
31．（1）2010平方米
（2）3300立方米
【详解】略
32．(10×0.5＋10×0.4)×2＝18(平方米)
答：制作一个这样的抽油烟管需要18平方米铁皮．
【详解】略
33．（1）8立方分米
（2）7.2升
（3）水面下降了
【分析】（1）由题意得：放入冰块后水面上升的体积就是冰块的体积，根据长方体体积＝长×宽×高得出冰块体积；
（2）冰块化成水后体积减少10%，用冰块体积乘90%得出答案；
（3）冰块化成水后体积减少，水面应当下降。
【详解】（1）水面上升的体积就是冰块体积，即：
（立方分米）
答：这个冰块的体积是8立方分米。
（2）体积减少了10%，可以化成水的体积为：
（立方分米）
＝7.2升
答：这个冰块可以化为7.2升水。
（3）冰块化成水后体积减少10%，玻璃水缸的水面下降了。
答：这时水槽里的水面下降了。
【点睛】本题主要考查的是不规则物体体积计算，解题的关键是运用浸水法计算不规则物体体积，进而得出答案。
答案第1页，共2页
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