2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省临沂市莒南县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.下列几个命题，其中正确的命题的个数有( )
实数的共轭复数是它本身 复数的实部是实数，虚部是虚数
复数与复平面内的点一一对应 复数是最小的纯虚数
A. B. C. D.
3.若，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.的最大值是，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则( )
A. B.
C. D.
8.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形另一种是顶角为的等腰三角形例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为
B. 对应的点在第一象限
C.
D. 若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为
10.已知，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期是
C. 图象的一个对称中心是 D. 单调递增
11.已知是单位向量，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若不共线，则
C. 若，则夹角的最小值是
D. 若，则的夹角是钝角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则 ______．
13.在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与，两边分别交于，两点点，与点，不重合，设，则的最小值为______．
14.某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调递增区间；
Ⅱ求函数的值域．
16.本小题分
近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高米，叶片长米叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点此时离地面米设点转动秒后离地面的距离为米，则关于的函数关系式为．
求的解析式；
求叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于米的时长．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，且．
求；
设向量，，求的最小值．
18.本小题分
向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程请用向量法解决解决以下问题：
证明的三条高线、、交于一点；
已知矩形，为平面内任意一点，求证：；
如图，已知圆：，，是圆上两个动点，已知点，求矩形的顶点的轨迹方程．
19.本小题分
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式．
：
：
：
设复数，，求，的三角形式；
设复数，，其中，求；
在中，已知、、为三个内角，，的对应边借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明；
；
，，．
注意：使用复数以外的方法证明不给分．
参考答案
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15.解：Ⅰ函数
，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，．
Ⅱ函数
，其中，
因为，
所以，
即函数的值域为．
16.解：如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点，设为，则，
由题意得，，且，
解得，
所以；
令，则，
即，
所以，解得，
当时，，
所以叶片旋转一圈内点离地面的高度不低于米的时长为秒．
17.解：，
，即，
，
，；
由知，，则，
，
，
则，
．
，．
，可得，
则的最小值为．
18.证明：设，交于点，
因为，，则有，，
又，
，，
，可得，即所以，即，
又因为，则，，三点共线，
所以，，相交于一点．
解：以点为原点建立平面直角坐标系：
记，，，，设，
则有：，
，
故：；
设，由可得：，
得：，化简得轨迹方程为：．
19.解：
，
；
设，，的模为，的模为，，，
对于有，，
对于有，，
所以，，，，
所以，
，故，即的角的终边在轴上，
又，所以，即．
证明：如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则．
所以
即，
即，
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，．

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