2023-2024学年甘肃省甘南州卓尼县柳林中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年甘肃省甘南州卓尼县柳林中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，是相互独立事件，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A. 若，，则或
B. 若，，则
C. 若，，，则与平行或异面
D. 若，，，则与相交或平行
6.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的顶点为，母线长为，轴截面为，，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.在等腰中，，为上一点，且，记的外心为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件表示“取出球的编号为奇数”，事件表示“取出球的编号为偶数”，事件表示“取出球的编号大于”，事件表示“取出球的编号小于”，则( )
A. 事件与事件不互斥 B. 事件与事件互为对立事件
C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件互为对立事件
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若的夹角与的夹角相等，则
D. 若，则在上的投影向量为
11.如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点，，作截面交于点，则( )
A.
B. 平面平面
C. 平面
D. 点到截面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则 ______．
13.如图，点是海上的一个钻井平台，甲船、乙船、丙船分别位于点，，三个位置，甲船在乙船的正北方向，丙船在乙船的正东方向，且海里，海里，若，海里，则丙船到钻井平台的距离为______海里．
14.如图，在中，，为的中点将沿翻折，使点移动至点，在翻折过程中，当时，三棱锥的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为坐标原点，，，．
若，，三点共线，求实数的值；
若点满足，求的最小值．
16.本小题分
已知角满足，．
求和的值；
求的值．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
18.本小题分
为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从类的个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得分，否则得分；第二轮从类的个问题中任选两题依次作答，每答对一题得分，答错得分若两轮总得分不低于分，则晋级复赛甲和乙同时参赛，已知在类的个问题中，甲只能答对个问题，在类的个问题中，甲答对的概率都为；乙答对每个问题的概率都为甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．
求甲在第一轮比赛中得分的概率；
以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的大小．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，，，
所以，，
又，，三点共线，所以，
所以，解得；
因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以当时，．
16.【答案】解：已知角满足，，
则，
即，
即，，
则；
由可得：，
．
17.【答案】解：在中，，
由正弦定理得，，
又，，
，，，
，；
在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得负值舍去，
的面积为．
18.【答案】解：对类的个问题进行编号：，，，，，其中甲能答对的个问题的编号为，，，，
第一轮从类的个问题中任选个问题作答，则所选的个题的情况为：
，，，，，，，，，，共种，
其中得分的情况有，，，，共种，
甲在第一轮比赛中得分的概率为；
甲晋级复赛分两种情况：
甲第一轮得分且第二轮至少得分的概率为：，
甲第一轮得分且第二轮得分的概率为：，
甲晋级复赛的概率为．
乙晋级复赛分两种情况：
乙第一轮得分且第二轮至少得分的概率为：，
乙第一轮得分且第二轮得分的概率为：，
乙晋级复赛的概率为：，
，
以晋级复赛的概率大小为依据，乙更容易晋级复赛．
19.【答案】解：取的中点，连接，，在中，，，，
，
平面，平面，
，
，分别为，的中点，
，，，又，
平面，
直线与平面所成角为，
在中，，，
，
故直线与平面所成角的正弦值为；
取的中点，连接，取的中点，连接，，
由，，可得，
，，
，又，
平面，又平面，
，
是二面角的平面角，
在中，，，
，
即，
故二面角的大小为．
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