特训 02 比较大小的六大技巧（五大题型）
技巧一：构造函数法
根据题目所给数的特点，寻求某个函数作为模型，然后将各数统一到一个模型中，利用函数的单
调性比较大小。
技巧二：中间量法
技法归纳
当两个数或式直接比较大小比较困难时，我们可以尝试引用中间量辅助判断.中间量是一种辅助手
段，选取的中间量也是因题而异，要多观察题目本身的特点，经过适当的转化，找到恰当的中间量，
完成判断.
技巧三：图像法
在同一个坐标系中画出两函数的图像，确定图像的交点，在相邻两个交点之间观察图像的高低，
进而确定函数值的大小。
技巧四：特值法
根据题意巧赋特值可快速比较大小；特殊值法是解决一些客观题的重要法宝。
技巧五：函数模型法
Inx
f（x）= 的图像如图所所示
x
Inx
（1）f（x）= 在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，＋∞）上单调递减；当 x=e时，取得最大
x
1
值 .
e
（2）f(2)=f(4)
（3） a b 与 ba （a＞b＞0）的大小关系：当 e＞a＞b＞0时， a b ＞ ba ；当 a＞b＞e时， a b ＜ ba 。
记忆口诀：大指小底（大于 e 看指数，小于 e 看底数）
技巧六：作差（商）法
目录：
01 混合式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
02 对数式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
03 构造函数、利用导数比较大小
04 利用导数，函数的单调性、奇偶性、对称性比较大小
05 不等式与利用函数性质比较大小比较综合
01 混合式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
-0.3
1．（2024· · 1 天津 一模）已知 a = 30.3，b = log4 3， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 2
A．b < a < c B．b
【答案】B
【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.
【解析】因为0 = log4 1 < b = log4 3 < log4 4 =1，
1 -0.3c = =20.3 ÷ >1， a = 30.3 >1，
è 2
因为 y = x0.3 在 0, + 上单调递增，
所以 20.3 < 30.3 ，所以b故选：B.
2．（2024·安徽·三模）若 a = log3 7 ，b = log9 40， c = 4.05 ，则（ ）
A． c【答案】D
【分析】根据对数函数的性质 a = log3 7 = log9 49，可比较 a,b，然后 a,c 再与 2 比较大小，可得结果.
【解析】依题意， a = log3 7 = log9 49，故 a > b；而 a < log3 9 = 2 < c，
故b < a < c，
故选：D.
3．（2024·山东潍坊·二模）已知 a = e-1 ，b = lg a ， c = e0，则（ ）
A．b < a < c B．bC． a < b < c D． c < b < a
【答案】A
【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量 0 和 1 即可比较大小.
【解析】 a = e-1 (0,1)，b = lg a = lg e-1 = - lg e < 0， c = e0 =1，
所以b < a < c，
故选：A.
4．（2024·宁夏银川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，则（ ）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
【答案】D
【分析】根据 f x = lg x， g x = 0.2x ， h x = cos x的单调性，分别判断 a,b,c的大概范围，即可得出大小.
【解析】由题知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，因为 f x = lg x在定义域内单调递增，
所以 f 15 > f 10 ，即 c = lg15 > lg10 =1，
因为 g x 1= 0.2x 在定义域内单调递减，所以 g ÷ < g 0 2 ，即0 < a = 0.2
0.5 < 0.20 =1，
è
因为 h x = cos x在 0, π 上单调递减，所以 h 2 < h π ÷，即b = cos2 < cos
π
= 0，
è 2 2
综上：b < 0 < a <1< c .
故选：D
5．（2024· 1-log 4山东聊城·三模）设a = log49,b = log 325,c = 3 ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A．b > a > c B．b > c > a C． a > b > c D． c > b > a
【答案】A
【分析】根据对数运算性质及对数函数单调性比较大小即可.
【解析】因为函数 y = log2x 在 0, + 上单调递增，
故b = log25 > log23 = log49 = a > log2 2 =1，
3
又 c = 31-log3 4 = 3log3 3-log3 4
log
= 3 3 4 3= <1，
4
所以b > a >1 > c .
故选：A
02 对数式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 a = log615，b = log8 20， c = log2012 2024，则 a、b 、 c的大小关系为
（ ）
A． a < b < c B． a < c < b
C．b < a < c D． c < b < a
【答案】D
【分析】利用对数的性质，结合对数函数的单调性求解.
15 5
【解析】 a = log615 = log6 6÷ = log6 +1，
è 6 2
b = log8 20 = log
20
8 8
= log 5 +1，
è 8 ÷ 8 2
c = log 2024 5062012 2024 = log2012 2012÷ = log2012 2012
+1，
è 503
log 5因为 6 ＞log
5
8 ，所以 a＞b ，2 2
5
因为 log8 ＞log8 2
1
= ，
2 3
log 506
1 1
2012 ＜log2012 10 = log2012 10003＜log2012 20123
1
= ，
503 3
所以b＞c ，
所以 c < b < a .
故选：D.
7．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知 a = log4 2，b = log53， c = log4 2 log53 ，则 a，b ， c的大
小关系为（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【答案】D
1
【分析】根据对数运算得 a = ，利用对数函数的单调性得 a < b ，根据不等式的性质可得 a > c ，从而可得
2
结果.
1 1
【解析】因为 a = log4 2 = log 42
1
4 = ，b = log53 > log5 5 = ，∴ a < b ，2 2
因为0 < log53 <1，∴ c = log4 2 log53 < log4 2 = a，
∴ b > a > c．
故选：D．
8．（20-21 高三上·广西·阶段练习）已知实数 a、b 满足 log 1 a = log1 b ，下列五个关系式：① a > b >1，②
2 3
0 < b < a <1，③ b > a >1，④ 0 < a < b <1，⑤ a = b .其中不可能成立的关系式有 个.
【答案】 2
1 t t
【解析】设 log 1 a = log1 b = t a = 1 ，可得出 ÷ ，b = ，分 t < 0、 t = 0、 t > 0三种情况讨论，利用幂函2 3 è 2 è 3 ÷
数 y = xt 在区间 0, + 上的单调性可得出结论.
t t
【解析】设 log 1 a = log1 b = t ，可得 a 1= b = 1 ， .
2 3 2 ÷ 3 ÷è è
1 t 1 t1 （ ）当 t < 0时， 由于幂函数 y = xt 在区间 0, + 上为减函数，则 t ÷ > ÷ >1 =1，即b > a >1，③成
è 3 è 2
立；
（2）当 t = 0时，则 a = b =1，⑤成立；
t t
（3 t > 0 1 1 ）当 时，由于幂函数 y = xt 在区间 0, + 上为增函数，则0 < ÷ < ÷ <1t =1，
è 3 è 2
即 0 < b < a <1，②成立.
因此，不可能成立的为①④.
故答案为： 2 .
【点睛】本题考查利用幂函数的单调性比较大小，同时也考查了对数式与指数式相互转化，属于中等题.
9．（2024·四川成都·二模）若a = ln2 6,b = 4ln 2 × ln 3,c = (1+ ln 3)2 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． c < a < b B． a < b < c C． c < b < a D．b < a < c
【答案】D
【分析】做差法比较 a,b的大小，利用对数的性质比较 a,c 的大小.
【解析】 a = ln2 6 = ln 2 + ln 3 2 c = ln e + ln 3 2，
因为 ln 2 + ln 3 < ln e + ln 3，所以 ln 2 + ln 3 2 < ln e + ln 3 2，即 a < c，
a = ln2 6 = ln 2 + ln 3 2，b = 4ln 2 × ln 3，
则 a - b = ln 2 + ln 3 2 - 4ln 2 × ln 3 = ln 2 - ln 3 2 > 0，即b < a ，
所以b < a < c .
故选：D.
03 构造函数、利用导数比较大小
10．（23-24 高二下·湖南衡阳·期中）已知 a = 4ln3π ,b = 3π,c = 4lnπ3 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． c < b < a B． cC．b【答案】C
【分析】观察 a,c
ln x
的式子结构，构造函数 f x = ，利用导数判断 f x 的单调性，从而得到 c < a，再利
x
用对数函数的单调性判断出b < c ，从而得解.
【解析】因为 a = 4ln3π = 4π ln 3,b = 3π,c = 4lnπ3 = 4 3ln π，
a ln 3 , c ln π f x ln x= = ，构造函数 = ，则 f (x) 1- ln x= ，
12π 3 12π π x x2
当 x (0,e)时， f (x) > 0, f (x)单调递增，
当 x (e,+ )时， f (x) < 0, f (x) 单调递减，
f (π) f (3) ln π ln 3 c a因为 π > 3 > e，所以 < ，即 < <π 3 ，即 ，所以
c < a；
12π 12π
又 ln π > lne =1，所以3π < 3 4 < 4 3ln π ，即b < c .
综上，b故选：C .
ln a - ln b
11．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知2a = 3，3b = 4， c = ，则在 loga b ， loga c， logb a ， logb c，a - b
logc a ， logc b这 6 个数中，值最小的是 ．
【答案】 logb c
a
5 3 7 a
-1
【分析】首先利用对数的性质得到 < b < < a < 且 ab = 2
b
，构造 y = ln -b a 并利用导数研究其在4 2 4
b
ln a - ln b 1
(1, + ) 2 5 3上的单调性可得 7
< ，结合 6 个数的正负只需判断
2 4 2 4
log a
logc a 、 log
c
b c大小，作商法 = logc a logc 2 - log
2 a
log c c 判断与 1 的大小关系，即可得答案.b
【解析】由 log 4 243
5 3 7
3 = < b = log3 4 < log3 27 = = log2 8 < a = log2 3 < log 42 128 = ，4 2 4
ab = log 3 log 4 = log 3 log 2 4且 2 3 2 = 2log2 3
，
5
所以 < b
3 7 a
< < a < ，故 >1，
4 2 4 b
a
-1 2
构造 y = ln
a
- b a
b a ，令 t = (1,+ )，则 f (t) = 2ln t
1
- t + f (t) 2 1 1 (t -1)，则 = - - 2 = - 2 < 0，b t t t t
b
a
a -1
所以 f (t) 在 (1, + )上递减，故 f (t) < f (1) = 0 ln < b ln a - ln b 1 2，故 b a ，即 < = ；a - b ab 2
b
2 5 3 7
综上，0 < c < < < b < < a < ，
2 4 2 4
1 1
6 个数中，正数有 loga b 、 logb a ，负数有 logc a < logc b < 0、0 > loga c = > logb c =logc a log b
，
c
logc a 2
所以只需比较 logc a 、 logb c大小，又 = loglog c c
a logc b ，而 logc b = logc = logc 2 - logc a，
b a
logc a 2log a log
2 2 log2 2
所以 = c log 2 - log
2 a = - log c c 2
log c c c c a - logc 2 + < = logc 2 ，b 4 4
由 log
logc a
2 2 = -1< logc 2 < 0，故 log2c 2 <1，即0 < <1 log a > log c
2 log c
， c b .
b
综上，值最小的是 logb c .
故答案为： logb c
5 3 7 ln a - ln b
【点睛】关键点点睛：由对数的性质得到 < b < < a < 且 ab = 2，利用对数均值不等式确定 c =
4 2 4 a - b
的范围，结合不等式性质找到最小数.
12．（23-24 高三上·河北·期末）已知 sina + 2a = sinb + 3b = 2 ，则（ ）
A．blga > algb > blgb B．blga > blgb > algb
C． algb > blga > blgb D． algb > blgb > blga
【答案】B
【分析】由题意构造 f x = sinx + 2x ， g x = sinx + 3x，结合 f x 与 g x 的大小关系与单调性得
0 < b < a <1，从而利用对数函数的单调性和运算性质得到答案.
【解析】令 f x = sinx + 2x g x = sinx + 3x， ，
当 x > 0时， g x > f x > 0，当 x < 0 时， g x < f x < 2 .
在 0, + x上 f x = cosx + 2 ln 2 > 0， g x = cosx + 3x ln 3 > 0，
所以 f x ， g x 在 0, + 上均单调递增，
由 sina + 2a = sinb + 3b = 2 ，即 f a = g b = 2可得 0 < b < a <1，
因为幂函数 y = xb 在 0, + 上单调递增，所以 ab > bb ，
指数函数 y = bx 在 R 上单调递减，所以bb > ba ，
综上可知， ab > bb > ba .
又因为对数函数 y = lg x 在 0, + 上单调递增，
所以 lgab > lgbb > lgba ，即blga > blgb > algb .
故选：B.
13．（23-24 高三下·黑龙江大庆·阶段练习）已知 a = log2 986
1 1
- log2 985,b =1- cos ,c = ，则（ ）986 985
A．b > a > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > b > a
【答案】C
【分析】设 g x = log2 x +1 - x，根据函数的单调性比较 a,c ，再根据b,c作差比较大小的思想，设
f x =1- cos x - x ，0 < x <1，利用函数的导数讨论函数的单调性得出 f x < 0 ，再结合b,c的具体值得出
结果.
1
【解析】设 g x = log2 x +1 - x, x 0,1 ，则 g x = -1 x +1 ln 2 ，
当 x
0,
1
-1 ÷ 时， g x > 0， g x 单调递增；
è ln 2
x 1 -1,1 当 ÷时， g x < 0， g x 单调递增；
è ln 2
又 g 0 = g 1 = 0，所以 g x = log2 x +1 - x > 0, x 0,1 ，
所以 a = log2 986 - log2 985
1 1
= log 2 1+ ÷ > = c；
è 985 985
0 b 1 cos 1 1 0 1 1< = - < ， < < c = <1，
986 986 985
设 f x =1- cos x - x ，0 < x <1，
f x = sin x -1 < 0，所以函数 f x 在区间 0,1 上单调递减，
所以 f x =1- cos x - x < f 0 = 0，
1
所以1- cos x < x ，又0 < <1，
986
1 cos 1 1 1所以 - < < ，则b < c ，
986 986 985
综上， a > c > b .
故选：C.
14．（23-24 高二下·安徽宿州·期中）已知 a = ln 2 ，b = e-1， c = ln 3 3 （e 为自然对数的底数），则实数 a,b,c
的大小关系为（ ）
A． a < c < b B．b < a < c C． c【答案】A
【分析】根据 a,b,c
ln x
式子特点，构建函数 f (x) = ，利用导数判断函数 f (x) 的单调性，利用函数单调性比
x
较b,c大小，再由 y = ln x 的单调性比较 a,c 大小，则可得结果.
1- ln x
【解析】令 f (x)
ln x
= ，则 f (x) =
x x2
，
故当 x (0,e)时， f (x) > 0 ， f x 单调递增，
当 x (e,+ )时， f (x) < 0 ， f x 单调递减，
b = e-1 ln e而 = = f (e)， c = ln 3 3
ln 3
= = f (3)，
e 3
因为e < 3， f (e) > f (3)，故 c < b ，
因为函数 y = ln x 在 0, + 上为增函数，
3
6 2 6 3
2
而 2 = é 2 ù = 8, 3 3 = é 3 ùê ú ê 3 ú = 9，且8 < 9，
所以 2 < 3 3 ，所以 a < c，
所以 a < c < b .
故选：A.
15．（2024·安徽· π-3三模）已知 a = e ,b = ln eπ - 2e ,c = π - 2，则（ ）
A．b【答案】A
f x = ex-1【分析】构造函数 - x，利用导数求取单调性可得 a、 c之间大小关系，构造函数
g x = ln x - x +1，利用导数求取单调性可得b 、 c之间大小关系，即可得解.
【解析】由 a = eπ-3 ,b = ln eπ - 2e ，
a = e π-2 -1即 ,b = ln eπ - 2e = ln π - 2 +1，
令 f x = ex-1 - x x >1 ，
则 f x = ex-1 -1 > 0在 1, + 上恒成立，
故 f x 在 1, + 上单调递增，
f π - 2 = e π-2 -1则有 - π - 2 > f 1 = 0，即 a > c ，
令 g x = ln x - x +1 x >1 ，
则 g x 1 1- x= -1 = < 0在 1, + 上恒成立，
x x
故 g x 在 1, + 上单调递减，
则有 g π - 2 = ln π - 2 +1- π - 2 < g 1 = 0，即b < c ，
故b故选：A.
x-1
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数 f x = e - x、 g x = ln x - x +1，以比较 a、 c与b 、 c
之间大小关系.
17
16．（2024·湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d a分别满足下列关系：16 =15,b = log17 16, log15 c = ,d tan
3
= ，则
16 16 2
a,b,c,d 的大小关系为（ ）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得 a < b ，利用指对数函数的单调性，通过
构造函数判断单调性可推得 c < a，最后利用正切函数的单调性可得b < d .
【解析】由16a = 15,可得a = log1615,
2
a - b = log ln15 ln16 ln15 × ln17 - (ln16)1615 - log1716 = - = ,ln16 ln17 ln16 × ln17
ln15 ln17 ln15 + ln17
2
ln255
2 ln256 2
因 × < ÷ =
÷ <
2
2 2 2 ÷
= (ln16) ，
è è è
又 ln16 × ln17 > 0，故 a - b < 0 ,即 a < b ；
log 17
17 15
16
因 15 c = ,16 ，则 c =
15 15< ,由 c 16 15 ln16 ln16 ln15 ，
16 è16 ÷ 16
< = × =
a log1615 16 ln15 16 15
由函数 y
ln x
= ， y
1- ln x
= 2 ，因 x>e时， y < 0，x x
y ln x ln16 ln15即函数 = 在 (e, + )上单调递减，则有0 < < ，故得 c < a；
x 16 15
由b = log 16 < 1 d tan
3 tan π17 ，而 = > = 1，即b < d ，2 4
综上，则有 c < a < b < d .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
04 利用导数，函数的单调性、奇偶性、对称性比较大小
1 1
17．（2024·辽宁·二模）已知定义在 R 上的函数 f (x) = ex - e- x ，设 a = 20.7 × f (20.7 ) b = ( )-0.8， × f (( )-0.8 )，
2 2
c = - log0.7 1.25 × f (log0.7 0.8)，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C．b > c > a D． c > b > a
【答案】A
【分析】构造函数并判断奇偶性，通过导函数求出函数的单调区间，根据函数单调性比较大小即可
【解析】令F (x) = xf (x)(x R) ，因为F (-x) = -x(e- x - ex ) = x(ex - e- x ) = F (x) ，
所以 F (x)为偶函数．
F (x) = (ex - e- x ) + x(ex + e- x )，
因为当 x 0 时， ex - e- x e0 - e-0 = 0， x(ex + e- x ) 0，此时 F (x)≥0 ，
所以 F (x)在[0, + ) 上单调递增．
因为 a = 20.7 × f (20.7 ) = F (20.7
1
) -0.8
1 -0.8 1 -0.8
，b = ( ) × f (( ) ) = F (( ) ) ，
2 2 2
c = - log0.7 1.25 × f (log0.7 0.8) = log0.7 1.25
-1 × f (log0.7 0.8) = log0.7 0.8 × f (log0.7 0.8) = F (log0.7 0.8)，
20.7
1
1 ( )-0.8 = 20.8 0.7因为 > ， > 2 ， log0.7 0.8 < log0.7 0.7 = 1，2
(1)-0.8所以 > 20.7 > log
1 -0.8
0.7 0.8 > 0，所以F (( ) ) > F (2
0.7 ) > F (log 0.8)，
2 2 0.7
即b > a > c．
故选：A．
18．（2024·山东菏泽·一模）已知 f (x) = xh(x)，其中 h(x) 是奇函数且在R 上为增函数，则（ ）
1 3 2 2- - 3- -
A． f log 2 3 2 3
1
2 ÷ > f 2 ÷ > f 2 ÷ B． f 2 ÷ > f 2 ÷ > f log3 2 ÷è è è è è è 3
f 1
2 2- 3 3- - -
C． log2 ÷ > f
1
3
2 3 ÷ > f 2 2 ÷ D． f 2 3 ÷ > f 2 2 ÷ > f log2 ÷
è è è è è è 3
【答案】C
1 3 2- -
【分析】判断函数 f (x) = xh(x)的奇偶性和单调性，继而判断 log2 , 2 2 , 2 3 的取值范围和大小关系，结合函3
数的奇偶性和单调性，即可比较大小，即得答案.
【解析】由于 h(x) 是奇函数且在R 上为增函数，故 h(0) = 0，
当 x > 0时， h(x) > h(0) = 0，且 f (x) = xh(x)为偶函数，
且 f (x) = xh(x)在 (0, + )上单调递增，在 (- ,0)上单调递减，
3 2
- -
又 log 12 < 0 < 2 2 < 2 3 <1< log2 3，3
1 2- 3-
故 f log2 ÷ = f - log2 3 = f log2 3 > f3 2
3 ÷ > f 2 2 ÷，
è è è
故选：C
2
19．（23-24 x高二下·甘肃兰州·期中）已知函数 f x = + cosx a = f 0.20.2 ,b = f 20.2，设 ,c = f log0.2 2 ，2
则（ ）
A．b > a > c B． a > b > c
C．b > c > a D． c > a > b
【答案】A
【分析】先判断函数 f x 的奇偶性，再利用导数研究函数 f x 的单调性，最后利用指数函数和对数函数的
0.2 0.2
单调性比较0.2 ,2 , log5 2大小，即可比较.
x2 -x 2 2
【解析】因为函数 f x = + cosx的定义域为 R，且
2 f -x = + cos -x
x
= + cosx = f x ，
2 2
所以函数 f x 为偶函数，所以 f log0.2 2 = f -log5 2 = f log5 2 ，
又 f x = x - sin x, x 0 ，令 g x = x - sin x ，则 g x =1- cos x 0，
所以函数 f x = x - sin x在 0, + 上单调递增，所以 f x f 0 = 0 - sin 0 = 0 ，
所以函数 f x 在 0, + 上单调递增，
1 1 0
0
÷ < 0.2 = ÷ < ÷ =1 = 2
0 < 20.2 ，
2 è 32 è 5 è 5
所以00.2 < 20.2 ，所以 f log5 2 < f 0.20.2 < f 20.2 ，所以b > a > c .
故选：A
1 420．（2024·山西·三模）已知函数 f x = log x21 - 2x + 3 - x -1 ，若 a = f log2 3 ,b = f sin ÷ ,c = f e5 ÷，
2 è 3 è
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < c < a D． c < b < a
【答案】D
【分析】首先得到 f x 关于直线 x =1对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数
4
g(x) = x - sin x,h(x) = x - x2 - sin x,f x = ex - x -1的单调性得到 log2 3-1<1- sin
1
< e5 -1，则比较出大小关
3
系.
é 2 ù
【解析】因为 f x = log 1 x -1 + 2 - x -1 ，
2
则 f 2 - x = log é1 2 - x -1
2 + 2ù - 2 - x -1 = log 1 x
2 - 2x + 3 - x -1 = f x ，
2 2
则 f x 关于直线 x =1对称，
x 1 f x = log é x -1
2 + 2ù当 时， 1 - x -1 ，
2
é
根据复合函数单调性知 y = log 1 x -1
2 + 2ù 在 1, + 上单调递减，
2
且 y = - x -1 在 1, + 上也单调递减，
则 f (x) 在[1, + ) 上单调递减，再结合其对称性知 f x 在 (- ,1]上单调递增.
令 g(x) = x - sin x,0 < x <1，则， g (x) = 1 - cos x > 0 ，
所以 g(x)在 (0,1)上单调递增，且 g(0) = 0，所以 g(x) > 0 即 x > sin x .
令 h(x) = x - x2 - sin x,0 < x <1，则 h (x) =1- 2x - cos x ，
设j x =1- 2x - cos x ，j (x) = -2 + sin x < 0，
所以 h (x)单调递减且h (0) = 0，因此 h (x) < 0，
所以 h(x) 单调递减且 h(0) = 0，所以 h(x) < 0，即 x - x2 < sin x .
2 sin 1 1 2由 x - x < sin x < x得 < < ，所以 <1- sin
1 7
< .
9 3 3 3 3 9
2 3
又因为 log2 3-1 = log
3 , 2 3 3 272 = log2 2 ，且 ÷ = < 4，2 3 è 2 8
2
所以 log2 3-1< .3
设f x = ex - x -1 0 < x <1 f x = ex -1 > e0， ，则 -1 = 0 ，
则f x 在 0,1 上单调递增，则f x > f 0 = 0 ，
即 ex - x -1 > 0，即 ex -1 > x在 0,1 上恒成立，
4
x 4 7即 e -1 > x，所以 e5 -1 > > .
5 9
4 4
所以 log2 3-1<1- sin
1
< e5 -1，则1< log2 3 < 2 - sin
1
< e5 ，
3 3
4
f log 3 > f 2 - sin 1 > f 1 1 故 2 3 ÷
e5 ÷，而 f 2 - sin ÷ = f sin ÷，
è è è 3 è 3
即 c < b < a .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到 f x 的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到
4
log2 3-1<1- sin
1
< e5 -1，则比较出三者大小.
3
21．（2024 高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数 f x 的定义域为R ，对任意的 x 满足
f -x = f x + 2 ，且 f x 在区间 -1,0 1上单调递减，若 a = log4 3，b = log 2 ， c = log 2 2 23 ，则81 4
f a ， f b ， f c 的大小关系为（ ）
A． f c > f a > f b B． f c > f b > f a
C． f a > f b > f c D． f a > f c > f b
【答案】D
【分析】由 f -x = f x + 2 求出对称轴，再结合奇偶性求出 f x 的周期；求出 a，b 的范围以及 c的值，
得出0 < b + 4 < c < a <1的关系式，再利用 f x 在 0,1 上的单调性，即可得出答案.
【解析】因为 f -x = f x + 2 ，
所以 f x 关于 x =1对称，
又因为 f x 为偶函数，
所以 f x = f -x = f x + 2 ，
所以 f x 为周期函数，T = 2，
b 2因为 = log3 = log3 2 - log3 81
1
= log 2 - 4 ，且0 < log3 2 <1，
81 2 3
4 b 7 0 b 4 1所以- < < - ， < + < ，
2 2
3
因为 log 444 = log4 2 2 < log4 3 < log4 4 =1，
所以 a = log 3
3
,1 4 4 ֏
1 3
又因为 c = log 2 2 2 = ，4 4
所以0 < b + 4 < c < a <1，
因为 f x 在 -1,0 上单调递减， f x 为偶函数，
所以 f x 在 0,1 上单调递增，
所以 f (b + 4) < f (c) < f (a)，
所以 f (b) < f (c) < f (a)，
故选：D.
1
22．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f
x = x3 + 2x - cos x, a = f lg3 ,b = f ln
1
2 ÷
,c = f 23 ÷ ，则 a,b,c的
è è
大小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C．b > a > c D． c > a > b
【答案】D
1 1
【分析】先通过求导确定函数 f x 的单调性，再通过比较 23 , lg3, ln 的大小来得答案.
2
【解析】由题意知 f x = 3x2 + 2 + sin x > 0，易知 f x 在R 上单调递增．
1
因为0 = lg1< lg3 < lg10 =1, ln 1 < ln1 = 0,23 > 20 =1，
2
1 1
所以 23 1> lg3 > ln ，所以 f 23 ÷ > f lg3 f ln
1
> ÷，
2 è è 2
即 c > a > b .
故选：D.
1 x2 -1
23．（2022 高三·全国·专题练习）若 f x = ln - e ,a = f log0.30.5 ,b = f log2.5 2 x 1 ， c = f log+ 0.5 2 ，
则（ ）
A．b < a < c B． a < b < c C． c【答案】D
【分析】根据题意可知： f x 为定义在R 上的偶函数，且在 0, + 内单调递减，再结合对数运算以及单调
性、奇偶性分析判断.
【解析】由题意可知： f x 的定义域为R ，
2 2
且 f -x = ln
1
- e - x -1 1= ln - ex -1 = f x f x
-x +1 x +1 ，可知 为偶函数，
1 2
当 x 0 时，则 f x = ln - ex -1，
x +1
因为 y
1
= 在 0, + 内单调递减，且 y = ln x 在定义域内单调递增，
x +1
1
可知 y = ln 在 0, + 内单调递减，
x +1
且 y = x2 -1在 0, + 内单调递增，且 y = -ex 在定义域内单调递减，
可知 y = -ex
2 -1在 0, + 内单调递减，
所以 f x 在 0, + 内单调递减，
log ln 0.5 ln 2 ln 2
又因为 0.3
0.5 = =
ln 0.3 ln 10
, log2.5 2 = , log0.5 2 = -1ln 2.5 ，
3
ln 10
ln 2 ln 2
则 > ln 2.5 ln 2 0
0 <
> > ，可得 ln 10
< <1
3 ln 2.5
，即0 < log0.3 0.5 < log2.5 2 <1，
3
所以 f log0.3 0.5 > f log2.5 2 > f 1 = f -1 ，即 c < b < a .
故选：D.
05 不等式与利用函数性质比较大小比较综合
24．（2023·四川内江·一模）已知实数 a，b 满足3a = 5b =15，则 a、b 满足的关系有 .（填序号）
① a + b > 4 ；② a -1 2 + b -1 2 < 2；③ 3a < 5b ；④ a2 + b2 >10 .
【答案】①③
1 1
【分析】对于①，先得到 + =1，再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于
a b
④，先作差，再求出 4 < ab < 4.3，即可判断得解.
【解析】解：Q3a = 5b =15，\a = log3 15，b = log5 15，
1 1 1 1
对于①， + = + = log15 3+ log15 5 = log 15 =1a b log3 15 log5 15
15 ，
a b a b 1 1 a b a b所以 + = + + ÷ = 2 + + > 2 + 2 × = 4（由于 a b ，所以不能取等）.
è a b b a b a
所以该命题正确；
1 1
对于②，由 + =1得 a + b = ab ，因为 a + b > 4,\ab > 4 .
a b
a -1 2 + b -1 2 - 2 = a2 + b2 - 2(a + b) = (a + b)2 - 2ab - 2(a + b) = a2b2 - 4ab
= ab(ab - 4) > 0，所以 a -1 2 + b -1 2 > 2 ，所以该命题错误；
对于③，3a - 5b = 3log3 15 - 5log5 15
3lg15 5lg15
= - = lg15( 3 5- )
lg3 lg5 lg3 lg5
lg15(3lg5 - 5lg3) lg15(lg125 - lg 243= = ) < 0
lg3 lg5 lg3 ，所以3a < 5b ，所以该命题正确；× × lg5
对于④， a2 + b2 -10 = (a + b)2 - 2ab -10 = a2b2 - 2ab -10 = (ab -1)2 -11 ,
4 9 9
a = log 15 < log 9 3 5= ，Q543 3 2 > 3
5 ,\55 > 3,\55 >15,\b = log5 15
9
< log5 (55 ) = ，5
所以 4 < a + b < 4.3，所以 4 < ab < 4.3，
所以 (ab -1)2 -11 < (4.3 -1)2 -11 =10.89 -11< 0 ，
所以 a2 + b2 <10，所以该命题错误.
故答案为：①③
【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到 a2 + b2 -10 = (ab -1)2 -11，然后用利用
9
a = log3 15 < log
5
3 9 3 = 2 ，b = log5 15 < log5 (5
5 ) 9= 得到 4 < ab < 4.3，即可求解
5
25．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知 a = 3ln 7 ，b = 4ln 6 ， c = 5ln5， d = 6ln 4 ，则在 b - a ， c - b ， d - c ，
d - b ， d - a ， c - a 这 6 个数中最小的是（ ）
A． b - a B． c - b C． d - b D． c - a
【答案】C
【分析】分析题意得出 d = b ，进行下一步转化得出最小值是 d - b 即可.
【解析】因为 ln a = ln 3 × ln 7， ln b = ln 4 × ln 6，
ln c = ln 5 × ln 5， ln d = ln 4 × ln 6，则 d = b ，故 d - b = 0，
又 b - a > 0， c - b > 0， d - c > 0 ， c - a > 0， d - a > 0 ，故最小值是 d - b ，
故选：C．
a b
26．（23-24 · - a+b高三上 黑龙江哈尔滨·开学考试）已知a > b > 0且ab =1，若把 b ， 2 ， a 按照从大2 2
到小的顺序排列，则排在中间的数是（ ）
a
A - a+b
b
． B． b 2 C． a D．无法确定2 2
【答案】B
【分析】本题可以采用特殊值法、不等式的性质、构造函数解决.
【解析】法一：特殊值法.
1 a 3
令 a = 3，b = ，则 b = 1 >1，
3 2 23
5- a+b - 1 1 1 1 12 = 2 3 = ，而 > 5 > 2 =5 2 4
23 23
b 1 a - a+b 2 b= > > - a+ba ，所以 b a ，所以中间数为
2 .2 24 2 2
法二：不等式的性质
a b
由题意， a >1 > b > 0，所以 a ×2a > b ×2b ，所以 b > a ，2 2
a+b 2b a 1 - a+b
又Qa × 2 > 2 = 2b ，所以 b >2 a+b
= 2 ’
2
b 1 - a+b 2a a+b
又Q2a = 2 > b × 2 ，所以 a <2 a+b
= 2 ’
2
a - a+b b
所以 b > 2 >
- a+b
a ，所以中间数为
2 .2 2
法三：构造函数
a 2log2 a log2 a 1- log2 b log2 b 1-
= = 2 a b 2b 1 ， - a+b
a+b
- = = 2 b
2 2 = 2 2 ， 2a 1 ，
2a 2b
问题变为比较 log a
1 a + b
2 - ，- ， log2 b
1
- 的大小.
a 2 b
x 1+ x 1-
构造函数 g(x) 1= log x - - (- x ) = log x + x ， x > 02 x 2 2 2
很显然， g(x)为两个增函数的和，在 (0, + )为增函数，所以 g(a) > g(1) = 0 > g(b)，
a 1+ b 1+
所以 log a 1 a + b 12 - > - a = - = - b > log b -
，
a 2 2 2 2 b
log2 a 1- a+b- log2 b 1 a - a+b b所以 -2 a > 2 2 > b ，即 b > 2 >2 2a
.
故选：B.
一、单选题
3
1 π
1．（2024·全国·模拟预测）已知 a = log5 12，b = sin 1
4
，
3 10 c = 7 ÷
，则（ ）
è
A． a < b < c B． c < b < a C．b < c < a D． a < c < b
【答案】B
【分析】由b = sin
π
< sin π 1= 1，利用对数运算将 a 缩为 2 比较 a，b；由10 6 2
b π π= sin > sin cos π 1 sin π 1 sin π 1 1= > = ，利用指数运算将 c 放为 比较 b，c.
10 10 10 2 5 2 6 4 4
1 1 1 1 π π 1
【解析】解：因为 a = log
3 5
12 = log5 144 > log5 125 = ，b = sin < sin = ，6 6 2 10 6 2
所以b < a ．
3 1 1
b sin π sin π cos π 1 sin π 1 π 1因为 = > = > sin = 4 4 4， 1 1 1 1 ，
10 10 10 2 5 2 6 4 c = 7 ÷
= ÷ < ÷ =
è è 343 è 256 4
所以 c < b ．
综上可知， c < b < a ．
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) 满足 f (x) = f (2 - x)，且在区间[1, + ) 上单调递减.设
a = f (- ln1.1)，b = f 20.4 ， c = f log2 5 ，则（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D．b > a > c
【答案】D
【分析】由 f (x) = f (2 - x)，得到对称轴为 x =1，然后求解 a = f (- ln1.1) = f (2 + ln1.1)，进而利用 f x 在
[1, + ) 上单调递减，比较大小，判断选项.
【解析】由 f (x) = f (2 - x)，得到对称轴为 x =1，则 a = f (- ln1.1) = f (2 + ln1.1)，
1< 20.4而 < 2 + ln1.1< 2 + log2 1.1 = log2 4.4 < log2 5，又 f x 在[1, + ) 上单调递减，
f 20.4则 > f (2 + ln1.1) > f log2 5 ，得b > a > c .
故选：D
3
3．（2024·全国·模拟预测）若 a = log 3,b = 0.1 2 ,c = ln cos2 2023 ，则下列大小关系正确的是（ ）8
A．b < a < c B． c < a < b C． a < b < c D． c < b < a
【答案】D
1 1
【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较 a与 1 和 2 ，b 与 0 和 2 的大小，后利用
0 < cos2 2023 <1结合对数函数单调性，可比较 c与 0 的大小，即可得答案.
【解析】因对数函数 y = log8 x 在 0, +
1 1
上单调递增，则 log8 8 = < log83 < log88 =1，即 < a <1．2 2
1 x 1
因指数函数 y = ÷ 在R 上单调递减，幂函数 3 在R 上单调递增，
è10 y = x
3 1 1
3 1 2 1 3 1 3 1 1则0 < 0.1 2 = ÷ < ÷ < ÷ = ，即0 < b < < a <1．
è10 è10 è 8 2 2
又注意到0 < cos2 2023 <1， y = ln x 在 0, + 上单调递增，所以 ln cos2 2023 < 0，即 c < 0，所以
c < b < a ．
故选：D．
4．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2)为偶函数，且当 x1 < x2 < 2时，
5
[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，若 a = f (1) ，b = f (ln10)， c = f (34 )，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C． b < a < c D． c < a < b
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【解析】当 x1 < x2 < 2时，[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，
即当 x1 < x2 < 2时， f (x2 ) > f (x1)，函数 f (x) 在 - , 2 上单调递增，
又 f (x + 2)为偶函数，即 f (x + 2) = f (-x + 2)，所以函数 f (x) 关于 x = 2对称，
则函数 f (x) 在 2, + 上单调递减，
所以 a = f (1) = f (3)
3 3
因为10 5 5< 3 ÷ < e ，所以10 <
3
÷ < e
è 2 è 2
5
所以 2 < ln10 < ln e3 = 3 < 34 ，
5
所以 f ln10 > f 3 > f 34 ÷，即 c < a < b，
è
故选：D.
5．（2024·河北邯郸·三模）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数， f (x + 2) = f (x) ，且 f (x) 在[-1,0]上单调递减，
若a = f log3 45
4
，b = f - log5 8 ， c = f ÷ ，则（3 ）è
A． a < b < c B． a < c < b
C． c【答案】B
【分析】首先得 f (x) 在[1, 2]上单调递减，进一步通过偶函数性质以及 f (x + 2) = f (x) 将自变量都转换到区间
[1, 2]内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解.
【解析】因为 f (x) 是偶函数， f (x + 2) = f (x) ， f (x) 在[-1,0]上单调递减，
所以 f (x) 在[1, 2]上单调递减． a = f log3 45 = f 2 + log3 5 = f log3 5 ，b = f - log5 8 = f log5 8 ，
4 4
因为53 =125 > 34 = 81，83 = 512 < 54 = 625，所以5 > 33 ，8 < 53 ，
所以1< log5 8
4
< < log3 5 < 2，3
f log 8 f 4 所以 5 > ÷ > f log3 5 ，故 a < c < b3 ．è
故选：B.
5
6．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，则（ ）
4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
【答案】A
x
【分析】构造函数 f x = e - x -1，由 f x x的单调性和最值可证明c > b ，再构造 g x = lnx - ，由 g x
e
的单调性和最值可证明 a < b ，即可得出答案.
【解析】令 f x = ex - x -1，则 f x = ex -1.
当 x - ,0 时， f x < 0， f x 单调递减，
当 x 0, + 时， f x > 0， f x 单调递增，
f x f 0 = 0 c e0.3 1 0.3 1.3 5则 ，故 = > + = > .
4
g x lnx x g x 1 1 e - x令 = - ，则 = - = .
e x e ex
当 x e, + 时， g x < 0， g x 单调递减，
则 g 3 < g e = 0，即 ln3 3 3 5< < = .
e 2.4 4
故 a < b < c .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数
f x = ex - x -1，和 g x = lnx x- 即可得出答案.
e
7．（2024·安徽合肥·一模）已知函数 f x 的定义域为 0, + ，且 x + y f x + y = xyf x f y , f 1 = e，
1
记 a = f ÷ ,b = f 2 ,c = f 3 ，则（2 ）è
A． a < b < c B．b < a < c
C． a < c < b D． c < b < a
【答案】A
【分析】根据函数 f x 满足的表达式以及 f 1 = e，利用赋值法即可计算出 a,b,c的大小.
【解析】由 x + y f x + y = xyf x f y , f 1 = e可得，
1 1 1 1
令 x = y
1
= ，代入可得 f 1 = f 2
2 2 2 ÷
=e，即 a = f
2 2 ÷
= ±2 e ，
è è
2
令 x = y =1 2 f 2 = f 2，代入可得 1 = e2 b f 2 e，即 = = ，
2
2
x =1, y = 2 3 f 3 2 f 1 f 2 2e e e3 c f 3 e
3
令 ，代入可得 = = = ，即 = = ；
2 3
2 3
由 e 2.71828 × × ×可得±2 e e e< < ，
2 3
显然可得 a < b < c .
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函
数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
5c
8．（2024· · 5a河南南阳 模拟预测）设 ln = 0.2,b = 0.96,e 2 = 5，则（ ）
4
A． c < b < a B． cC． a < c < b D． a < b < c
【答案】A
【分析】表示出 a,b,c
1
，并适当变形，观察式子，构造函数 f x = x - - 2lnx(0 < x <1) ,
x
g x = ex - x -1(0 < x <1)，利用导数即可证明当0 < x <1 x时，有-2xlnx <1- x2， 1- x e >1- x2 ，从而即可
比较大小.
5a
【解析】 ln = 0.2 得 a = 0.8e0.2 = 1- 0.2 e0.2 .
4
5c
由 e 2 = 5得 c = -2 0.2ln0.2 ，
又b = 0.96 =1- 0.22 .
取 x = 0.2，则 a = 1- x ex ,b =1- x2 ,c = -2xlnx .
设 f x = x 1- - 2lnx(0 < x <1)，
x
2
则 f x 1= 1-
x ÷
> 0，
è
所以 f x 在区间 0,1 内单调递增，
又 f 1 = 0 x 1，则 - - 2lnx < 0 ，
x
即-2xlnx <1- x2，所以 c < b .
令 g x = ex - x -1(0 < x <1)，
则 g x = ex -1 > 0，
所以 g x 在区间 0,1 内单调递增，
则 g x > g 0 = 0，
故 ex x 2> x +1，则 1- x e >1- x ，即b < a ，
所以 c < b < a .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是构造适当的函数，利用导数证明当0 < x <1时，有-2xlnx <1- x2，
1- x ex >1- x2 ，由此即可顺利得解.
二、多选题
9．（2024·重庆·模拟预测）若b > c > 1， 0 < a < 1，则下列结论正确的是（ ）
A．ba < ca B． logb a > logc a
C． cba < bca D．b logc a > c logb a
【答案】BC
【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断 A; 由对数函数性质可判断 B; 由幂函数性质可判断 C; 由不等
式的性质可判断 D.
【解析】对于 A：∵ 0 < a < 1，幂函数 y = xa在 (0, + )上单调递增，
且b > c > 1，∴ ba > ca ，故选项 A 错误；
对于 B：∵ 0 < a < 1，∴函数 y =loga x在 (0, + )上单调递减，
又∵ b > c > 1，∴ loga b < loga c < loga 1 = 0，
0 1 1∴ > > 0 > log a > log alogb c log a
，即 b c ，故 B 正确；
c
对于选项 C：∵ 0 < a < 1，则 a -1< 0，Q幂函数 y = xa-1在 (0, + )上单调递减，
且b > c > 1，∴ ba-1 < ca-1，∴ cba < bca ，故选项 C 正确；
对于选项 D：由选项 B 可知：0 > logb a > logc a ，∴ 0 < - logb a < - logc a ，
∵ b > c > 1，
∴ c(- logb a) < b(- logc a)，∴ b logc a < c logb a，故 D 错误.
故选：BC.
10．（2024·辽宁·模拟预测）已知 a = ln1.5,b = e-0.5 ,c = sin0.5,d = 0.3，则（ ）
A． c > a > d B． a > c > d
C．b > c > a D．b > a > d
【答案】ACD
3
f x = ln x - x +1, x > 0 g x = ex【分析】依次构造函数 、 - x -1、 h x = sin x - x、m x sin x x= - x + 、
6
n x ln x 1 x x
2 x3
= + - + - ，分别求出函数的导函数得出函数的单调性，进而证明不等式成立，即可得出
2 3
答案.
【解析】令 f x = ln x - x +1, x > 0，则 f x 1 x -1= -1 = - ，
x x
当0 < x <1时，有 f x > 0，所以 f x 在 0,1 上单调递增；
当 x >1时，有 f x < 0，所以 f x 在 1, + 上单调递减.
所以， f x 在 x =1处取得唯一极大值，也是最大值 f 1 = 0，
所以， f 1.5 < 0，即 ln1.5 - 0.5 < 0，所以 a < 0.5；
令 g x = ex - x -1 x，则 g x = e -1，
当 x < 0 时，有 g x < 0，所以 g x 在 - ,0 上单调递减；
当 x > 0时，有 g x > 0，所以 g x 在 0, + 上单调递增.
所以， g x 在 x = 0处取得唯一极小值，也是最小值 g 0 = 0，
所以， g -0.5 > 0，即 e-0.5 - 0.5 > 0，所以b > 0.5；
令 h x = sin x - x，则 h x = cos x -1 0恒成立，
所以 h x 在 - , + 上单调递减.
又 h 0 = 0，
所以，当 x > 0时， h x < 0恒成立，
所以 sin x - x < 0，即 sin x < x 在 0, + 上恒成立，所以 c < 0.5；
2
令 k x = ln x +1 x- x + ，
2
2
则 k x 1 1 x= - + x = > 0在 0, + 上恒成立，
x +1 x +1
所以， k x 在 0, + 上单调递增.
又 k 0 = 0，
所以 k x > 0在 0, + 上恒成立，
2 2
即 ln x x+1 - x + > 0，即 ln x +1 x> x - ，
2 2
2
所以， ln1.5 > 0.5 0.5 3- = > 0.3 .
2 8
所以， a > d ；
3 2
令m x = sin x x x x- + ，则m x = cos x -1+ .
6 2
2
令m1 x
x
= cos x -1+ ，则m 1 x = -sin x + x .2
因为 sin x < x 在 0, + 上恒成立，所以m 1 x > 0在 0, + 上恒成立，
所以，m1 x 在 0, + 上单调递增.
又m1 0 = 0，
所以m1 x > 0在 0, + 上恒成立，
即m x > 0在 0, + 上恒成立，m x 在 0, + 上单调递增.
又m 0 = 0，所以m x > 0 在 0, + 上单调递增，
3
23所以，m 0.5 = sin 0.5 0.5 0.5- + = sin 0.5 23- > 0 ，即 sin 0.5 > ；
6 48 48
2 3
令 n x x x= ln x +1 - x + - ，
2 3
n x 1 1 -x
3
则 = - + x - x2 = < 0在 0, + 上恒成立，
x +1 x +1
所以， n x 在 0, + 上单调递减.
又 n 0 = 0，
2 3
所以 n x < 0，即 ln x x x+1 < x - + ，
2 3
ln1.5 0.5 0.5
2 0.53 5
所以， < - + = .
2 3 12
5 23
因为 < ，所以 ln1.5 < sin 0.5，即 a < c .
12 48
综上所述， d < a < c < b .
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：构造函数，通过求解导函数，得出函数的单调性，进而结合特殊点处的函数值，证明
不等式成立.
11．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数 a b c cb， ， 满足 < ba <1< logc a ，则一定有（ ）
A．a < 1 B． a < b C．b < c D． c < a
【答案】AB
【分析】根据 cb <1，ba <1可得 c,b 0,1 ，进而判断出 a < c <1，A 正确；
构造 f x ln x= ， x > 0得到单调性，从而求出 a < b ，B 正确；CD 选项可以举出反例.
x
【解析】由正实数 a，b，c，以及 cb <1，ba <1可得 c,b 0,1 ，
又 logc a >1 = logc c ，所以 a < c <1．
所以 ab < cb ，又 cb < ba ，所以 ab < ba ，
ln a ln b
即b ln a < a ln b，等价于 < ，
a b
ln x
构造函数 f x = ， x > 0
x
f x 1- ln x= ，
x2
1- ln x
当 x 0,1 时， f x = 2 > 0x
f x ln x故 = 在 0,1 上递增，从而 a < b ．
x
又取b = c b a时，原式为b < b <1< logb a同样成立，
故 CD 不正确，
故选：AB
【点睛】对于指数，对数比较大小问题，属于高频考点，难点在于部分题目需要构造函数进行比较，本题
中要结合不等式的特点构造 f x ln x= ，利用导函数求出其单调性，根据函数单调性比较大小
x
三、填空题
1 1 1
12．（2023·广西柳州·二模）① 0.35
2
> log 3 5，② ln 2
2
< ，③ 3
2 e > 2
，④ 2ln sin + cos ÷ < ，上述不
è 8 8 4
等式正确的有 （填序号）
【答案】②④
【分析】由指数对数的运算法则和不等式的性质比较大小.
【解析】对于①：0.35 < 0.30 =1， log3 5 > log3 3 =1，∴ 0.35 < log3 5，不等式①错误；
ln 2 2 2
对于②： ln 2 < ln e =1< 2 ，∴ < ，即 ln 2 < ，不等式②正确
2 2 2
1 1 2
对于③： e2 < 2.82 = 7.84 < 8，∴ e2 3 < 83 ，即 e3 < 2，不等式③错误；
2
1
对于④： 2ln sin + cos
1
÷ = ln
sin
1 1 1 1 1
+ cos
8 8 8 8 ÷
= ln 1+ 2sin ×cos ÷ = ln 1+ sin ÷，
è è è 8 8 è 4
令 f (x) = x - sin x, x 0,1 ，则 f (x) = 1- cos x > 0在 x 0,1 上恒成立， f (x) 在 0,1 上单调递增，
5
f 1 1 1 1
4
∴ = - sin > f (0) = 0 sin
1 1
< ln 1+ sin < ln 1
1
+
5 ln 4 5 5
÷ ， ，得 ÷ ÷ = ln ， 1 = 4ln = ln ÷ < ln e=1，è 4 4 4 4 4 è 4 è 4 4 4 è 4
4
∴ ln
5 1
< ，
4 4
1
∴ 2ln sin + cos
1 5 1< ln < ，不等式④正确.
è 8 8 ÷ 4 4
故答案为：②④
-0.2
13 2022· · f x = 2022x2 + log x a 1= f ÷ ,b = f lg 1 ,c = f 4log 6．（ 广东 模拟预测）已知 ，且 ÷ ÷ 0.22 è10 ÷ ，è è 2022
则 a,b,c之间的大小关系是 .（用“ <”连接）
【答案】 c6
【分析】易得函数 f x 为偶函数，且在 0, + 上递增，再利用中间量法比较 4log0.2 ,100.2 , lg 2022的大小关系，
根据函数的单调性即可得出答案.
【解析】解：函数 f x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，
因为 f -x = 2022x2 + log2 x = f x ，
所以函数 f x 为偶函数，
因为函数 y = 2022x2 , y = log2 x 在 0, + 上递增，
所以函数 f x = 2022x2 + log2 x 在 0, + 上递增，
1 -0.2 a = f ÷ = f 100.2则 ÷ ÷ ,b
1
= f lg ÷ = f lg 2022 ，
èè10 è 2022
因为 log0.2 6 < 0
6
，所以0 < 4log0.2 <1，
1<100.2 < 0.235 = 3 < lg 2022，
6
所以 4log0.2 <100.2 < lg 2022，
f 4log 6所以 0.2 < f 100.2 < f lg 2022 ，
即 c故答案为： c14．（2021·四川成都·二模）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，且对任意的x1，
x2 1,+ ，当 x1 x2 时，都有 x1 f x1 + x2 f x2 < x1 f x2 + x2 f x1 成立．若 a = f ln 2 ，
b = f log0.2 0.03 ， c = f 20.7 ，则 a，b ， c的大小关系为 ．（用符号“ <”连接）
【答案】b【分析】转化条件为函数 f x 在 1, + 上单调递减，结合指数函数、对数函数的性质可得
log0.2 0.03 2
3
> > 20.7 > > 2 - ln 2 >1，即可得解.
2
【解析】因为 x1 f x1 + x2 f x2 < x1 f x2 + x2 f x1 ，
所以 x1 - x2 é f x1 - f x2 ù < 0，
所以函数 f x 在 1, + 上单调递减，
因为函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，所以 a = f ln 2 = f 2 - ln 2
1 1
因为 ln e2 < ln 2 < ln e即 < ln 2 <1，所以1< 2 - ln 2
3
< ，
2 2
3
又 2 > 20.7 > 25 5 8 243 3= > 5 = ， log0.2 0.03 > log0.2 0.04 = 2，32 2
log 0.03 2 20.7 3所以 0.2 > > > > 2 - ln 2 >1，2
所以 f log0.2 0.03 < f 20.7 < f 2 - ln 2 即b故答案为：b【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变量的
大小比较.特训 02 比较大小的六大技巧（五大题型）
技巧一：构造函数法
根据题目所给数的特点，寻求某个函数作为模型，然后将各数统一到一个模型中，利用函数的单
调性比较大小。
技巧二：中间量法
技法归纳
当两个数或式直接比较大小比较困难时，我们可以尝试引用中间量辅助判断.中间量是一种辅助手
段，选取的中间量也是因题而异，要多观察题目本身的特点，经过适当的转化，找到恰当的中间量，
完成判断.
技巧三：图像法
在同一个坐标系中画出两函数的图像，确定图像的交点，在相邻两个交点之间观察图像的高低，
进而确定函数值的大小。
技巧四：特值法
根据题意巧赋特值可快速比较大小；特殊值法是解决一些客观题的重要法宝。
技巧五：函数模型法
Inx
f（x）= 的图像如图所所示
x
Inx
（1）f（x）= 在区间（0，e）上单调递增，在区间（e，＋∞）上单调递减；当 x=e时，取得最大
x
1
值 .
e
（2）f(2)=f(4)
（3） a b 与 ba （a＞b＞0）的大小关系：当 e＞a＞b＞0时， a b ＞ ba ；当 a＞b＞e时， a b ＜ ba 。
记忆口诀：大指小底（大于 e 看指数，小于 e 看底数）
技巧六：作差（商）法
目录：
01 混合式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
02 对数式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
03 构造函数、利用导数比较大小
04 利用导数，函数的单调性、奇偶性、对称性比较大小
05 不等式与利用函数性质比较大小比较综合
01 混合式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
-0.3
1．（2024·天津·一模）已知 a = 30.3
1
，b = log4 3， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 2
A．b < a < c B．b2．（2024·安徽·三模）若 a = log3 7 ，b = log9 40， c = 4.05 ，则（ ）
A． c3．（2024·山东潍坊·二模）已知 a = e-1 ，b = lg a ， c = e0，则（ ）
A．b < a < c B．bC． a < b < c D． c < b < a
4．（2024·宁夏银川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，则（ ）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
5．（2024·山东聊城·三模）设a = log49,b = log25,c = 3
1-log3 4 ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A．b > a > c B．b > c > a C． a > b > c D． c > b > a
02 对数式的大小比较 、利用函数的单调性比较大小
6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 a = log615，b = log8 20， c = log2012 2024，则 a、b 、 c的大小关系为
（ ）
A． a < b < c B． a < c < b
C．b < a < c D． c < b < a
7．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知 a = log4 2，b = log53， c = log4 2 log53 ，则 a，b ， c的大
小关系为（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
8．（20-21 高三上·广西·阶段练习）已知实数 a、b 满足 log 1 a = log1 b ，下列五个关系式：① a > b >1，②
2 3
0 < b < a <1，③ b > a >1，④ 0 < a < b <1，⑤ a = b .其中不可能成立的关系式有 个.
9．（2024·四川成都·二模）若a = ln2 6,b = 4ln 2 × ln 3,c = (1+ ln 3)2 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． c < a < b B． a < b < c C． c < b < a D．b < a < c
03 构造函数、利用导数比较大小
10．（23-24 高二下·湖南衡阳·期中）已知 a = 4ln3π ,b = 3π,c = 4lnπ3 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． c < b < a B． cC．bln a - ln b
11．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知2a = 3，3b = 4， c = ，则在 loga b ， loga c， logb a ， logb c，a - b
logc a ， logc b这 6 个数中，值最小的是 ．
12．（23-24 高三上·河北·期末）已知 sina + 2a = sinb + 3b = 2 ，则（ ）
A．blga > algb > blgb B．blga > blgb > algb
C． algb > blga > blgb D． algb > blgb > blga
13．（23-24 高三下·黑龙江大庆·阶段练习）已知 a = log2 986 - log2 985,b =1
1 1
- cos ,c = ，则（ ）
986 985
A．b > a > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > b > a
14．（23-24 高二下·安徽宿州·期中）已知 a = ln 2 ，b = e-1， c = ln 3 3 （e 为自然对数的底数），则实数 a,b,c
的大小关系为（ ）
A． a < c < b B．b < a < c C． c15．（2024·安徽· π-3三模）已知 a = e ,b = ln eπ - 2e ,c = π - 2，则（ ）
A．ba 17 316．（2024·湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d 分别满足下列关系：16 =15,b = log17 16, log15 c = ,d = tan ，则
16 16 2
a,b,c,d 的大小关系为（ ）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
04 利用导数，函数的单调性、奇偶性、对称性比较大小
17．（2024·辽宁·二模）已知定义在 R 上的函数 f (x) = ex - e- x ，设 a = 20.7 × f (20.7 )，b
1 1
= ( )-0.8 × f (( )-0.8 )，
2 2
c = - log0.7 1.25 × f (log0.7 0.8)，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C．b > c > a D． c > b > a
18．（2024·山东菏泽·一模）已知 f (x) = xh(x)，其中 h(x) 是奇函数且在R 上为增函数，则（ ）
1 3 2 3 2- - - - f log > f 2 2 1 A． 2 3 ÷ ÷
> f 2 3 ÷ B． f 2 2 ÷ > f 2 3 ÷ > f log2 ÷
è è è è è è 3
1 2- 3- 2- 3- 1
C． f log ÷ > f 2 3 ÷ > f 2 22 ÷ D． f 2 3 ÷ > f 2 2 ÷ > f log
è 3 2 ÷ è è è è è 3
2
19．（23-24 x 0.2 0.2高二下·甘肃兰州·期中）已知函数 f x = + cosx，设 a = f 0.2 ,b = f 2 ,c = f log0.2 2 ，2
则（ ）
A．b > a > c B． a > b > c
C．b > c > a D． c > a > b
42
20．（2024·山西·三模）已知函数 f x = log 1 x - 2x + 3 - x -1 ，若 a = f log2 3 ,b = f sin 1 ÷ ,c = f e5 ÷，
2 è 3 è
则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < c < a D． c < b < a
21．（2024 高三上·陕西延安·专题练习）已知偶函数 f x 的定义域为R ，对任意的 x 满足
f -x = f x + 2 ，且 f x 在区间 -1,0 上单调递减，若 a = log 14 3，b = log 2 ， c = log 2 23 2 ，则81 4
f a ， f b ， f c 的大小关系为（ ）
A． f c > f a > f b B． f c > f b > f a
C． f a > f b > f c D． f a > f c > f b
3 1
1
22．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = x + 2x - cos x, a = f lg3 ,b = f ln ÷ ,c = f 23 ÷ ，则 a,b,c的
è 2 è
大小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C．b > a > c D． c > a > b
1 x2 -1
23．（2022 高三·全国·专题练习）若 f x = ln - e ,a = f log0.30.5 ,b = f logx 1 2.5 2 ， c = f log+ 0.5 2 ，
则（ ）
A．b < a < c B． a < b < c C． c05 不等式与利用函数性质比较大小比较综合
24．（2023·四川内江·一模）已知实数 a，b 满足3a = 5b =15，则 a、b 满足的关系有 .（填序号）
① a + b > 4 2 2；② a -1 + b -1 < 2；③ 3a < 5b ；④ a2 + b2 >10 .
25．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知 a = 3ln 7 ，b = 4ln 6 ， c = 5ln5， d = 6ln 4 ，则在 b - a ， c - b ， d - c ，
d - b ， d - a ， c - a 这 6 个数中最小的是（ ）
A． b - a B． c - b C． d - b D． c - a
a b
26 - a+b．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知a > b > 0且ab =1，若把 ， b 2 ， a 按照从大2 2
到小的顺序排列，则排在中间的数是（ ）
a - a+b bA． b B． 2 C． a D．无法确定2 2
一、单选题
3
1
1．（2024·全国·模拟预测）已知 a = log5 12，b = sin
π 1 4， c = ÷ ，则（ ）3 10 è 7
A． a < b < c B． c < b < a C．b < c < a D． a < c < b
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) 满足 f (x) = f (2 - x)，且在区间[1, + ) 上单调递减.设
a = f (- ln1.1) b = f 20.4， ， c = f log2 5 ，则（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D．b > a > c
3
3．（2024·全国·模拟预测）若 a = log 3,b = 0.1 2 ,c = ln cos2 2023 ，则下列大小关系正确的是（ ）8
A．b < a < c B． c < a < b C． a < b < c D． c < b < a
4．（2024·宁夏银川·二模）定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2)为偶函数，且当 x1 < x2 < 2时，
5
[ f (x2 ) - f (x1)](x2 - x1) > 0恒成立，若 a = f (1) ，b = f (ln10)， c = f (34 )，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C． b < a < c D． c < a < b
5．（2024·河北邯郸·三模）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数， f (x + 2) = f (x) ，且 f (x) 在[-1,0]上单调递减，
若a = f log3 45 ，b = f - log5 8 c
4
， = f
3 ÷
，则（ ）
è
A． a < b < c B． a < c < b
C． c5
6．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，则（ ）
4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
7．（2024·安徽合肥·一模）已知函数 f x 的定义域为 0, + ，且 x + y f x + y = xyf x f y , f 1 = e，
1
记 a = f ÷ ,b = f 2 ,c = f 3 ，则（ ）
è 2
A． a < b < c B．b < a < c
C． a < c < b D． c < b < a
5c
8．（2024·河南南阳·模拟预测）设 ln 5a = 0.2,b = 0.96,e 2 = 5，则（ ）
4
A． c < b < a B． cC． a < c < b D． a < b < c
二、多选题
9．（2024·重庆·模拟预测）若b > c > 1， 0 < a < 1，则下列结论正确的是（ ）
A．ba < ca B． logb a > logc a
C． cba < bca D．b logc a > c logb a
10．（2024·辽宁·模拟预测）已知 a = ln1.5,b = e-0.5 ,c = sin0.5,d = 0.3，则（ ）
A． c > a > d B． a > c > d
C．b > c > a D．b > a > d
11．（2022· b a湖北·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 c < b <1< logc a ，则一定有（ ）
A．a < 1 B． a < b C．b < c D． c < a
三、填空题
2 1 1 1
12 5 2 ．（2023·广西柳州·二模）① 0.3 > log3 5，② ln 2 < ，③ e3 > 2，④ 2ln sin + cos < ，上述不2 è 8 8
÷
4
等式正确的有 （填序号）
1
-0.2
6
13．（2022·广东·模拟预测）已知 f x = 2022x2 + log2 x ，且 a = f ÷ ÷÷ ,b = f
lg
1 log
÷ ,c = f 4 0.2 ，
èè10 è 2022
则 a,b,c之间的大小关系是 .（用“ <”连接）
14．（2021·四川成都·二模）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，且对任意的x1，
x2 1,+ ，当 x1 x2 时，都有 x1 f x1 + x2 f x2 < x1 f x2 + x2 f x1 成立．若 a = f ln 2 ，
b = f log0.2 0.03 ， c = f 20.7 ，则 a，b ， c的大小关系为 ．（用符号“ <”连接）