北师大版（2024）数学七年级上册《 第五章 一元一次方程》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020七上·哈尔滨月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·钟山期末）如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
3．（2020七上·武威月考）把方程 去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020七上·新疆期末）运用等式性质进行的变形，不正确的是 （ ）
A．如果a=b，那么a-c=b-c B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果a=b，那么 D．如果a=b，那么ac=bc
5．（2021七上·永安期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
6．（2023七上·利川期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2023七上·揭东月考）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
8．（2023·成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2018七上·唐山期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（ ）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023七上·江油月考）请列举一个方程，使它满足未知数系数为，未知数的解为3，这个方程可以为 ．
12．（沪科版七上数学3.1一元一次方程及其解法课时作业（3））当x= 时，代数式4x-5与3x-6的值互为相反．
13．（2022·诸暨模拟）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将九个数字填入 的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，根据如图的幻方，则代数式 ．
x
-2 y
0
14．（2020·章丘模拟） 等于 数时，代数式 的值比 的值的 倍小 .
15．（2024·贵州）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ．
16．（2024·佛山模拟）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·金沙月考） 解下列方程：
（1）
（2）．
18．（2020七上·北京期中）解方程
（1）
（2）
19．（2023七上·利川期末）解方程：
（1）；
（2）
20．（2024七上·恩施期末）解方程：
（1）2x+1＝﹣x+3；
（2）．
21．（2023七上·萧山月考）已知a－2(4－x)＝5a是关于x的方程，且与方程6－x＝有相同的解．
（1）求a的值．
（2）求多项式的值．
22．（2024·嘉兴模拟）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次．
（1）求小曹第一局的得分，
（2）第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值．
23．（2023七上·青秀月考）小明用长方形硬纸板做底面为正方形的长方体盒子，他用如图两种方法进行裁剪．
A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面，
现有35张硬纸板，其中x张用A方法裁剪，其余用B方法裁剪．
（1）A方法裁剪出侧面的个数为 个；
B方法裁剪出侧面的个数为 个，底面共有 个；
（用含x的代数式表示，结果要求化简）
（2）若用（1）中裁剪出的侧面和底面做长方体盒子，恰好全部用完，求共做了多少个盒子？
24．（2023七上·金华月考）某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
用水量/月 单价（元/m3）
不超过20 m3 2.05
超过20 m3的部分 3.05
另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费
（1）根据上表，用水量每月不超过20 m3，实际每立方米收水费多少元？如果10月份某用户用水量为18 m3，那么该用户10月份应该缴纳水费多少元？
（2）某用户11月份共缴纳水费80元，那么该用户11月份用水多少立方米？
（3）若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】A、 最高次数是2，不是一元一次方程，选项不符合题意；
B、 是一元一次方程，选项符合题意；
C、 含有2个未知数，不是一元一次方程，选项不符合题意；
D、 含有2个未知数，且最高次数是2，不是一元一次方程，选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，根据一元一次方程的定义对每个选项进行判断即可。
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得：m=-1，
故答案为：C.
【分析】利用一元一次方程的定义可得，再求出m的值即可.
3．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】原方程两边同时乘以6可得： ，
故答案为：A.
【分析】由题意将原方程两边同时乘以6（不能漏项）可求解.
4．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】A、根据等式性质1，a＝b两边都减c，即可得到a c＝b c，故本选项正确；
B、根据等式性质1，a＝b两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故本选项正确；
C、根据等式性质2，当c≠0时原式成立，故本选项错误；
D、根据等式性质2，a＝b两边都乘以c，即可得到ac＝bc，故本选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】如果设第一个天平中左右砝码质量为a，b，则由题意得：a=b，
第二个天平中增加的小砝码质量为c，则a+c=b+c，
∴与如图的事实具有相同性质的是，如果 ，那么 ，
故答案为：C.
【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（2）在不等式两边同乘一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等.
6．【答案】C
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、若4x-3=5，则4x=3+5，错误；
B、若4x+1=3x+1，则4x-3x=2-1，错误；
C、若-5x=3，则x=，正确；
D、若-1=，则3（x-1）-6=2x，错误.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，移项时要注意变号，分式去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数.
7．【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：设“□”处的系数是a，
则4×4-3=4a+1，
∴4a=12
解得：a=3．
他把“”处的系数看成了3.
故答案为：B．
【分析】设“□”处的系数是a，则4×4-3=4a+1，然后解一元一次方程，即可得解．
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
9．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
10．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： =1，
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵方程满足未知数系数为，未知数的解为3，
∴这个方程可以为：-2x=-6，
故答案为：-2x=-6（答案不唯一）.
【分析】根据方程满足未知数系数为，未知数的解为3，列方程求解即可。
12．【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：（4x-5）+（3x-6）=0，
解得：x= ，
所以当x= 时，代数式4x-5与3x-6的值互为相反数．
故答案为：
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0可得4x-5+3x-6=0，然后对方程进行移项、合并同类项、系数化为1，即可求出x的值.
13．【答案】2
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，
∴0+y+2y=0+x+（-2），
∴3y=x-2，
∴x-3y=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得出0+y+2y=0+x+（-2），从而得出x-3y=2，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】根据数量关系列方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得： ，
整理得：
解得：
故答案为：
【分析】由题意列出方程求解即可得出答案.
15．【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设快马追上慢马需要x天，
由题意得240x=150（12+x），
解得x=20，
即快马追上慢马需要的天数是20天.
故答案为：20.
【分析】设快马追上慢马需要x天，根据追及问题的等量关系：快马x天所走的路程=慢马(x+20)天所走的路程建立方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，所求图中x前面的系数是1，y前面的系数是2，结果是32；
∴所求图表示的方程为x+2y=32
故答案为：x+2y=32.
【分析】根据题中定义，例子中从左到右依次表示x和y的系数及常数项，根据例子中方程可知第一个图表示x前面的系数，第二个图表示y前面的系数，后面两个图，横着两个代表20，竖着的三个代表3，即可直接求解.
17．【答案】（1）解：．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
方程两边同除以，得．
（2）解：．
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
方程两边同除以11，得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）根据去分母、去括号、移项合并同类项，系数化为1，即可求解；
18．【答案】（1）解：
移项得 ，
合并同类项得 ；
（2）解：
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化1得 ．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可。
19．【答案】（1）解：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为：
（2）解：，
去分母：，
去括号：，
移项、合并：，
系数化为1：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）解含括号的一元一次方程，先去掉括号，再移项，合并同类项，即可解方程；
（2）解含分数的一元一次方程，先去掉分母，再移项，合并同类项，即可解方程.
20．【答案】（1）解：移项，合并同类项，得3x＝2，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得3（2﹣x）﹣18＝2x﹣（2x+3），
去括号，得6﹣3x﹣18＝2x﹣2x﹣3，
移项，合并同类项，得﹣3x＝9，
系数化为1，得x＝﹣3．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先移项和合并同类项，再系数化为1即可求解；
（2）先去分母方程左右同时乘以6，再根据根据去括号法则：若括号前的符号为负号，则去括号时，要将括号内的每一项均改变符号；若括号前的符号为正号，则去括号时，括号内的每一项不需要改变符号，据此去括号，然后再移项和合并同类项，最后系数化为1即可求解.
21．【答案】（1）解：6－x＝，
去分母得：12－2x＝x＋3，
移项合并得：－3x＝－9，
解得：x＝3，
把x＝3代入a－2(4－x)＝5a得：a－2＝5a，
解得：a＝．
（2）解：当a＝时，原式＝－2
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)解方程 6－x＝得x=3，代入 a－2(4－x)＝5a ，计算求解即可；
（2）由（1）得a＝，代入多项式，计算求解即可.
22．【答案】（1）解：小曹第一局的得分为（分）．
（2）解：由题意得，
解得．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先根据题意列式计算即可；
（2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”，得到，解方程即可．
23．【答案】（1）；；
（2）解：侧面共有个，底面共有个，
根据已知得：
得：，
∴
答：能做21个盒子．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）A方法裁剪出侧面的个数，
B方法裁剪出侧面的个数为，
裁剪出底面的个数为，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可得解；
（2）由题意侧面共有个，底面共有个， 可得 ，计算求解即可.
24．【答案】（1）解：由表中数据可知，10月份某用户用水量为18 m3 ，不超过20 m3 ，所以该用户10月份应该缴纳水费18×（2.05+0.8+0.15）=54(元).
答： 该用户10月份应该缴纳水费54元.
（2）解：由(1)知，每月用水量不超过20 m3 ，实际每立方米收水费为2.05+0.8+0.15=3元，20×3=60＜80，所以11月份用水量超过了20 m3，设11月份用水量为xm3，
根据题意列方程得20×3+(x-20)×(3.05+0.8+0.15)=80，
解得x=25m3.
答：该用户11月份用水25 m3.
（3）解：因为20×3=60＞54，所以水表12月份出故障时收费按没有超过20 m3计算.设12月份实际用水量为ym3，根据题意列方程得y(1-25%)×3=54，解得y=24m3，
则20×3+(24-20)×(3.05+0.8+0.15)=76(元).
答：该用户12月份实际应该缴纳水费76元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据题意按没有超过 20 m3 计算，即（总数x单价）+ 每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费即可.
（2）根据缴纳水费可知，用水量超过了20 m3，即将不超过的和超过的部分分别计算求和即可；
（3）设实际的用水量为ym3，减去没有计算的用水量，再根据题意列方程即可.
1 / 1北师大版（2024）数学七年级上册《 第五章 一元一次方程》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020七上·哈尔滨月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】A、 最高次数是2，不是一元一次方程，选项不符合题意；
B、 是一元一次方程，选项符合题意；
C、 含有2个未知数，不是一元一次方程，选项不符合题意；
D、 含有2个未知数，且最高次数是2，不是一元一次方程，选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，根据一元一次方程的定义对每个选项进行判断即可。
2．（2024七上·钟山期末）如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得：m=-1，
故答案为：C.
【分析】利用一元一次方程的定义可得，再求出m的值即可.
3．（2020七上·武威月考）把方程 去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】原方程两边同时乘以6可得： ，
故答案为：A.
【分析】由题意将原方程两边同时乘以6（不能漏项）可求解.
4．（2020七上·新疆期末）运用等式性质进行的变形，不正确的是 （ ）
A．如果a=b，那么a-c=b-c B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果a=b，那么 D．如果a=b，那么ac=bc
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】A、根据等式性质1，a＝b两边都减c，即可得到a c＝b c，故本选项正确；
B、根据等式性质1，a＝b两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故本选项正确；
C、根据等式性质2，当c≠0时原式成立，故本选项错误；
D、根据等式性质2，a＝b两边都乘以c，即可得到ac＝bc，故本选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”可判断求解.
5．（2021七上·永安期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】如果设第一个天平中左右砝码质量为a，b，则由题意得：a=b，
第二个天平中增加的小砝码质量为c，则a+c=b+c，
∴与如图的事实具有相同性质的是，如果 ，那么 ，
故答案为：C.
【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（2）在不等式两边同乘一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等.
6．（2023七上·利川期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、若4x-3=5，则4x=3+5，错误；
B、若4x+1=3x+1，则4x-3x=2-1，错误；
C、若-5x=3，则x=，正确；
D、若-1=，则3（x-1）-6=2x，错误.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，移项时要注意变号，分式去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数.
7．（2023七上·揭东月考）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：设“□”处的系数是a，
则4×4-3=4a+1，
∴4a=12
解得：a=3．
他把“”处的系数看成了3.
故答案为：B．
【分析】设“□”处的系数是a，则4×4-3=4a+1，然后解一元一次方程，即可得解．
8．（2023·成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
9．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
10．（2018七上·唐山期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（ ）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： =1，
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023七上·江油月考）请列举一个方程，使它满足未知数系数为，未知数的解为3，这个方程可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵方程满足未知数系数为，未知数的解为3，
∴这个方程可以为：-2x=-6，
故答案为：-2x=-6（答案不唯一）.
【分析】根据方程满足未知数系数为，未知数的解为3，列方程求解即可。
12．（沪科版七上数学3.1一元一次方程及其解法课时作业（3））当x= 时，代数式4x-5与3x-6的值互为相反．
【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：（4x-5）+（3x-6）=0，
解得：x= ，
所以当x= 时，代数式4x-5与3x-6的值互为相反数．
故答案为：
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0可得4x-5+3x-6=0，然后对方程进行移项、合并同类项、系数化为1，即可求出x的值.
13．（2022·诸暨模拟）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将九个数字填入 的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，根据如图的幻方，则代数式 ．
x
-2 y
0
【答案】2
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，
∴0+y+2y=0+x+（-2），
∴3y=x-2，
∴x-3y=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得出0+y+2y=0+x+（-2），从而得出x-3y=2，即可得出答案.
14．（2020·章丘模拟） 等于 数时，代数式 的值比 的值的 倍小 .
【答案】
【知识点】根据数量关系列方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得： ，
整理得：
解得：
故答案为：
【分析】由题意列出方程求解即可得出答案.
15．（2024·贵州）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 ．
【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设快马追上慢马需要x天，
由题意得240x=150（12+x），
解得x=20，
即快马追上慢马需要的天数是20天.
故答案为：20.
【分析】设快马追上慢马需要x天，根据追及问题的等量关系：快马x天所走的路程=慢马(x+20)天所走的路程建立方程，求解即可.
16．（2024·佛山模拟）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 .
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，所求图中x前面的系数是1，y前面的系数是2，结果是32；
∴所求图表示的方程为x+2y=32
故答案为：x+2y=32.
【分析】根据题中定义，例子中从左到右依次表示x和y的系数及常数项，根据例子中方程可知第一个图表示x前面的系数，第二个图表示y前面的系数，后面两个图，横着两个代表20，竖着的三个代表3，即可直接求解.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·金沙月考） 解下列方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
方程两边同除以，得．
（2）解：．
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
方程两边同除以11，得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）根据去分母、去括号、移项合并同类项，系数化为1，即可求解；
18．（2020七上·北京期中）解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
移项得 ，
合并同类项得 ；
（2）解：
去分母得 ，
去括号得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化1得 ．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可。
19．（2023七上·利川期末）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
系数化为：
（2）解：，
去分母：，
去括号：，
移项、合并：，
系数化为1：
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）解含括号的一元一次方程，先去掉括号，再移项，合并同类项，即可解方程；
（2）解含分数的一元一次方程，先去掉分母，再移项，合并同类项，即可解方程.
20．（2024七上·恩施期末）解方程：
（1）2x+1＝﹣x+3；
（2）．
【答案】（1）解：移项，合并同类项，得3x＝2，
系数化为1，得；
（2）解：去分母，得3（2﹣x）﹣18＝2x﹣（2x+3），
去括号，得6﹣3x﹣18＝2x﹣2x﹣3，
移项，合并同类项，得﹣3x＝9，
系数化为1，得x＝﹣3．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先移项和合并同类项，再系数化为1即可求解；
（2）先去分母方程左右同时乘以6，再根据根据去括号法则：若括号前的符号为负号，则去括号时，要将括号内的每一项均改变符号；若括号前的符号为正号，则去括号时，括号内的每一项不需要改变符号，据此去括号，然后再移项和合并同类项，最后系数化为1即可求解.
21．（2023七上·萧山月考）已知a－2(4－x)＝5a是关于x的方程，且与方程6－x＝有相同的解．
（1）求a的值．
（2）求多项式的值．
【答案】（1）解：6－x＝，
去分母得：12－2x＝x＋3，
移项合并得：－3x＝－9，
解得：x＝3，
把x＝3代入a－2(4－x)＝5a得：a－2＝5a，
解得：a＝．
（2）解：当a＝时，原式＝－2
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)解方程 6－x＝得x=3，代入 a－2(4－x)＝5a ，计算求解即可；
（2）由（1）得a＝，代入多项式，计算求解即可.
22．（2024·嘉兴模拟）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次．
（1）求小曹第一局的得分，
（2）第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值．
【答案】（1）解：小曹第一局的得分为（分）．
（2）解：由题意得，
解得．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先根据题意列式计算即可；
（2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”，得到，解方程即可．
23．（2023七上·青秀月考）小明用长方形硬纸板做底面为正方形的长方体盒子，他用如图两种方法进行裁剪．
A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面，
现有35张硬纸板，其中x张用A方法裁剪，其余用B方法裁剪．
（1）A方法裁剪出侧面的个数为 个；
B方法裁剪出侧面的个数为 个，底面共有 个；
（用含x的代数式表示，结果要求化简）
（2）若用（1）中裁剪出的侧面和底面做长方体盒子，恰好全部用完，求共做了多少个盒子？
【答案】（1）；；
（2）解：侧面共有个，底面共有个，
根据已知得：
得：，
∴
答：能做21个盒子．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）A方法裁剪出侧面的个数，
B方法裁剪出侧面的个数为，
裁剪出底面的个数为，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可得解；
（2）由题意侧面共有个，底面共有个， 可得 ，计算求解即可.
24．（2023七上·金华月考）某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
用水量/月 单价（元/m3）
不超过20 m3 2.05
超过20 m3的部分 3.05
另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费
（1）根据上表，用水量每月不超过20 m3，实际每立方米收水费多少元？如果10月份某用户用水量为18 m3，那么该用户10月份应该缴纳水费多少元？
（2）某用户11月份共缴纳水费80元，那么该用户11月份用水多少立方米？
（3）若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？
【答案】（1）解：由表中数据可知，10月份某用户用水量为18 m3 ，不超过20 m3 ，所以该用户10月份应该缴纳水费18×（2.05+0.8+0.15）=54(元).
答： 该用户10月份应该缴纳水费54元.
（2）解：由(1)知，每月用水量不超过20 m3 ，实际每立方米收水费为2.05+0.8+0.15=3元，20×3=60＜80，所以11月份用水量超过了20 m3，设11月份用水量为xm3，
根据题意列方程得20×3+(x-20)×(3.05+0.8+0.15)=80，
解得x=25m3.
答：该用户11月份用水25 m3.
（3）解：因为20×3=60＞54，所以水表12月份出故障时收费按没有超过20 m3计算.设12月份实际用水量为ym3，根据题意列方程得y(1-25%)×3=54，解得y=24m3，
则20×3+(24-20)×(3.05+0.8+0.15)=76(元).
答：该用户12月份实际应该缴纳水费76元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据题意按没有超过 20 m3 计算，即（总数x单价）+ 每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费即可.
（2）根据缴纳水费可知，用水量超过了20 m3，即将不超过的和超过的部分分别计算求和即可；
（3）设实际的用水量为ym3，减去没有计算的用水量，再根据题意列方程即可.
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