13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1） 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
人教版 八年级数学上
13.1.2线段的垂直平分线的性质
（第1课时）
学习目标
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）
2. 能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）
温故知新
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2.什么是线段的垂直平分线？
1.轴对称图形（成轴对称的两个图形）的性质是什么？
对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
垂直平分线有什么性质？下面我们一起探究一下！
课题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
合作探究
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分
别量一量点P1，P2，P3， …到点A 与点B 的距离，你能发现什么？
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
…
归纳：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
合作探究
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质:
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
　　求证：PA =PB．
　　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，
　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　 ∴ PA =PB．
你能证明此结论吗？
符号语言：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
小试牛刀
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点E为直线CD上的一点，且EA=6，则线段EB的长
为 .
2.如图，在△ABC中，AC=10cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于16cm,则BC的长是 .
6
6cm
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
小试牛刀
3.如图，AD⊥BC，BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解： ① ∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD垂直平分BC，
∴AB=AC
∵点C在AE的垂直平分线上
∴AC=CE
∴AB=AC=CE
C
B
D
E
A
小试牛刀
3.如图，AD⊥BC，BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
解： ② ∵ AB=CE, BD =DC,
∴AB+BD=CE+DC
即：AB+BD=DE
C
B
D
E
A
合作探究
思考：反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB的垂直平
分线上呢？
　　已知：如图，PA =PB．
　　求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P作PC⊥AB， 垂足为C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．又∵ PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
点P在线段AB的垂直平分线上．
C
你还有别的办法吗？
合作探究
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定定理
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．
小试牛刀
1.如图，AB=AC，MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线；理由如下：
∵ AB=AC，MB=MC,
∴点A、点M在BC的垂直平分线上
∴直线AM是线段BC的垂直平分线
（两点确定一条直线）
C
B
M
A
归纳总结
★应用格式：
∵AB =AC，MB =MC，
∴直线AM 是线段BC的垂直平分线．
A
B
C
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
典例精析
例.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
A
B
C
D
E
K
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
F
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
实战演练
1.下列说法：
①若点C、D是线段AB的垂直平分线上两点，则CA＝CB，DA＝DB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若CA＝CB，则点C必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若DA＝DB，则经过点D的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
①、②、③
实战演练
2.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △ABC的周长等于16cm,
△BCE周长等于10cm,则AB的长是（ ）
A.3cm B.6cm C.9cm D.16cm
B
3.在锐角三角形ABC内一点O,，满足OA=OB=OC,则点O是△ABC ( )
A. △ABC三条角平分线的交点 B. △ABC三条中线的交点
C. △ABC三条高的交点 D. △ABC三边垂直平分线的交点
D
A
B
C
D
E
实战演练
5．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，
则点D在线段_____的垂直平分线上．
AC
4.如图，线段AC的垂直平分线DE交线段AB于点D，若∠A=45°，则∠BDC= __ _.
90°
A
B
C
D
E
A
D
C
B
实战演练
6．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，AM，BM，MN与AB交于点O，则AO＝____，AM＝____．
BO
BM
实战演练
7.已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接
OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ OA=OB.
同理OB=OC.
∴ OA=OC.
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
A
B
C
O
现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？
实战演练
8.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE. ∴点E在CD的垂直平分线上
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO. ∴点O在CD的垂直平分线上
实战演练
9.如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点，求证：∠ABP=∠ACP
解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∵ P是AD上的一点
∴BP＝CP
∵AP=AP
∴△ABP≌△ACP
∴∠ABP=∠ACP
A
B
C
D
P
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？（畅所欲言）
1.说一说线段垂直平分线的性质和判定定理？符号语言呢？
2.如何用尺规作图作已知直线的垂线？
课后作业
教材64页习题13.1第6题．
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