2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区五十中学新校九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区五十中学新校九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于的函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.若，则的值等于( )
A. B. C. D.
3.将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
4.下列函数中，当时，随的增大而增大的是( )
A. B. C. D.
5.对于抛物线，下列描述错误的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 对称轴为直线
C. 有最小值 D. 当时，随的增大而增大
6.若，，三点都在函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.若函数的图象与轴只有个公共点，则常数的值是( )
A. B. C. 或 D.
8.如图．在中，，且分别交，于点，，若：：，，则为( )
A. B. C. D.
9.如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点、点，则
二次函数的最大值为；
；
；
当时，，其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
10.如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点若，则的面积与运动时间之间的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在轴、轴上，顶点在
反比例函数的图像上，点是矩形内的一点，连接
，若的面积之和是，则 ．
13.如图，线段，点是线段的黄金分割点，且，设以为边
的正方形的面积为，以为一边，长为另一边的矩形的面积为
填：“”“”或“”．
14.已知点是抛物线上一动点．
当点到轴的距离不大于时，的取值范围是 ；
当点到直线的距离不大于时，的取值范围是，则的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且，求的值．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，求反比例函数解析式．
17.本小题分
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶拱桥洞的最高点离水面米，水面下降米时，水面的宽度为多少米？
18.本小题分
如图，已知中，是的中点，是上一点，，连接与相交于点，求的值．
19.本小题分
对于抛物线．
它与轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
在坐标系中利用描点法画出此抛物线：
利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，直接写出此时的取值范围．
20.本小题分
如图，过轴上点的一次函数与反比例函数相交于、两点，，轴于，四边形面积为．

求反比例函数和一次函数的解析式；
求点的坐标；
当在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．直接写出结果．
21.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
求抛物线的表达式：
点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标．
22.本小题分
某超市销售一种商品，成本每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价元千克
销售量千克
求与之间的函数表达式；
设商品每天的总利润为元，则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？
如果超市要获得每天不低于元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．
23.本小题分
跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
求该抛物线的表达式；
如果小明站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方米处，求小明的身高是多少？
已知同学们一起在之间跳长绳时，只要绳子甩到最高处时高度不小于他们的身高，且同学之间同方向站立时脚跟之间距离超过米就可以一起玩，结合函数图象的性质，现在有名同是身高米的同学想一起玩跳绳，请问可以吗？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.(；
或．
15.解：令，则，，，
即，，．
，
，
．
，，．
．
16.解：点，，分别在三个不同的象限，
点必在第四象限．
反比例函数的图象经过，两点，
，
反比例函数的解析式为．
17.解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，如图．

抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，抛物线顶点坐标为，点坐标为，
设顶点式，
代入点坐标，可得，
解得：，所以抛物线解析式为．
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式，得出
，解得．
所以水面宽度为米．

18.解：过点作的平行线，交的延长线于点，即．

，
，
，
．
又是的中点，
．
又，
，
．

19.解：抛物线，
令，则，
解得：，，
抛物线与轴交点的坐标为，，顶点坐标为，
故答案为：，； ．
列表．
利用描点法画抛物线如下图．

关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，
．
解得：，
当时，，解得：．
当时，，解得：．
的取值范围为．

20.解：设反比例函数的解析式，一次函数的解析式，图象经过点，
，
反比例函数解析式为．
又四边形面积为．
，
，，
，
将、两点代入有，解得，
一次函数的解析式为，
联立一次函数解析式与反比例函数解析式得，
解得或，
点．
或．
21.解：点，点在抛物线图象上，
解得：
抛物线解析式为：．
设直线的解析式为，代入、坐标得
解得：，，
．
过点作轴于点，交于点，如图．
设，则，
，
．
，
时，最大，为．
此时；

22.解：设，将、代入，
得：
解得：
．
，
当时，取得最大值为．
答：售价为元时获得最大利润，最大利润是元．
当时，得：，
解得：或．
该抛物线的开口向下，
所以当时，，
又每千克售价不低于成本，且不高于元，即，
该商品每千克售价的取值范围是．
23.解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为．
点和点均在抛物线的图象上，
，
解得，
所求的抛物线的解析式是．
把代入，
得，
米，
即小明的身高是米．
由题意可得，
当时，，
解得，，
，，，
这位同学可以一起玩跳绳．
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