广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2023-2024学年高二（下）月考数学试卷

广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2023-2024学年高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·顺德月考）记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
2．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列满足，则的值为(　　)
A． B． C． D．
3．（2024高二下·顺德月考）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·顺德月考）曲线在处的切线与直线平行，则的值为(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高二下·顺德月考）已知数列的首项，且，则为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024高二下·顺德月考）函数(　　)
A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值
7．（2024高二下·顺德月考）是定义在上的可导函数，且，对任意正实数，则下列式子成立的是(　　)
A． B． C． D．
8．（2024高二下·顺德月考）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·顺德月考）在等比数列中，，前三项和，则公比的值为(　　)
A． B． C． D．
10．（2024高二下·顺德月考）定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数：
；
；
；
．
其中只有一个“新不动点”的函数有(　　)
A． B． C． D．
11．（2024高二下·顺德月考）已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（　　）
A． B． 是等比数列
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·顺德月考）若直线和曲线相切，则实数的值为　 　．
13．（2024高二下·顺德月考）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为　 　．
14．（2024高二下·顺德月考）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·顺德月考）若，，求：
（1）的单调增区间；
（2）在上的最小值和最大值．
16．（2024高二下·顺德月考）已知数列满足且，．
（1）求通项；
（2）求数列的前项之和．
17．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：，，成等比数列；；，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
（1）求的通项公式；
（2）令，其前项和为，若恒成立，求的最小值．
18．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在、，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024高二下·顺德月考）已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
（3）若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 ，
故答案为： B
【分析】利用等差数列的前 项和公式结合已知条件，从而求出等差数列的公差。
2．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列满足，
由等差中项的性质可得，，
所以，解得，
∵，
∴．
故选：B
【分析】根据等差数列的中项性质化简各项从而可得答案.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明：若 为递增数列，则有对 ， ，公差 ，取正整数 （其中 不大于 的最大正整数），则当 时，只要 ，都有 ；
必要性证明：若存在正整数 ，当 时， ，因为 ，所以 ，对 都成立，因为 ，且 ，所以 ，对 ，都有 ， ，即 为递增数列，所以 为递增数列是“存在正整数 ，当 时， ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】先证明充分性：若 为递增数列，则 ，公差 ，取正整数 ，则当 时，只要 ，都有 ；再证明必要性：若存在正整数 ，当 ，有 ，因为 ，结合已知条件得 ， ，即 为递增数列，综上即可判断.
4．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：对函数进行求导可得，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以根据导数的几何意义可得，解得．
故选：C．
【分析】对函数进行求导，根据导数的几何意义即可求得结论.
5．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
当时， ，
当时，，
当时，.
故选：B.
【分析】利用列举法对数列的递推公式进行运算即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数
所以，
由，解得，
当时，，
所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．
故选：C
【分析】对函数进行求导，利用导数求得在上的减函数，即可判断各项是否正确.
7．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
对函数进行求导可得．
因为，所以，所以，
所以在R上单调递增，又因为，所以，
即，即，故D正确，
故选：D．
【分析】构造函数，求出，利用导函数的正负可得到函数的单调性，即可得解；
8．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】当 时， ，解得： ；
当 时，由 得： ，即 ，
，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，解得： ， ，
经检验： 满足 ， ，
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合递推公式变形个等差数列的定义，从 而判断出数列 是以 为首项， 2 为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出 ，再结合检验法得出 ，从而结合数列的通项和数列的前n项的和的关系式，进而得出数列第五项的值。
9．【答案】A,B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：等比数列中，前三项和，
由等比数列的通项公式可得，
又因为，
所以，
解得或，
所以公比q的值为或1.
故选：AB
【分析】根据给定条件，利用基本量法求解即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；导数的概念；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于①，若，则，
由，即，解得，
∴只有一个“新不动点”；
对于②，若，则，
由，得，解得，
∴只有一个“新不动点”；
对于③，若，则，
由，即，易知和的图象在第一象限内只有一个交点，
∴只有一个“新不动点”；
对于④，若，则，
由，即，得，
即，易知方程有无数个解，
∵有无数个“新不动点”．
故选：ABC．
【分析】利用题目新定义以及导数运算公式分别判断的解得个数即可得出答案.
11．【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的递推公式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
所以 ， 分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ， ，
综上可知，ABC符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意首先整理已知的数列的递推公式，由此得出数列为等比数列从而得出都是等比数列，结合等比数列的通项公式整理对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】1
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：已知，对其进行求导可得，
直线和曲线相切，可设切点为，
已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中
可得解得.
故答案为：.
【分析】首先对曲线进行求导，再设出切点为，根据斜率，得，再将分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数.
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
，所以
所以的前项和为，
故答案为：.
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，再由等差数列的求和公式求得结果.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：已知函数，定义域为R，
由，
所以函数是奇函数，
又因为，
所以数在上单调递增，
又，即，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用函数的奇偶性判定方法可判断出函数是奇函数，再对函数进行求导，从而可得函数的单调性，再结合已知条件求解不等式即可得出结论.
15．【答案】（1）解：，
由 解得或，
故的增区间为，；
（2）解：令，舍或，
而，，，
故，．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，解不等式得到的单调增区间；
（2）求出函数的极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.
16．【答案】（1）解：当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，
，∴，为奇数；
当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，
，∴，为偶数
∴
（2）解：记，
相减得：
∴
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题干已知条件将n分为奇数和偶数两种情况进行讨论，当n为奇数时，可得数列是公差为2的等差数列， 根据等差数列的通项公式可求得 的通项公式 ，同理可推导出当n为偶数时数列 的通项公式 ，最后综合两种情况即可得到数列 的通项公式 ；
(2) 记，再运用错位相减法即可计算出前项之和．
17．【答案】（1）解：由，，成等比数列可得：，即，
整理可得：，
由可得：，即，
由可得：，可得：，
若选：由，可得，所以，
若选：由可得，所以，
若选：由可得，所以，
综上所述：的通项公式为
（2）解：由知：，
故，
恒成立，则，，
令，
则，
故在上单调递增，在上单调递减；
令，又，
故对于，当时，，当时，，
，
故时，有最大值，
此时，，
由，有．
故的最小值为．
【知识点】函数的最大（小）值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的基本量法计算，解方程求出和的值即可得解；
（2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出即可.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则．
由已知，得
即解得
（2）解：假设存在、，使得、、成等比数列，
则．
，
．
．
整理，得．
，．
解得．
，，
，此时．
故存在、，使得、、成等比数列．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合；等比中项
【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量法计算求得，由此求得数列的通项公式.
（2）将（1）的结论代入求得，先假设存在符合题意，利用等比中项的性质列方程，求得关于的表达式，通过解一元二次不等式，求得的值，进而求得的值.
19．【答案】（1）解：，则，
因为切线与直线垂直，所以，解得．
（2）解：，则，在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以，
即的取值范围是
（3）解：当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，
则在上单调递增，上单调递减，
，解得，
此时，，，令，
则，，所以当时，单调递减，
，所以当时，，即，
所以所以有两个零点，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及两直线垂直的斜率关系列方程求解即可；
（2）根据在上单调递增，得到在上恒成立，再利用分离参数法，将恒成立问题转化为最值问题，然后求最值即可；
（3）分和两种情况讨论的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可.
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·顺德月考）记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （　　）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】 ，
故答案为： B
【分析】利用等差数列的前 项和公式结合已知条件，从而求出等差数列的公差。
2．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列满足，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列满足，
由等差中项的性质可得，，
所以，解得，
∵，
∴．
故选：B
【分析】根据等差数列的中项性质化简各项从而可得答案.
3．（2024高二下·顺德月考）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明：若 为递增数列，则有对 ， ，公差 ，取正整数 （其中 不大于 的最大正整数），则当 时，只要 ，都有 ；
必要性证明：若存在正整数 ，当 时， ，因为 ，所以 ，对 都成立，因为 ，且 ，所以 ，对 ，都有 ， ，即 为递增数列，所以 为递增数列是“存在正整数 ，当 时， ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】先证明充分性：若 为递增数列，则 ，公差 ，取正整数 ，则当 时，只要 ，都有 ；再证明必要性：若存在正整数 ，当 ，有 ，因为 ，结合已知条件得 ， ，即 为递增数列，综上即可判断.
4．（2024高二下·顺德月考）曲线在处的切线与直线平行，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：对函数进行求导可得，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以根据导数的几何意义可得，解得．
故选：C．
【分析】对函数进行求导，根据导数的几何意义即可求得结论.
5．（2024高二下·顺德月考）已知数列的首项，且，则为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
当时， ，
当时，，
当时，.
故选：B.
【分析】利用列举法对数列的递推公式进行运算即可.
6．（2024高二下·顺德月考）函数(　　)
A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数
所以，
由，解得，
当时，，
所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值．
故选：C
【分析】对函数进行求导，利用导数求得在上的减函数，即可判断各项是否正确.
7．（2024高二下·顺德月考）是定义在上的可导函数，且，对任意正实数，则下列式子成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
对函数进行求导可得．
因为，所以，所以，
所以在R上单调递增，又因为，所以，
即，即，故D正确，
故选：D．
【分析】构造函数，求出，利用导函数的正负可得到函数的单调性，即可得解；
8．（2024高二下·顺德月考）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】当 时， ，解得： ；
当 时，由 得： ，即 ，
，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，解得： ， ，
经检验： 满足 ， ，
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合递推公式变形个等差数列的定义，从 而判断出数列 是以 为首项， 2 为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出 ，再结合检验法得出 ，从而结合数列的通项和数列的前n项的和的关系式，进而得出数列第五项的值。
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·顺德月考）在等比数列中，，前三项和，则公比的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：等比数列中，前三项和，
由等比数列的通项公式可得，
又因为，
所以，
解得或，
所以公比q的值为或1.
故选：AB
【分析】根据给定条件，利用基本量法求解即可.
10．（2024高二下·顺德月考）定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数：
；
；
；
．
其中只有一个“新不动点”的函数有(　　)
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；导数的概念；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于①，若，则，
由，即，解得，
∴只有一个“新不动点”；
对于②，若，则，
由，得，解得，
∴只有一个“新不动点”；
对于③，若，则，
由，即，易知和的图象在第一象限内只有一个交点，
∴只有一个“新不动点”；
对于④，若，则，
由，即，得，
即，易知方程有无数个解，
∵有无数个“新不动点”．
故选：ABC．
【分析】利用题目新定义以及导数运算公式分别判断的解得个数即可得出答案.
11．（2024高二下·顺德月考）已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（　　）
A． B． 是等比数列
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】等比数列的通项公式；等比关系的确定；数列的递推公式
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
由 可得 ，
所以 ，
所以 ， 分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 ， ，
综上可知，ABC符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据题意首先整理已知的数列的递推公式，由此得出数列为等比数列从而得出都是等比数列，结合等比数列的通项公式整理对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·顺德月考）若直线和曲线相切，则实数的值为　 　．
【答案】1
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：已知，对其进行求导可得，
直线和曲线相切，可设切点为，
已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中
可得解得.
故答案为：.
【分析】首先对曲线进行求导，再设出切点为，根据斜率，得，再将分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数.
13．（2024高二下·顺德月考）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为　 　．
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
，所以
所以的前项和为，
故答案为：.
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，再由等差数列的求和公式求得结果.
14．（2024高二下·顺德月考）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：已知函数，定义域为R，
由，
所以函数是奇函数，
又因为，
所以数在上单调递增，
又，即，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为．
故答案为：.
【分析】利用函数的奇偶性判定方法可判断出函数是奇函数，再对函数进行求导，从而可得函数的单调性，再结合已知条件求解不等式即可得出结论.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·顺德月考）若，，求：
（1）的单调增区间；
（2）在上的最小值和最大值．
【答案】（1）解：，
由 解得或，
故的增区间为，；
（2）解：令，舍或，
而，，，
故，．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，解不等式得到的单调增区间；
（2）求出函数的极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.
16．（2024高二下·顺德月考）已知数列满足且，．
（1）求通项；
（2）求数列的前项之和．
【答案】（1）解：当为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，
，∴，为奇数；
当为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，
，∴，为偶数
∴
（2）解：记，
相减得：
∴
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题干已知条件将n分为奇数和偶数两种情况进行讨论，当n为奇数时，可得数列是公差为2的等差数列， 根据等差数列的通项公式可求得 的通项公式 ，同理可推导出当n为偶数时数列 的通项公式 ，最后综合两种情况即可得到数列 的通项公式 ；
(2) 记，再运用错位相减法即可计算出前项之和．
17．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：，，成等比数列；；，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：
（1）求的通项公式；
（2）令，其前项和为，若恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：由，，成等比数列可得：，即，
整理可得：，
由可得：，即，
由可得：，可得：，
若选：由，可得，所以，
若选：由可得，所以，
若选：由可得，所以，
综上所述：的通项公式为
（2）解：由知：，
故，
恒成立，则，，
令，
则，
故在上单调递增，在上单调递减；
令，又，
故对于，当时，，当时，，
，
故时，有最大值，
此时，，
由，有．
故的最小值为．
【知识点】函数的最大（小）值；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和；等比中项
【解析】【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质、等差数列的基本量法计算，解方程求出和的值即可得解；
（2）由（1）知：，利用等差数列前项和公式求出，进而得到，再利用导数判断的单调性，求出即可.
18．（2024高二下·顺德月考）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是否存在、，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则．
由已知，得
即解得
（2）解：假设存在、，使得、、成等比数列，
则．
，
．
．
整理，得．
，．
解得．
，，
，此时．
故存在、，使得、、成等比数列．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合；等比中项
【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量法计算求得，由此求得数列的通项公式.
（2）将（1）的结论代入求得，先假设存在符合题意，利用等比中项的性质列方程，求得关于的表达式，通过解一元二次不等式，求得的值，进而求得的值.
19．（2024高二下·顺德月考）已知函数．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；
（3）若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，则，
因为切线与直线垂直，所以，解得．
（2）解：，则，在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以，
即的取值范围是
（3）解：当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，
则在上单调递增，上单调递减，
，解得，
此时，，，令，
则，，所以当时，单调递减，
，所以当时，，即，
所以所以有两个零点，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义以及两直线垂直的斜率关系列方程求解即可；
（2）根据在上单调递增，得到在上恒成立，再利用分离参数法，将恒成立问题转化为最值问题，然后求最值即可；
（3）分和两种情况讨论的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可.
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