湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·汉寿期末）已知复数 ，i为虚数单位，则 为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·汉寿期末）某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为
A．60 B．50 C．40 D．30
3．（2024高一下·汉寿期末）设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·汉寿期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2024高一下·汉寿期末）对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）
甲：8 12 13 27 24 37 22 20 25 26
乙：9 14 13 11 18 19 20 21 21 23
A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25
C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大
6．（2024高一下·汉寿期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
7．（2024高一下·汉寿期末）若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
8．（2024高一下·汉寿期末）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.
9．（2024高一下·汉寿期末）某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛．比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（ ）
A．小组A打分分值的众数为47
B．小组B打分分值第90百分位数为75
C．小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差
D．小组B打分分值的极差为39
10．（2024高一下·汉寿期末）对于有如下命题，其中错误的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的面积为
C．若，则为等腰三角形
D．P在所在平面内，若，则P是的重心
11．（2024高一下·汉寿期末）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．（2024高一下·汉寿期末），，若，则 ．
13．（2024高一下·汉寿期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .
14．（2024高一下·汉寿期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 .
四、解答题（共5题，共77分）
15．（2024高一下·汉寿期末）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.
（1）求函数的周期及表达式；
（2）若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.
16．（2024高一下·汉寿期末）如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
17．（2024高一下·汉寿期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率；
（2）求样本数据的中位数的估计值；
（3）已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男 女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数.
18．（2024高一下·汉寿期末）如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）若是中点，求异面直线与所成角的正切值．
19．（2024高一下·汉寿期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰含有2个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：B
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
2．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为，所以高三年级的学生人数为故选C．
【分析】利用分层抽样方法（ 先将总体的单位按某种特征分为若干次级总体（层），然后再从每一层内进行单纯随机抽样）求解即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：∵向量，
，
∴
故选：A
【分析】利用向量的线性运算（若，，则，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：对于A，与可能平行，可能相交，可能异面， A不成立；
对于B，两平面平行，即，两平面内的直线，，
则与不一定平行，与可能异面，B不成立；
对于D，一个平面内垂直于两平面交线的直线，即，，，不一定和另一平面垂直，可能斜交，D不成立
对于C，若，，，利用平面与平面垂直的判定定理推导出，C成立
故选：C.
【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平面与平面垂直的判定定理即可找出正确选项．
5．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，甲的极差为，A正确；
对于B，甲按从小到大为8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，则中位数为，B错误；
对于C，乙中最多的为21，所以众数为21，C正确；
对于D，因为甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的大，D正确.
故选：B.
【分析】根据极差的定义（最大值与最小值的差距）、中位数的定义（代表一组数据排序后位于中间位置的数值 ）、平均数的计算公式和众数的定义（ 众数是一组数据中出现次数最多的数值 ）以及已知数据依次计算判断即可.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括： .
事件B包括： .
事件C包括：.
事件D包括： .
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.A不符合题意；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，C与对立不成立.B不符合题意；
对于C：因为，，而.因为，所以与不是相互独立.C不符合题意；
对于D：因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据题意由互斥、对立以及相互独立事件的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】三角形五心
【解析】【解答】解：如图三棱锥
因为，且，平面，平面，
所以平面，而平面，则，
同理得，
所以O是的垂心．
故选：D
【分析】根据且，，利用线面垂直的判定定理（ 当一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直时， 我们可以说这条直线与这个平面垂直 ）得到，即可.
8．【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，
设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，如图2所示，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2
则△BEP∽△
∴，
解得：
∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A
【分析】画出直观图正四面体ABCD，根据已知条件，再画出截面图ABM，写出或求出所需的线段的长度，利用勾股定理（ 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）和三角形相似的性质从中找到等量关系，求出外接球半径，根据球的表面积计算公式求出外接球的表面积.
9．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于选项A，由折线图知，小组A打分分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，众数为47，正确；
对于选项B，小组B打分分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，
∵，∴小组B打分分值第90百分位数为第9个数75，正确；
对于选项C，小组A打分分值的均值，
小组A打分分值的方差，
小组B打分分值的均值，
小组B打分分值的方差，错误；
对于选项D，小组B打分分值的极差为75－36＝39，正确．
故选：ABD．
【分析】由众数的定义（ 众数是一组数据中出现次数最多的数值 ）判断A；由百分位数的定义（ 将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位 ， 则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数 ）判断B；计算方差（ 方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数）判断C；求出极差（极差是一组数据中最大值和最小值之间的差值 ）判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】三角形五心；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：选项A错误，因为，通过正弦定理可知，故是钝角三角形；
选项B错误，若，假设由余弦定理可知
，可解得或
当
当
选项C错误，若则由或者，
即或者，则是等腰三角形或者直角三角形；
选项D正确，P在所在平面内，
若，取中点，连接，
所以有，
又因为，所以
，所以，
所以三点共线，且，所以P是的重心；
故选：ABC
【分析】根据正弦定理（为三角形外接圆半径）和余弦定理和三角形的面积公式可以推理出三角形的形状和面积，结合向量和三角形的重心性质可以判断选项正确与否.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解：四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
选项A正确，，；
选项B正确，，，；
选项C错误，，，；
选项D正确，，，.
故选：ABD.
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算（若，，则）依次验证各个选项即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
而且，所以，解得：.
故填：
【分析】根据向量平行的坐标表示（若，，则）列出关于实数的方程，解方程即可求得的值.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有 45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P ，
故答案为：
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
14．【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图所示：
因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，
又，，平面，故平面，
连接，故即为所求直线与平面所成角.
由，故在直角三角形中，，故，
则，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为，
故填：.
【分析】首先根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直， 那么这条直线与这个平面垂直 ）证明平面，再根据线面角的定义（ 过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条垂线与原直线的夹角的余角）即为线面角 ），即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小.
15．【答案】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为，
可知，故周期，
由周期，所以，即函数，
又由函数一条对称轴为，所以有，
又，故有，
所以函数的表达式为；
（2）由，可知，
由三角函数图象性质可得，
所以，
又因为函数对任意，都有恒成立，
故只需即可，即.
故参数的取值范围为.
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用三角函数的对称性（三角函数的对称中心与其最近的对称轴的距离为最小周期的）和周期性（三角函数的周期计算公式为）计算即可得出周期和及解析式；
（2）利用三角函数的图象与性质分离参数计算即可.
16．【答案】解：（1）证明∵平面，∴．
又为圆周上一点且是半圆的直径，∴．且平面，
∴平面．
又∵，
∴平面，且平面，
∴平面平面；
（2）存在，点为线段中点，证明如下：
设，则，，
∴．又，∴．
∴．
取中点，连接．
∴．又由（1）可知平面平面，故平面．
又，，故，即四边形为平行四边形，
∴，∴平面．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)先由线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理（可得平面，最后由面面垂直的判定定理，即可证明.
(2)设，根据勾股定理求出的值，再由面面垂直的性质可得平面，进而得出四边形为平行四边形，即可求解.
17．【答案】（1）根据频率分布直方图中面积的和为1，可得日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率为；
（2）设中位数为，因为前两个矩形的面积之和为，
第一个矩形的面积为，
所以可设中位数为，
由中位数的定义可得，解得.
（3）样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的频率为
，
又男 女学生恰好各占一半，
所以中日平均阅读时间大于或等于70分钟的男生的频率为，
日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生的概率为，
故样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，
则该学校高一男生的人数为人.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可得解；
（2）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义（代表一组数据排序后位于中间位置的数值 ）可列出关于的方程，解方程即可；
（3）利用样本去估计总体，先算出样本中男生所占的概率为，再估计该学校高一男学生所占的频率为，从而求人数.
18．【答案】（1）连接交于点，连接，则平面，
所以就是与底面所成的角，
∴，
因为，所以，则，
取中点，连，
则，
所以就是侧面与底面所成二面角的平面角．
在中，，
∴，即侧面与底面所成二面角的大小为；
（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PB中点，
所以且，
∴就是异面直线与所成的角．
在中，，
∴．
由，且平面，平面，
∴平面，又平面，
所以，
在中，，
即异面直线与所成角的正切值为
【知识点】异面直线；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接交于点，先由正四棱锥的几何特征(底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心)可得就是与底面所成的角，取中点，进而可得就是侧面与底面所成二面角的平面角，由即可求出答案；
（2）连结，先由三角形中位线性质（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一）可得且，易得就是异面直线与所成的角，且，根据勾股定理（指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出长，由得出答案即可.
19．【答案】解：（1）因为是定义再上的奇函数，而且当时，，
所以当时，．
所以．
（2）因为当时，为二次函数，对称轴为，图象开口向下，所以在上递减，
设，因为在上递减，
所以，即，解得．
所以在内的“倒域区间”为．
（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，
所以，即，同号，所以只需考虑或，
当时，根据的图象知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值为，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上知：．
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）运用奇函数的定义即可求得函数的解析式；奇函数的定义：如果对于函数定义域内任意一个， 都有， 那么函数叫做奇函数.
（2）根据题意列出方程组，从而求解；
（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值.
1 / 1湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·汉寿期末）已知复数 ，i为虚数单位，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：B
【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
2．（2024高一下·汉寿期末）某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为
A．60 B．50 C．40 D．30
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：因为，所以高三年级的学生人数为故选C．
【分析】利用分层抽样方法（ 先将总体的单位按某种特征分为若干次级总体（层），然后再从每一层内进行单纯随机抽样）求解即可.
3．（2024高一下·汉寿期末）设向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：∵向量，
，
∴
故选：A
【分析】利用向量的线性运算（若，，则，即可求解.
4．（2024高一下·汉寿期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：对于A，与可能平行，可能相交，可能异面， A不成立；
对于B，两平面平行，即，两平面内的直线，，
则与不一定平行，与可能异面，B不成立；
对于D，一个平面内垂直于两平面交线的直线，即，，，不一定和另一平面垂直，可能斜交，D不成立
对于C，若，，，利用平面与平面垂直的判定定理推导出，C成立
故选：C.
【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平面与平面垂直的判定定理即可找出正确选项．
5．（2024高一下·汉寿期末）对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（ ）
甲：8 12 13 27 24 37 22 20 25 26
乙：9 14 13 11 18 19 20 21 21 23
A．甲的极差是29 B．甲的中位数是25
C．乙的众数是21 D．甲的平均数比乙的大
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，甲的极差为，A正确；
对于B，甲按从小到大为8，12，13，20，22，24，25，26，27，37，则中位数为，B错误；
对于C，乙中最多的为21，所以众数为21，C正确；
对于D，因为甲的平均数为，
乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的大，D正确.
故选：B.
【分析】根据极差的定义（最大值与最小值的差距）、中位数的定义（代表一组数据排序后位于中间位置的数值 ）、平均数的计算公式和众数的定义（ 众数是一组数据中出现次数最多的数值 ）以及已知数据依次计算判断即可.
6．（2024高一下·汉寿期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括： .
事件B包括： .
事件C包括：.
事件D包括： .
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.A不符合题意；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，C与对立不成立.B不符合题意；
对于C：因为，，而.因为，所以与不是相互独立.C不符合题意；
对于D：因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据题意由互斥、对立以及相互独立事件的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2024高一下·汉寿期末）若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【知识点】三角形五心
【解析】【解答】解：如图三棱锥
因为，且，平面，平面，
所以平面，而平面，则，
同理得，
所以O是的垂心．
故选：D
【分析】根据且，，利用线面垂直的判定定理（ 当一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直时， 我们可以说这条直线与这个平面垂直 ）得到，即可.
8．（2024高一下·汉寿期末）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，
设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，如图2所示，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2
则△BEP∽△
∴，
解得：
∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A
【分析】画出直观图正四面体ABCD，根据已知条件，再画出截面图ABM，写出或求出所需的线段的长度，利用勾股定理（ 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）和三角形相似的性质从中找到等量关系，求出外接球半径，根据球的表面积计算公式求出外接球的表面积.
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分.
9．（2024高一下·汉寿期末）某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛．比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（ ）
A．小组A打分分值的众数为47
B．小组B打分分值第90百分位数为75
C．小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差
D．小组B打分分值的极差为39
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于选项A，由折线图知，小组A打分分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，众数为47，正确；
对于选项B，小组B打分分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，
∵，∴小组B打分分值第90百分位数为第9个数75，正确；
对于选项C，小组A打分分值的均值，
小组A打分分值的方差，
小组B打分分值的均值，
小组B打分分值的方差，错误；
对于选项D，小组B打分分值的极差为75－36＝39，正确．
故选：ABD．
【分析】由众数的定义（ 众数是一组数据中出现次数最多的数值 ）判断A；由百分位数的定义（ 将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位 ， 则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数 ）判断B；计算方差（ 方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数）判断C；求出极差（极差是一组数据中最大值和最小值之间的差值 ）判断D.
10．（2024高一下·汉寿期末）对于有如下命题，其中错误的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的面积为
C．若，则为等腰三角形
D．P在所在平面内，若，则P是的重心
【答案】A,B,C
【知识点】三角形五心；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：选项A错误，因为，通过正弦定理可知，故是钝角三角形；
选项B错误，若，假设由余弦定理可知
，可解得或
当
当
选项C错误，若则由或者，
即或者，则是等腰三角形或者直角三角形；
选项D正确，P在所在平面内，
若，取中点，连接，
所以有，
又因为，所以
，所以，
所以三点共线，且，所以P是的重心；
故选：ABC
【分析】根据正弦定理（为三角形外接圆半径）和余弦定理和三角形的面积公式可以推理出三角形的形状和面积，结合向量和三角形的重心性质可以判断选项正确与否.
11．（2024高一下·汉寿期末）在菱形中，，，点为线段的中点，和交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解：四边形为菱形，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
，，，，
，，，，，
选项A正确，，；
选项B正确，，，；
选项C错误，，，；
选项D正确，，，.
故选：ABD.
【分析】以为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算（若，，则）依次验证各个选项即可.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．（2024高一下·汉寿期末），，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
而且，所以，解得：.
故填：
【分析】根据向量平行的坐标表示（若，，则）列出关于实数的方程，解方程即可求得的值.
13．（2024高一下·汉寿期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有 45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P ，
故答案为：
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
14．（2024高一下·汉寿期末）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图所示：
因为平面ABCD，平面ABCD，故可得，
又，，平面，故平面，
连接，故即为所求直线与平面所成角.
由，故在直角三角形中，，故，
则，则直线CE与平面PAD所成角的余弦值为，
故填：.
【分析】首先根据线面垂直的判定定理（如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直， 那么这条直线与这个平面垂直 ）证明平面，再根据线面角的定义（ 过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条垂线与原直线的夹角的余角）即为线面角 ），即可作出线面角的平面角，再计算这个平面角的大小.
四、解答题（共5题，共77分）
15．（2024高一下·汉寿期末）已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为.
（1）求函数的周期及表达式；
（2）若函数对任意，都有恒成立，求参数的取值范围.
【答案】（1）由于函数以为对称中心，且其相邻的一条对称轴为，
可知，故周期，
由周期，所以，即函数，
又由函数一条对称轴为，所以有，
又，故有，
所以函数的表达式为；
（2）由，可知，
由三角函数图象性质可得，
所以，
又因为函数对任意，都有恒成立，
故只需即可，即.
故参数的取值范围为.
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用三角函数的对称性（三角函数的对称中心与其最近的对称轴的距离为最小周期的）和周期性（三角函数的周期计算公式为）计算即可得出周期和及解析式；
（2）利用三角函数的图象与性质分离参数计算即可.
16．（2024高一下·汉寿期末）如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）证明∵平面，∴．
又为圆周上一点且是半圆的直径，∴．且平面，
∴平面．
又∵，
∴平面，且平面，
∴平面平面；
（2）存在，点为线段中点，证明如下：
设，则，，
∴．又，∴．
∴．
取中点，连接．
∴．又由（1）可知平面平面，故平面．
又，，故，即四边形为平行四边形，
∴，∴平面．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)先由线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理（可得平面，最后由面面垂直的判定定理，即可证明.
(2)设，根据勾股定理求出的值，再由面面垂直的性质可得平面，进而得出四边形为平行四边形，即可求解.
17．（2024高一下·汉寿期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按分成7组，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率；
（2）求样本数据的中位数的估计值；
（3）已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男 女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占；估计该学校高一男学生的人数.
【答案】（1）根据频率分布直方图中面积的和为1，可得日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率为；
（2）设中位数为，因为前两个矩形的面积之和为，
第一个矩形的面积为，
所以可设中位数为，
由中位数的定义可得，解得.
（3）样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的频率为
，
又男 女学生恰好各占一半，
所以中日平均阅读时间大于或等于70分钟的男生的频率为，
日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生的概率为，
故样本中男生所占的概率为，估计该学校高一男学生所占的频率为，
则该学校高一男生的人数为人.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可得解；
（2）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义（代表一组数据排序后位于中间位置的数值 ）可列出关于的方程，解方程即可；
（3）利用样本去估计总体，先算出样本中男生所占的概率为，再估计该学校高一男学生所占的频率为，从而求人数.
18．（2024高一下·汉寿期末）如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）若是中点，求异面直线与所成角的正切值．
【答案】（1）连接交于点，连接，则平面，
所以就是与底面所成的角，
∴，
因为，所以，则，
取中点，连，
则，
所以就是侧面与底面所成二面角的平面角．
在中，，
∴，即侧面与底面所成二面角的大小为；
（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PB中点，
所以且，
∴就是异面直线与所成的角．
在中，，
∴．
由，且平面，平面，
∴平面，又平面，
所以，
在中，，
即异面直线与所成角的正切值为
【知识点】异面直线；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）连接交于点，先由正四棱锥的几何特征(底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心)可得就是与底面所成的角，取中点，进而可得就是侧面与底面所成二面角的平面角，由即可求出答案；
（2）连结，先由三角形中位线性质（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一）可得且，易得就是异面直线与所成的角，且，根据勾股定理（指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）求出长，由得出答案即可.
19．（2024高一下·汉寿期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰含有2个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）因为是定义再上的奇函数，而且当时，，
所以当时，．
所以．
（2）因为当时，为二次函数，对称轴为，图象开口向下，所以在上递减，
设，因为在上递减，
所以，即，解得．
所以在内的“倒域区间”为．
（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，
所以，即，同号，所以只需考虑或，
当时，根据的图象知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值为，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上知：．
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）运用奇函数的定义即可求得函数的解析式；奇函数的定义：如果对于函数定义域内任意一个， 都有， 那么函数叫做奇函数.
（2）根据题意列出方程组，从而求解；
（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值.
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