湖南省2024年中考数学模拟试题试卷（四）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·湖南模拟）实数-3.33，，0，，-π，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a-b的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：有理数为：-3.33，0，，，，
∴a=6
无理数为：， -π
∴b=2
∴a-b=6-2=4
故答案为：C.
【分析】有理数分为整数和分数(包括有限小数和无限循环小数)，无理数是无限不循环小数，抓住它们的概念是解决问题的关键.
2．（2024·湖南模拟）2023年10月20日，长沙海关发布2023年前三季度湖南省外贸进出口情况，技术密集产品高速增长，劳动密集产品寻求突破。数据显示，湖南省前三季度进出口总值4622.9亿元，比上年同期下降5.5%，排名全国第15位。数据4622.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.46229×108 B．4.6229×109
C．4.6229×1010 D．4.6229×1011
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4622.9亿 = 4.6229×1011
故答案为：D.
【分析】
对于绝对值大于10的科学记数法可以表示成：，n取原数的整数位数减1.
3．（2024·湖南模拟）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故A错误
B、∵，∴，故B正确
C、∵，∴，故C正确
D、∵，∴，故D正确
故答案为：A.
【分析】A、等式两边同时乘以c，而5漏乘；B、等式两边同时减去5即可；C、等式两边同时除以3即可；D、等式两边同时加上1即可.
4．（2024·湖南模拟）2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度。下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D不是中心对称图形，而C是中心对称图形，因此A、B、D错误，C正确
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是把一个图形绕着一个点旋转180°后与自身重合，而A、B、D旋转后不能与自身重合.
5．（2024·湖南模拟）设m＝，则实数m所在的范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．﹣4＜m＜﹣3 C．﹣3＜m＜﹣2 D．m＞﹣2
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
6．（2024·湖南模拟）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得卯的俯视图是，
故答案为：C
【分析】根据简单组合体的三视图即可求解。
7．（2024·湖南模拟）下列事件是必然事件的是（ ）
A．校园篮球比赛，九年一班获得冠军
B．五边形外角和是360°
C．掷一枚硬币时，反面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、 校园篮球比赛，九年一班获得冠军 是随机事件，故A错误
B、 五边形外角和是360° 是必然事件，故B正确
C、 掷一枚硬币时，反面朝上 是随机事件，故C错误
D、 打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况 是随机事件，故D错误
故答案为：D.
【分析】必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生的事件；A、可能发生，因此为随机事件；B、多边形外角和都是360°，因此是必然事件；C、可能发生，因此为随机事件；D、可能发生，因此为随机事件.
8．（2024·湖南模拟）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若AB=3，AD=4，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】B
【知识点】圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：∵ 在矩形中， AB=3，AD=4，
∴
∴以AD为直径的圆的面积为：
∴以AB为直径的圆的面积为：
∴以BD为直径的圆的面积为：
∴矩形ABCD的面积为：AB·AD=3×4=12
又∵阴影部分面积=以AD为直径的圆的面积+以AB为直径的圆的面积+矩形ABCD的面积-以BD为直径的圆的面积
∴阴影部分面积为=
故答案为：B.
【分析】本题先计算出以AD为直径的圆的面积，以AB为直径的圆的面积，矩形ABCD的面积，以BD为直径的圆的面积，再根据阴影部分面积=以AD为直径的圆的面积+以AB为直径的圆的面积+矩形ABCD的面积-以BD为直径的圆的面积，代入计算即可.
9．（2024·湖南模拟）如图所示，有一天桥高AB为6米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（ ）（参考数据：1.414，1.732）
A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意知：∠A=90°， ∠ACB＝45°
∴AB=AC=6
在Rt△ADB中，
∴，解得：AD=（米）
∴CD=AD-AC=10.392-6≈4.39（米）
故答案为：D.
【分析】先根据∠A=90°， ∠ACB＝45°，得出AB=AC=6，然后在在Rt△ADB中，利用30°的正切求出AD的长，然后用AD-AC即可.
10．（2024·湖南模拟）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024·湖南模拟）因式分解：3mx2﹣6mxy+3my2＝ ．
【答案】3m（x﹣y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3mx2﹣6mxy+3my2＝
=
故答案为：.
【分析】先提取公因式3m，然后再根据完全平方公式进行因式分解即可.
12．（2024·湖南模拟）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝16cm，CD＝4cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】10
【知识点】垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图：连接OB
∵C是的中点 ，AB＝16cm
∴OC⊥AB，BD=AD=8
设半径为r，OD=r-4
在Rt△BOD中，
∴
解得：r=10
故答案为：10.
【分析】先根据垂径定理的推理，得出OC⊥AB，BD=AD=8，在Rt△BOD中，利用勾股定理：，列出方程，解出r即可.
13．（2024·湖南模拟）已知不等式组的解集是，则= .
【答案】1
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x>a+2
解不等式②得：x∴不等式组的解集为：a+2∵不等式的解集为：
∴a+2=-1，b-1=1
解得：a=-3，b=2
∴
故答案为：1.
【分析】先解不等式①的解集，再解不等式②的解集，得出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集，得出方程，解出a，b，再代入即可.
14．（2024·湖南模拟）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把 植树、种花、除草三个劳动项目 记为A、B、C
画出树状图如下：
共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 两个班级恰好都抽到种花的 结果有1种，、
则这两个班级恰好都抽到种花的概率是
故答案为：.
【分析】先把三个项目记为A、B、C，画出树状图，根据概率公式计算概率即可.
15．（2024·湖南模拟）已知方程x2-mx+3＝0的一个根是1，则m的值为 ．
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵方程x2-mx+3＝0的一个根是1
∴12-m+3＝0
解得：m=4
故答案为：4.
【分析】已知方程的根，可以把x=1，代入方程，解出m即可.
16．（2024·湖南模拟）对于正数x，规定 ， 例如： ，
，f（），计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝ .
【答案】201
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：由题意可知：
…
∴
∴
∴
…
∴
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝
=1+2+2+2…+2
=1+2×100
=201
故答案为：201.
【分析】先计算出的值，观察出规律：(n>1)，从而计算出结果.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024·湖南模拟）计算：
【答案】解：原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】把，代入计算即可.
18．（2024·湖南模拟）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【答案】解：（a）＝（a） ＝a
=-1，
=-1，
=
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
且满足的整数有：-1，0，1，2 ∴a＝2，
原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac，进行计算即可.
19．（2024·湖南模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图：
①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；
②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）
（2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
【答案】（1）解：①如图：直线MN即为所求；
②如图，即为所求；
；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵MN垂直平分BC，
∴，
∵，
∴四边形BECD是平行四边形，
又∵，
∴四边形BECD是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）①分别以点B、C为圆心，大于BC的长度为半径画弧，两弧在BC的两侧分别相交于点M、N，过点M、N作直线MN，交AB于点D，交BC于点O，则直线MN就是所求的线段BC的垂直平分线；②以点O为圆心，OD的长为半径画弧，该弧与MN在BC的下方相交于点E，然后连接CD、BE、CE即可；
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：首先由线段垂直平分线的性质可得OB=OC，BD=CD，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形BECD是平行四边形，进而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
20．（2024·湖南模拟）5月11日是“世界防治肥胖日”。世界卫生组织已确认肥胖是一种疾病，并向全世界发出忠告：肥胖病将成为全球首要的健康问题。2023年3月，世界肥胖联盟发布了2023《世界肥胖地图》，预测到2035年，全球超过40亿人属于肥胖或超重，占全球人口的51%。到2035年，中国成年人的肥胖率预计达到18%。肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（ ，缩写）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
例如：某人身高，体重，则他的．
中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉 ．（结果精确到）
【答案】（1）证明：抽取了(人)，
属于偏胖的人数为：，
补全统计图如图所示，
（2）解：（人）
答： 该公司名员工中属于偏胖和肥胖的总人数 为110人.
（3）9
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量；样本与总体的关系
【解析】【解答】解：（3）：设 小张体重减掉xkg，依题意，解得：，答：他的体重至少需要减掉9kg
故答案为：9.
【分析】（1）先计算抽取的总人数，再用总人数减去各个部分的人数，得出偏胖的人数，再补全统计图即可
（2）用总人数×偏胖和肥胖所占总人数的百分比即可
（3）解设 小张体重减掉xkg，根据不等量关系：27-减掉的BMI值<24，列出不等式，解出x即可.
21．（2024·湖南模拟）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接.
（1）试证明：AE垂直平分DM；
（2）求△ADM的面积.
【答案】（1）证明：为正方形，
，，，，
，，，
，.
平分，.，
.，
，
垂直平分
（2）解：为正方形，且边长为4，，
在中，
由①可知，，
，
由图可知，和等高，设高为，
，
，
，
【知识点】正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，得出：AE⊥DF，再证明，得出DG=MG即可
（2）由（1）知：，得出AM=AD=4，在Rt△ADC中，AD=CD=4，得出，因为和等高，设高为，再根据，列出方程，解出h，再代入三角形面积公式即可.
22．（2024·湖南模拟）2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴。某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨.
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
【答案】（1）解：设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨.
依题意，得，
解得，则.
经检验符合题意
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨
（2）解：设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且
公司获得的总利润
因为，所以随着的增大而增大.
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设设这个月该公司销售甲特产吨，根据等量关系：甲的成本+乙的成本=235，列出方程，解出x即可
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，公司获得的总利润为W万元，
根据总利润=甲的利润 +乙的利润，写出W关于m的关系式，再结果m的取值范围和W的增减性来求出W的最大值.
23．（2024·湖南模拟）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
（1）求的值；
（2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合题意即可求解；
（2）先根据旋转的性质得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而求出，，从而即可得到∠AHO=90°，再运用矩形的判定与正方形的判定即可求解。
24．（2024·湖南模拟）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果是的中点，且，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切线.
（2）解：证明：如图所示，
∵平分
∴
又∵，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，先根据圆的性质即可得到，再根据等腰三角形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）如图所示，先根据角平分线的性质即可得到，进而结合题意即可得到∠EMC的度数，再运用圆周角定理即可得到，进而运用等腰三角形的判定与性质即可求解；
（3）取的中点，连接，先根据切线的性质即可得到，进而根据中位线的性质即可得到，再解直角三角形即可得到，设，则，根据勾股定理即可得到，进而即可求出b的值，接着根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再根据角平分线的性质得到到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，进而即可得到，再结合已知条件即可求解。
25．（2024·湖南模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如（﹣1，1），（2024，﹣2024）都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如（﹣2，-1），（2024，2012）都是“横倍点”.
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）函数y=kx+b，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”P（2m，m），且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标.
（3）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
【答案】（1）解：设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程的解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）
（2）解：①函数y=kx+b，“黎点”为（3，﹣3），则-3=-3k+b，b=-3k-3
其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18.
∴，将b=-3k-3代入，解得k=1，b= -6
∴y=x-6
又∵函数y=kx+b过“横倍点”P（2m，m），∴m=2m-6，
∴m=6，∴P1（12，6）
②函数y=kx+b，“黎点”为（-3，3），则3=-3k+b，b=3k+3
其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18.
∴，将b=3k3代入，解得k=1，b= 6
∴y=x-6
又∵函数y=kx+b过“横倍点”P（2m，m），∴m=2m+6，
∴m=-6，∴P2（-12，-6）.
综上，“横倍点”P的坐标为P1（12，6）或P2（-12，-6）
（3）解：∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数的其他应用；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），令m=-m，代入，得出方程﹣m＝，解出m即可
（2）由（1）知：双曲线y＝上的“黎点”为：（3，﹣3）或（﹣3，3），然后分类讨论：
当函数y=kx+b，“黎点”为（3，﹣3），则-3=-3k+b，b=-3k-3，再求出直线y=kx+b与x轴交点的横坐标和纵坐标，再利用面积公式，列出方程：，解出k，b，再把k，b代入直线y=kx+b中，把点P(2m，m)代入直线解析式，求出m即可
当函数y=kx+b，“黎点”为（-3，3），则3=-3k+b，b=3k+3，同理第一种情况，求解即可.
（3）令y=-x，列出方程ax2﹣7x+c＝﹣x，根据题意得出：Δ＝36﹣4ac＝0，这样，得出：a＝，再根据a的取值范围，得出c的取值范围.
1 / 1湖南省2024年中考数学模拟试题试卷（四）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·湖南模拟）实数-3.33，，0，，-π，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a-b的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
2．（2024·湖南模拟）2023年10月20日，长沙海关发布2023年前三季度湖南省外贸进出口情况，技术密集产品高速增长，劳动密集产品寻求突破。数据显示，湖南省前三季度进出口总值4622.9亿元，比上年同期下降5.5%，排名全国第15位。数据4622.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.46229×108 B．4.6229×109
C．4.6229×1010 D．4.6229×1011
3．（2024·湖南模拟）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南模拟）2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度。下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖南模拟）设m＝，则实数m所在的范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．﹣4＜m＜﹣3 C．﹣3＜m＜﹣2 D．m＞﹣2
6．（2024·湖南模拟）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·湖南模拟）下列事件是必然事件的是（ ）
A．校园篮球比赛，九年一班获得冠军
B．五边形外角和是360°
C．掷一枚硬币时，反面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况
8．（2024·湖南模拟）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若AB=3，AD=4，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．12 C． D．
9．（2024·湖南模拟）如图所示，有一天桥高AB为6米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（ ）（参考数据：1.414，1.732）
A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米
10．（2024·湖南模拟）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024·湖南模拟）因式分解：3mx2﹣6mxy+3my2＝ ．
12．（2024·湖南模拟）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝16cm，CD＝4cm，则⊙O的半径为 cm．
13．（2024·湖南模拟）已知不等式组的解集是，则= .
14．（2024·湖南模拟）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是 .
15．（2024·湖南模拟）已知方程x2-mx+3＝0的一个根是1，则m的值为 ．
16．（2024·湖南模拟）对于正数x，规定 ， 例如： ，
，f（），计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝ .
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024·湖南模拟）计算：
18．（2024·湖南模拟）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
19．（2024·湖南模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图：
①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；
②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）
（2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
20．（2024·湖南模拟）5月11日是“世界防治肥胖日”。世界卫生组织已确认肥胖是一种疾病，并向全世界发出忠告：肥胖病将成为全球首要的健康问题。2023年3月，世界肥胖联盟发布了2023《世界肥胖地图》，预测到2035年，全球超过40亿人属于肥胖或超重，占全球人口的51%。到2035年，中国成年人的肥胖率预计达到18%。肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（ ，缩写）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
例如：某人身高，体重，则他的．
中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）请估计该公司名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；
（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉 ．（结果精确到）
21．（2024·湖南模拟）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接.
（1）试证明：AE垂直平分DM；
（2）求△ADM的面积.
22．（2024·湖南模拟）2023年11月25日，“乡农荟”2022湖南省农特产品展销会在岳阳市南湖广场开展，有200余家企业参展为农产品、当地特产搭台，助力乡村振兴。某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨.
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
23．（2024·湖南模拟）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．
（1）求的值；
（2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．
24．（2024·湖南模拟）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果是的中点，且，求的长．
25．（2024·湖南模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如（﹣1，1），（2024，﹣2024）都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如（﹣2，-1），（2024，2012）都是“横倍点”.
（1）求双曲线y＝上的“黎点”；
（2）函数y=kx+b，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”P（2m，m），且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标.
（3）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：有理数为：-3.33，0，，，，
∴a=6
无理数为：， -π
∴b=2
∴a-b=6-2=4
故答案为：C.
【分析】有理数分为整数和分数(包括有限小数和无限循环小数)，无理数是无限不循环小数，抓住它们的概念是解决问题的关键.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4622.9亿 = 4.6229×1011
故答案为：D.
【分析】
对于绝对值大于10的科学记数法可以表示成：，n取原数的整数位数减1.
3．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故A错误
B、∵，∴，故B正确
C、∵，∴，故C正确
D、∵，∴，故D正确
故答案为：A.
【分析】A、等式两边同时乘以c，而5漏乘；B、等式两边同时减去5即可；C、等式两边同时除以3即可；D、等式两边同时加上1即可.
4．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D不是中心对称图形，而C是中心对称图形，因此A、B、D错误，C正确
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是把一个图形绕着一个点旋转180°后与自身重合，而A、B、D旋转后不能与自身重合.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
6．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得卯的俯视图是，
故答案为：C
【分析】根据简单组合体的三视图即可求解。
7．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、 校园篮球比赛，九年一班获得冠军 是随机事件，故A错误
B、 五边形外角和是360° 是必然事件，故B正确
C、 掷一枚硬币时，反面朝上 是随机事件，故C错误
D、 打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况 是随机事件，故D错误
故答案为：D.
【分析】必然事件是一定发生的事件，随机事件是可能发生的事件；A、可能发生，因此为随机事件；B、多边形外角和都是360°，因此是必然事件；C、可能发生，因此为随机事件；D、可能发生，因此为随机事件.
8．【答案】B
【知识点】圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：∵ 在矩形中， AB=3，AD=4，
∴
∴以AD为直径的圆的面积为：
∴以AB为直径的圆的面积为：
∴以BD为直径的圆的面积为：
∴矩形ABCD的面积为：AB·AD=3×4=12
又∵阴影部分面积=以AD为直径的圆的面积+以AB为直径的圆的面积+矩形ABCD的面积-以BD为直径的圆的面积
∴阴影部分面积为=
故答案为：B.
【分析】本题先计算出以AD为直径的圆的面积，以AB为直径的圆的面积，矩形ABCD的面积，以BD为直径的圆的面积，再根据阴影部分面积=以AD为直径的圆的面积+以AB为直径的圆的面积+矩形ABCD的面积-以BD为直径的圆的面积，代入计算即可.
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意知：∠A=90°， ∠ACB＝45°
∴AB=AC=6
在Rt△ADB中，
∴，解得：AD=（米）
∴CD=AD-AC=10.392-6≈4.39（米）
故答案为：D.
【分析】先根据∠A=90°， ∠ACB＝45°，得出AB=AC=6，然后在在Rt△ADB中，利用30°的正切求出AD的长，然后用AD-AC即可.
10．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
11．【答案】3m（x﹣y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3mx2﹣6mxy+3my2＝
=
故答案为：.
【分析】先提取公因式3m，然后再根据完全平方公式进行因式分解即可.
12．【答案】10
【知识点】垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图：连接OB
∵C是的中点 ，AB＝16cm
∴OC⊥AB，BD=AD=8
设半径为r，OD=r-4
在Rt△BOD中，
∴
解得：r=10
故答案为：10.
【分析】先根据垂径定理的推理，得出OC⊥AB，BD=AD=8，在Rt△BOD中，利用勾股定理：，列出方程，解出r即可.
13．【答案】1
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x>a+2
解不等式②得：x∴不等式组的解集为：a+2∵不等式的解集为：
∴a+2=-1，b-1=1
解得：a=-3，b=2
∴
故答案为：1.
【分析】先解不等式①的解集，再解不等式②的解集，得出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集，得出方程，解出a，b，再代入即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把 植树、种花、除草三个劳动项目 记为A、B、C
画出树状图如下：
共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 两个班级恰好都抽到种花的 结果有1种，、
则这两个班级恰好都抽到种花的概率是
故答案为：.
【分析】先把三个项目记为A、B、C，画出树状图，根据概率公式计算概率即可.
15．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵方程x2-mx+3＝0的一个根是1
∴12-m+3＝0
解得：m=4
故答案为：4.
【分析】已知方程的根，可以把x=1，代入方程，解出m即可.
16．【答案】201
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：由题意可知：
…
∴
∴
∴
…
∴
∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝
=1+2+2+2…+2
=1+2×100
=201
故答案为：201.
【分析】先计算出的值，观察出规律：(n>1)，从而计算出结果.
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】把，代入计算即可.
18．【答案】解：（a）＝（a） ＝a
=-1，
=-1，
=
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
且满足的整数有：-1，0，1，2 ∴a＝2，
原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac，进行计算即可.
19．【答案】（1）解：①如图：直线MN即为所求；
②如图，即为所求；
；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵MN垂直平分BC，
∴，
∵，
∴四边形BECD是平行四边形，
又∵，
∴四边形BECD是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）①分别以点B、C为圆心，大于BC的长度为半径画弧，两弧在BC的两侧分别相交于点M、N，过点M、N作直线MN，交AB于点D，交BC于点O，则直线MN就是所求的线段BC的垂直平分线；②以点O为圆心，OD的长为半径画弧，该弧与MN在BC的下方相交于点E，然后连接CD、BE、CE即可；
（2）四边形BECD是菱形，理由如下：首先由线段垂直平分线的性质可得OB=OC，BD=CD，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形BECD是平行四边形，进而再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
20．【答案】（1）证明：抽取了(人)，
属于偏胖的人数为：，
补全统计图如图所示，
（2）解：（人）
答： 该公司名员工中属于偏胖和肥胖的总人数 为110人.
（3）9
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量；样本与总体的关系
【解析】【解答】解：（3）：设 小张体重减掉xkg，依题意，解得：，答：他的体重至少需要减掉9kg
故答案为：9.
【分析】（1）先计算抽取的总人数，再用总人数减去各个部分的人数，得出偏胖的人数，再补全统计图即可
（2）用总人数×偏胖和肥胖所占总人数的百分比即可
（3）解设 小张体重减掉xkg，根据不等量关系：27-减掉的BMI值<24，列出不等式，解出x即可.
21．【答案】（1）证明：为正方形，
，，，，
，，，
，.
平分，.，
.，
，
垂直平分
（2）解：为正方形，且边长为4，，
在中，
由①可知，，
，
由图可知，和等高，设高为，
，
，
，
【知识点】正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，得出：AE⊥DF，再证明，得出DG=MG即可
（2）由（1）知：，得出AM=AD=4，在Rt△ADC中，AD=CD=4，得出，因为和等高，设高为，再根据，列出方程，解出h，再代入三角形面积公式即可.
22．【答案】（1）解：设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨.
依题意，得，
解得，则.
经检验符合题意
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨
（2）解：设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且
公司获得的总利润
因为，所以随着的增大而增大.
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设设这个月该公司销售甲特产吨，根据等量关系：甲的成本+乙的成本=235，列出方程，解出x即可
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，公司获得的总利润为W万元，
根据总利润=甲的利润 +乙的利润，写出W关于m的关系式，再结果m的取值范围和W的增减性来求出W的最大值.
23．【答案】（1）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
故．
（2）解：根据题意，得旋转角，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合题意即可求解；
（2）先根据旋转的性质得到，进而根据平行线的性质即可得到，进而求出，，从而即可得到∠AHO=90°，再运用矩形的判定与正方形的判定即可求解。
24．【答案】（1）证明：如图所示，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是的切线.
（2）解：证明：如图所示，
∵平分
∴
又∵，
则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
设，则，
∴
∵
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，先根据圆的性质即可得到，再根据等腰三角形的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）如图所示，先根据角平分线的性质即可得到，进而结合题意即可得到∠EMC的度数，再运用圆周角定理即可得到，进而运用等腰三角形的判定与性质即可求解；
（3）取的中点，连接，先根据切线的性质即可得到，进而根据中位线的性质即可得到，再解直角三角形即可得到，设，则，根据勾股定理即可得到，进而即可求出b的值，接着根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再根据角平分线的性质得到到的距离相等，设为，在，设点到的距离为，进而即可得到，再结合已知条件即可求解。
25．【答案】（1）解：设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），
则有﹣m＝，
∴m＝±3，
经检验，m＝±3的分式方程的解，
∴双曲线y＝上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）
（2）解：①函数y=kx+b，“黎点”为（3，﹣3），则-3=-3k+b，b=-3k-3
其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18.
∴，将b=-3k-3代入，解得k=1，b= -6
∴y=x-6
又∵函数y=kx+b过“横倍点”P（2m，m），∴m=2m-6，
∴m=6，∴P1（12，6）
②函数y=kx+b，“黎点”为（-3，3），则3=-3k+b，b=3k+3
其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18.
∴，将b=3k3代入，解得k=1，b= 6
∴y=x-6
又∵函数y=kx+b过“横倍点”P（2m，m），∴m=2m+6，
∴m=-6，∴P2（-12，-6）.
综上，“横倍点”P的坐标为P1（12，6）或P2（-12，-6）
（3）解：∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，
∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解，
即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0，
∴ac＝9，
∴a＝，
∵a＞1，
∴0＜c＜9
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数的其他应用；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m，﹣m），令m=-m，代入，得出方程﹣m＝，解出m即可
（2）由（1）知：双曲线y＝上的“黎点”为：（3，﹣3）或（﹣3，3），然后分类讨论：
当函数y=kx+b，“黎点”为（3，﹣3），则-3=-3k+b，b=-3k-3，再求出直线y=kx+b与x轴交点的横坐标和纵坐标，再利用面积公式，列出方程：，解出k，b，再把k，b代入直线y=kx+b中，把点P(2m，m)代入直线解析式，求出m即可
当函数y=kx+b，“黎点”为（-3，3），则3=-3k+b，b=3k+3，同理第一种情况，求解即可.
（3）令y=-x，列出方程ax2﹣7x+c＝﹣x，根据题意得出：Δ＝36﹣4ac＝0，这样，得出：a＝，再根据a的取值范围，得出c的取值范围.
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