（1）预备知识—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）（含解析）

（1）预备知识—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( )
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长.
A.等于 B.小于 C.大于 D.不确定
3.已知全集，集合，，则( ).
A. B.
C. D.
4.“”是“关于x的方程有实数根”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.设，则“”是“”的_______条件( )
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
8.已知正实数a，b满足，则的最小值是( )
A.2 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是( )
A.13 B.14 C.15 D.17
10.给定集合A，若对于任意a，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是( )
A.集合为闭集合;
B.集合为闭集合;
C.集合为闭集合;
D.若集合，为闭集合，则为闭集合．
11.已知，，且，则( )
A.ab的最小值是 B.的最小值是7
C.的最小值是8 D.的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知集合或，，若，则实数a的取值范围是________.
13.已知，，且，则的最小值为______.
14.已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则.
(1)若，求出A中其他所有元素.
(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素.
16.（15分）某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分:技术人员和研发人员，其中技术人员x名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人
（2）若技术人员在已知范围内调整后，研发人员的年总投入必须始终不低于技术人员的年总投入，求出正整
数m的最大值.
17.（15分）已知集合，.
(1)若，求实数m的取值范围;
(2)若将题干中的集合B改为，是否有可能使命题 “，都有”为真命题，请说明理由.
18.（17分）已知，，，求证：
（1）；
（2）.
19.（17分）已知集合，，函数.
(1)求集合A.
(2)若，，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
(3)若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围
(4)当时，求关于x的不等式的解集
答案以及解析
1.答案：C
解析：命题“”的否定是，
故选:C.
2.答案：C
解析：顾客购得的黄金是大于$10g$，理由如下：
由于天平两臂不等长，设左臂为a，右臂为b，，先称得的黄金质量为，后称得的黄金质量为，则，，
故，
所以顾客购得的黄金是大于10g.
3.答案：D
解析：函数值域为，则，
又，则有，所以.
故选：D.
4.答案：A
解析：当时，关于x的方程的实数根为，
当时，关于x的方程有实数根，则，解得，则有且，
因此，关于x的方程有实数根等价于，所以""是"关于x的方程有实数根"的充分而不必要条件.故选A.
5.答案：B
解析：由，可得，
，
当且仅当，即 时取等号，
所以的最小值为.
故选:B.
6.答案：D
解析：若集合M有15个真子集，则M中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间中含有4个整数，
①当时，的区间长度，此时中不可能含有4个整数;
②当时，，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意;
③当时，的区间长度大于3，
若的区间长度，即.
若是整数，则区间中含有4个整数，根据，可知，，
此时，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意.
若不是整数，则区间中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得;
若时，，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意;
当时，的区间长度，此时中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得.
综上所述，或或，即实数a的取值范围是.
故选:D.
7.答案：A
解析：若，则，所以，
若，则，所以，所以或，
因为是或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8.答案：B
解析：因为正实数a，b满足，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选B.
9.答案：ABC
解析：设二次函数，开口向上，其对称轴为，因为一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
3个整数解必然是3，4，5，
根据对称性，满足且，故，且，即，，14，15.
故选:ABC.
10.答案：AC
解析：对于A：按照闭集合的定义，，，故A正确;
对于B：当，时，.故不是闭集合.故B错误;
对于C：由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合.故C正确;
对于D：假设，.不妨取，，但是， ，则不是闭集合.故D错误.
故选：AC.
11.答案：BC
解析：已知，，且，
则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误;
，当且仅当时，等号成立，B选项正确;
因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确;
由题意可得，此时，
因为，而不存在a，b使得，则D选项错误.
故选:BC
12.答案：或
解析：易知，所以，利用数轴表示，如图所示，
或
则或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
13.答案：4
解析：，当且仅当时，等号成立.
14.答案：
解析：由“”是“”的必要不充分条件，得，
依题意，集合，
，
当，即时，，则，解得;
当，即时，，则，解得，
当，即时，，满足，因此，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
15.答案：(1)A中其他所有元素为，，2;
(2)0不是A的元素，当，A中的元素是：3，，，.
解析：(1)由题意可知：，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2.
(2)假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素，
取，则，，，，
所以当，A中的元素是：3，，，.
16.答案：（1）75
（2）7
解析：（1）依题意得，解得，
所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有:
，得，
故有，，
当且仅当时等号成立，所以，故正整数m的最大值为7.
17.答案：(1)
(2)不可能，理由见解析
解析：(1)因为，
所以或或，
解得或或，
所以;
(2)若，，
对，都有，则，
所以，该不等式组无解，
故命题“，都有”为真命题不可能.
18.答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1），，，，
，(当且仅当时等号成立)
（2），，，
.
（当且仅当时，即，时等号成立）
19.答案：(1);
(2)或;
(3)
(4)答案见解析.
解析：(1)由，得，解得，
所以.
(2)解不等式，得或，即或，
由是的充分不必要条件，得集合A为集合B的真子集，
则，或，
解得或，
所以实数m的取值范围是或.
(3)不等式，
依题意，对恒成立，当时，恒成立，因此，
当时，，解得，
所以实数a的取值范围是.
(4)不等式，即，
当时，;
当时，，解得;
当时，，解得或;
当时，，
当时，，，解得或，
所以当时，原不等式的解集为;
当时，原不等式的解集为;
当时，原不等式的解集为;
当时，原不等式的解集为.