（1）预备知识—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）（含解析）

（1）预备知识—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为( )
A. B. C.8 D.6
4.“，且”是“，且”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，，且，则ab的最小值为( )
A.100 B.81 C.36 D.9
6.已知集合，，若，则( )
A.1 B.2 C. D.
7.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金，售货员现将5g的砝码放在天平的左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡;将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平的左盘中，使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.则( )
A. B.
C. D.以上都有可能
8.若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设，，若，则实数a的值为( )
A. B. C. D.0
10.已知正数a，b满足，则( )
A. B.a与b可能相等
C. D.的最小值为
11.对于一个非空集合B，如果满足以下四个条件：
①
②，
③，若且，则
④，b，若且，则
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是( )
A.设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有4个
B.设，则集合是集合A的一个“偏序关系”
C.设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D.是实数集R的一个“偏序关系
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知集合，若，则__________.
13.已知m是实常数，若，，且是的充分条件，则实数m的取值范围是____________________.
14.已知，，且.若恒成立，则实数m的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知集合，.
（1）求;
（2）定义且，求.
16.（15分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？
17.（15分）已知，.
(1)若，p，q有且只有一个为真命题，求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
18.（17分）若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①，；②若，则，且时，.
（1）分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由.
（2）设集合A是“好集”，求证：若，则.
（3）对任意的一个“好集”A，判断下面结论是否正确，并说明理由.结论：若，则必有.
19.（17分）设函数.
（1）若不等的解集为，求的值;
（2）当，且，，有恒成立，求k的取值范围;
（3）若，，求的最小值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：或，所以，
则.
故选：D.
2.答案：C
解析：因为，所以.
3.答案：C
解析：根据题意，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
4.答案：B
解析：若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立;
当，，满足，且，但是，故充分性不成立，
所以"，且"是"，且"的必要不充分条件.
故选:B.
5.答案：C
解析：因为，，
所以，当且仅当，即，取等号，
所以，所以ab的最小值为36，
故选:C
6.答案：C
解析：因为，.所以或.若，则，A不满足集合的互异性.若，则，，符合题意.若，则，A不满足集合的互异性.
7.答案：A
解析：设天平左臂长为a，右臂长为b，且，则有，，即，，
所以，，
又因为，所以.
故选:A
8.答案：D
解析：因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为.
故选:D.
9.答案：ABD
解析：因为，，且，
当时，，符合题意;
当时，，又，所以或，解得或，
综上，或或，
故选：ABD.
10.答案：BD
解析：由正数a，b满足，得，A错误；
若，则，而a为正数，则，B正确；
显然，则，当且仅当时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：BD
11.答案：BCD
解析：对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，
或，或，共3个，所以A错误，
对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确，
对于C，由②可知集合B中必须含有，，
由③可知与，与，与不能同时出现，
所以再从，，，，，中取一个，共6个，即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确，
对于D，满足①②，
因为，，，所以满足③，
因为，，，所以，所以，满足④，
所以是实数集R的一个“偏序关系，所以D正确，
故选：BCD.
12.答案：
解析：因为集合，，，
所以解得从而.
13.答案：
解析：因为是的充分条件，所以对应x的取值集合是对应x的取值集合的子集，
命题对应x的取值集合是，
命题对应x的取值集合为，
所以，所以，
故答案为：.
14.答案：
解析：方法一：由，得，所以，所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以.又恒成立，所以，即，解得.
方法二：由题意知恒成立.又，当且仅当，即，时取等号，所以，解得.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知，或，
所以，
所以;
（2）由题意知.
16.答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）依题意，
当且仅当，即（千米/时）时，等号成立．
最大车流量千辆/时．
（2）由条件得，整理得，解得，
故汽车的平均速度应该在范围内．
17.答案：(1)
(2)
解析：(1)对于，解得：，
当时，则，
若，p，q有且只有一个为真命题，则p真q假，或p假q真;
当p真q假时，即，无解;
当p假q真时，，解得：或，
综上，实数x的取值范围为
(2)因为q是p的充分不必要条件，则是的真子集;
则或，解得：或，
综上，实数m的取值范围为
18.答案：（1）集合B不是“好集”；有理数集Q是“好集”
（2）证明见解析
（3）该结论正确.理由见解析
解析：（1）由，便可得出，从而得出集合B不是“好集”.
有理数集Q是“好集”.理由：，，对任意，，都有，且时，，
故有理数集Q是“好集”.
（2）因为集合A是“好集”，所以.
若，则，即，所以，即.
（3）该结论正确.理由如下：
若x，y中有0，1时，显然有.
设x，y中不存在0，1，由定义得，，，
所以，则.
由（2）得，同理，所以.
当或时，显然；
当且时，，可得，所以.
由（2）得，所以.
综上，.
所以若，则必有.
19.答案：（1）.
（2）.
（3）.
解析：（1）因为的解集为，
所以-1和3是的两个解，即解得，
所以.
（2）由题意得，即，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，原不等式转化为，即恒成立，
由解得k的取值范围为.
（3）由可得，因为，
所以，
当时，，所以，当且仅当，即，时等号成立;
当时，，所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.