（2）函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）（含解析）

（2）函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（A卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.幂函数在上单调递减，则m等于( )
A.3 B.-2 C.-2 或3 D.-3
2.定义在R上的偶函数满足当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，当时，的最大值为M最小值为m，则( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是( )
A. B.
C. D.
5.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.定义在R上的函数满足，且为奇函数.当时，，则( )
A. B. C. D.1
7.已知定义在R上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，…，，则( )
A.n B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且当时，，则( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意两点，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的定义域为R，满足，则( )
A. B.
C.为偶函数 D.为奇函数
11.已知定义在的函数满足：当时，恒有，则( )
A.
B.函数在区间为增函数
C.函数在区间为增函数
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若幂函数在上单调递增，则实数_________.
13.定义在R上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则_________________.
14.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数.
（1）画出函数的图象;
（2）求的值;
（3）写出函数的单调递减区间.
16.（15分）已知幂函数，且在上单调递增.
（1）求m的值;
（2）设函数，求在上的值域.
17.（15分）设a为实数，函数，.
（1）若函数是偶函数，求实数a的值;
（2）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，0就是它的均值点.现在（1）的条件下，函数是区间上的平均值函数，求实数m的取值范围.
18.（17分）已知幂函数的图象过点.
（1）求实数n的值；
（2）设函数，用定义证明：在上单调递减.
19.（17分）已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明.
（2）利用单调性的定义证明：在上单调递增.
（3）若函数在上是增函数，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由幂函数的定义知，解得或，
若，则，不合题意， 舍去.
故选：B.
2.答案：C
解析：显然在上单调递增，且.由于是定义在R上的偶函数，作出函数的大致图象如图所示，不等式等价于或，结合函数图象可知，不等式的解集为，故选C.
3.答案：B
解析：，
设，，
，则是上的奇函数，
的最大值为，最小值为，则有，
所以.
故选:B
4.答案：D
解析：是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，又，所以当时，，当或时，.
因为，所以或解得或，所以0的解集是.故选D.
5.答案：B
解析：幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，
所以，解得，
因为，所以或，
当时，，图象关于y轴对称，不满足题意;
当时，，图象关于原点对称，满足题意，
不等式化为，
，
因为函数在上递减，
所以，
解这个不等式，得，
即实数a的取值范围是，
故选：B.
6.答案：B
解析：因为函数为奇函数，则，
即，可得.
又因为，则，
所以，可得，
则，即，
所以.
故选:B.
7.答案：C
解析：，关于点对称，
，可知函数关于点对称，
与的交点也关于点对称，
，
故选：C.
8.答案：D
解析：由题意，，，.
赋值，得;
赋值，得，即，
当时，，
当时，则，所以，即;
赋值，得，解得，
即;
AC项，由，，
得，
其中由，可知，
当时，，即;
当时，，即;故AC错误;
BD项，，得;
又，所以，
则，
故，且不恒为0，故B错误，D正确.
故选：D.
9.答案：BC
解析：设幂函数，则有，解得，所以.
作出函数的大致图象如图所示，由其图象知图象上的点与原点连线所在直线的倾斜程度随x的增大而减小，即，即，所以B，C正确.
10.答案：AD
解析：对于A:令，得，即，所以或.
当时，不恒成立，故，故A正确.
对于B:令，得，又，所以，
故，故B错误.
对于C、D:由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确.
故选:AD.
11.答案：ABD
解析：依题意，当时，恒有，
令，，则，，，
所以A选项正确.
不妨设，
设，，
由于，所以，
所以，，
所以在为增函数，所以B选项正确.
设，的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数在为增函数，
所以，
所以，，
同理，
所以，，
所以
，所以D选项正确.
故选：ABD
12.答案：
解析：由题意可得，解得或.若，则在上单调递减，不符合题意；若，则在上单调递增，符合题意.综上所述，.
13.答案：1
解析：若为偶函数，为奇函数，
则，，
令，则，即，
令，则，即，
又因为，所以.
故答案为：1.
14.答案：
解析：，，
即为奇函数，又，
在R上单调递增，
，解得，
实数a的取值范围是.
故答案为：.
15.答案：（1）见解析
（2）
（3）和
解析：（1）如图所示;
（2）;
（3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和.
16.答案：（1）3
（2）
解析：（1）因为是幂函数，所以，即，
所以，解得或.
因为在上单调递增，所以，则.
（2）由（1）可得.
因为与在上都是增函数，所以在上是增函数.
因为，，
所以在上的值域为.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）是偶函数，在R上恒成立，
即，
即，得，，
;
（2）因为，所以函数是区间上的平均值函数，
所以存在，使，而，即存在，使得，即关于的方程在内有解;
所以解得，或，
，
解得:.
18.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由函数是幂函数，得，解得.
当时，函数的定义域为，显然此函数图象不可能过点，即不符合题意；
当时，函数的定义域为，显然此函数图象可以过点，
所以，函数，.
（2）证明：由（1）知，函数，则函数.
任取，且，
则，
由，得，且，因此，
则，即，
所以函数在上单调递减.
19.答案：（1）是奇函数；证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）是奇函数.
证明：由题意可知的定义域为，关于原点对称.
因为，所以是奇函数.
（2）证明：设，且，则.
因为，所以，，
所以，即，
故在上单调递增.
（3）由题意可得，
当，即时，，在上是增函数.
当，即时，，设方程的两根为，，且，
则在上是增函数.令，
则解得.
综上所述，a的取值范围为.