（2）函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）（含解析）

（2）函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设是定义域为R的奇函数，且.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知幂函数是R上的偶函数,且函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在R上的偶函数,则“是上的减函数”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.定义表示不超过x的最大整数.例如: ,,则( )
A. B.,
C.是偶函数 D.是增函数
7.下列各组的两个函数为相等函数的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
8.已知函数是定义在R上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的,，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是( )
①；
②；
③函数在上单调递增；
④不等式的解集为.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，若，则下列说法正确的是( )
A.当时，
B.
C.函数是增函数
D.函数的值域为
10.已知幂函数的图像经过点,则下列结论正确的有( )
A.为增函数
B.若,则
C.为偶函数
D.若,则
11.已知函数的定义域为R,的图像关于直线对称,且对任意的都有,则下列正确的是( )
A.为偶函数 B.
C.2是的一个周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，，若不等式在区间上恒成立，则n的取值为_________.
13.已知函数的定义域为则的定义域为_________.
14.已知,是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数
（1）当时，求函数的解析式；
（2）当时，求函数的解析式.
16.（15分）函数满足，函数的图象关于点对称，求的值.
17.（15分）已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求m的值，并写出的解析式；
（2）令，，求的值域.
18.（17分）设函数．
（1）判断函数在区间上的单调性,并用定义证明结论;
（2）若,求函数的值域．
19.（17分）已知函数满足.
（1）求k的值，并求出相应的的解析式.
（2）是否存在实数q，使函数在区间上的值域为？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题知.又，所以，所以.
2.答案：C
解析：当“”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立；
反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立，
故“”是“在上单调递增”的充分必要条件，
故选：C.
3.答案：A
解析：因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，又函数，
则且，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：A.
4.答案：B
解析：由条件知解得或,又函数是R上的偶函数,
所以,,,其对称轴方程为,
根据条件可知,解得,
故选：B.
5.答案：A
解析：因为是偶函数,所以.
由是上的减函数,则,即;
反之,对于函数,
显然,是偶函数,且,但是不是上的减函数.
故“是上减函数”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6.答案：B
解析：A选项,取,,则,,显然,所以A不正确;
B选项,设表示不超过的最大整数,所以,
所以,所以,所以,即,
所以,所以,故B正确;
C选项,,因为,
所以,所以不是偶函数,故C错误;
D选项,所以,所以不是增函数,故D错误.
故选：B.
7.答案：D
解析：A.的定义域为,的定义域为或,定义域不同,两函数不相等;
B.的定义域为,的定义域为R,定义域不同,不相等;
C.,,解析式不同,不相等;
D.的定义域为,的定义域为,定义域和解析式都相同,相等.
故选：D.
8.答案：C
解析：因为函数的图象关于点对称.
所以的图象关于点对称,即函数足奇函数.
因为.
所以的图象关于直线对称,
,
所以是以4为周期的周期函数.故①正确:
因为对任意的,,均有,
所以不妨设,则,
所以,即雨数在[0,1]上单调道增.
,故②正确;
因为函数足R上的奇函数.所以函数在上单调递增.
在上单调递瑊,上单调递增,故③错误;
由.所以,,
因为函数是以4为周期的周期函数.所以不等式的解集为,故④正确.故选:C.
9.答案：AD
解析：当时，，故A正确；
，故B错误；
因为，，所以不是增函数，故C错误；
当时，其中，所以，可得，所以的值域为，故D正确.故选AD.
10.答案：ABD
解析：由幂函数的图像经过点,得,所以.
,定义域为,
对于A选项：因为,由幂函数的性质得A选项正确;
对于B选项：若,则
,
所以,
又,
所以,故B选项正确;
对于C选项：由于定义域不关于数字0对称,故C选项不正确;
对于D选项：因为为增函数,若,则,故D选项正确;
故选：ABD.
11.答案：AD
解析：因为函数的定义域为R,的图像关于直线对称,所以关于y轴对称,即,所以为偶函数,故A正确;
因为,,令,可得,则,因为为偶函数,所以,故B不正确;
由,,令,可得：,,2是不是的一个周期,C错误;
因为,,所以,
所以,则,即是以4为周期的周期函数;
所以,故D正确;
故选：AD
12.答案：
解析：一般地，满足不等式在区间上恒成立.
13.答案：
解析：由已知,的定义域为,所以对于
x需满足,解得
故答案为：.
14.答案：
解析：因为是奇函数，是偶函数，满足，
可得，
联立方程组，解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii)若，在单调递增，满足题意；
(iii)若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，得当时，，
所以，
即当时，函数的解析式为.
（2）由题意，得当时，，
所以，
即当时，函数的解析式为.
16.答案：0
解析：根据题意，由，
知，
两式相减，得，
即是周期为12的周期函数，
由的图象关于点对称，
且的图象是由的图
象向左平移一个单位长度得到的，
则的图象关于点对称，
是奇函数.
，
又由，令可得，
而为奇函数，则，
所以，
故
17.答案：（1），
（2）
解析：（1）因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以，.
（2），.
①当时，在上单调递减，
所以，，此时；
②当时，，
设，，可得，
，此时，
综上，的值域为.
18.答案：（1）函数在上单调递增;证明见解析
（2）
解析：（1）函数在上单调递增;
证明：任取,且,
则
因为,
所以,
所以,
得,
所以函数在上单调递增;
（2）因为,
则,,
所以,
由（1）的证明过程知,函数在上单调递减,
所以由复合函数单调性可得,
函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,
又,
显然,故,
所以函数的值域为：
19.答案：（1），此时
（2）存在
解析：（1）因为，所以在第一象限内是增函数，
故，解得.
又，所以，此时.
（2）假设存在实数q满足题设条件，
则，，可得.
在区间上的最值在顶点或端点处达到.
若，则，解得，
此时，当时，，符合条件；
若，则，解得，
此时，，矛盾.
综上，存在符合题意.