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2.3简谐运动的回复力和能量
（1）会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
（2）认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
（3）会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？
根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0，然后，物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物体由于具有惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力使它再一次回到平衡位置。正是在这个力的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回复力（restoring force）。
考点一、回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
（2024 朝阳区校级模拟）对于一个在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法中正确的是（ ）
A．振子对平衡位置的位移增大，则其加速度减小
B．从任意时刻开始的四分之一周期时间内路程等于振幅
C．振子对平衡位置的位移的方向与速度的方向相反，则其速度的大小正在增大
D．从任意时刻开始的二分之一周期时间内合力的冲量为零
【解答】A、振子所受回复力大小与位移大小成正比，振子对平衡位置的位移增大，回复力增大，所以加速度增大，故A错误；
B、做简谐振动的质点在四分之一周期的时间内的路程不一定等于一倍振幅，与起点的时刻有关，故B错误；
C、位移方向从平衡位置指向物体所在的位置，速度的方向与位移的方向相反时，振子向平衡位置移动，速度大小在增大，故C正确；
D、经过二分之一周期，振子速度大小不变，方向改变，动量的变化量不为零，动量的变化量等于合力的冲量，故合力的冲量不为零，故D错误；
故选：C。
（2024春 龙凤区校级期末）做简谐运动的质点在通过平衡位置时（ ）
A．速度一定为零 B．振幅一定为零
C．合力一定为零 D．回复力一定为零
【解答】解：AD．做简谐运动的质点在通过平衡位置时位移为零，根据回复力公式
F＝﹣kx
可知，当质点在平衡位置时，回复力一定为零，加速度为零，速度为最大值，故A错误，D正确；
B．简谐运动过程中，振幅是不受质点所在位置影响的，振幅是不变的，故B错误；
C．在单摆这种简谐运动中，通过平衡位置时，合力不为零，回复力一定为零，故C错误。
故选：D。
（2024春 台江区校级期中）如图所示，弹簧振子在竖直方向做简谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直方向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子的振幅为4cm
B．在0～4s内振子做了4次全振动
C．t＝1s时，振子受到的弹簧弹力大小为零
D．t＝1s时，振子的速度为正的最大值
【解答】解：A、由振动的图象可知：振子的振幅为2cm而不是4cm，故A错误；
B、由振动的图象可知周期为2s，则振子在4s时间内做2次全振动，故B错误；
C、由图可知t＝1s时，振子处于平衡位置，回复力为零，此时弹力等于重力，弹簧弹力不为零，故C错误；
D、由图可知t＝1s时，振子处于平衡位置，加速度为零，振子速度为正的最大值，故D正确；
故选：D。
（2024春 沙坪坝区校级期中）如图所示为一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．质点振动周期为0.4s
B．质点在0.8s内走过的路程为40cm
C．0至0.4s时间内，质点加速度始终沿x轴负方向
D．在0～0.2s时间内，速度方向与加速度方向相同
【解答】解：A．由图可知质点振动周期为0.8s，故A错误；
B．由图可知质点的振幅A为10cm，质点在0.8s内走过的路程为：s＝4A
代入数据得：s＝40cm，故B正确；
C．0至0.4s时间内，位移始终为负，回复力始终与位移方向相反，由牛顿第二定律可知，质点加速度始终沿x轴正方向，故C错误；
D．图线的斜率表示运动的速度，在0～0.2s时间内，速度沿x轴负方向，质点正在远离平衡位置，而回复力始终指向平衡位置，由牛顿第二定律可知，加速度沿x轴正方向，速度方向与加速度方向相反，故D错误。
故选：B。
（2024 重庆模拟）如图甲所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端连接一质量为m物块，物块在竖直向下的压力F的作用下保持静止。t＝0时，撤去压力F，物块在竖直方向做简谐振动，取竖直向上为正方向，弹簧振子的振动图像如图甲、乙所示。弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，F＝2mg。以下说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅为
B．弹簧振子的频率为2.5Hz
C．t＝0.2s时，物块的加速度最大
D．t＝0.4s到t＝0.6s的时间内，物块加速度和速度方向相同
【解答】解：A、物体在振动的过程中，平衡位置为回复力为零的位置，由题知，在平衡位置弹簧弹力等于物块重力mg，则弹簧回复力为F＝2mg，弹簧振子的振幅为x，F＝kx，代入得，故A错误；
B、由弹簧振子的振动图像知周期为T＝0.8s，弹簧振子的频率为，故B错误；
C、t＝0.2s时，物块处于平衡位置，物块的回复力最小，速度最大，故物块的加速度最小，故C错误；
D、t＝0.4s到t＝0.6s的时间内，物块由最远位置到平衡位置，速度由0变化到最大，速度方向指向平位置，回复力指向平衡位置，故物块加速度和速度方向相同，故D正确。
故选：D。
考点二、简谐运动的能量
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
4．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
考点三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表．
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
（2024春 温州期末）如图为某物体做简谐运动的图像，则（ ）
A．0.6s时的速度与0.8s时的速度相同
B．0.6s时的回复力与0.8s时的回复力相同
C．0.5s时的势能小于0.6s时的势能
D．0.5s时的加速度小于0.6s时的加速度
【解答】解：A.由图可知，0.6s和0.8s时刻偏离平衡位置的距离相等，即速度方向也相同，则速度相同；故A正确。
B.0.6s和0.8s时刻回复力大小相等，方向相反，回复力为矢量，则回复力不相同；故B错误。
C.0.5s比0.6s偏离平衡位置距离大些，则势能大些；故C错误。
D.0.5s比0.6s偏离平衡位置距离大些，则加速度大些；故D错误。
故选：A。
（2024 海淀区校级模拟）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用手将小球下压至B点，由静止释放，一段时间后，小球会与弹簧脱离，已知C点为AB的中点，则（ ）
A．小球运动至C点时，所受重力与弹力大小相等
B．从B到A过程中，小球的动能一直在增大
C．从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做功
【解答】解：A、不知道小球的质量，所以不知道在C点小球所受重力与弹簧弹力的大小关系，故A错误；
B、小球从B到A的过程中，弹簧的形变量一直减小，在A点小球受到的弹簧弹力为零，在AB间有一个位置小球受重力和弹簧相等，此位置假设为D，则小球从B到D的过程中，小球所受弹力大于重力，小球做加速运动，从D到A的过程，小球所受弹力小于重力，小球做减速运动，所以小球从B到A的过程中，小球是先加速后减速，则小球的动能先增加后减小，故B错误；
C、从B到A的过程中，弹簧的形变量一直减小，所以弹簧的弹性势能一直减小，故C错误；
D、设AB之间的距离为x，则AC之间的距离为，弹簧弹力对小球做的功等于弹簧弹性势能的变化量，从B到C过程弹簧弹性势能的变化量为，从C到A弹簧弹性势能的变化量为，则ΔEp1＞ΔEp2，即从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做功，故D正确。
故选：D。
（2024春 大理州期末）将质量为0.2kg的小球放在竖立的轻弹簧上（未拴接），并将小球竖直下按至图甲所示的位置A。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至图乙所示的最高位置C，途中经过位置B时弹簧恢复原长。已知A、B的高度差为0.1m，B、C的高度差为0.3m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2。若取位置B所在水平面为零势能面，则（ ）
A．小球在位置A的重力势能为0.2J
B．小球在位置B的机械能为零
C．小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能
D．小球在位置B的机械能小于在位置C的机械能
【解答】解：A、取位置B所在水平面为零势能面，则小球在位置A的重力势能为EpA＝﹣mghAB＝﹣0.2×10×0.1J＝﹣0.2J，故A错误；
BD、不计空气阻力，小球从B到C，只受重力作用，所以小球的机械能守恒。由机械能守恒定律可知小球在位置B的机械能等于在位置C的机械能，小球在位置C时只有重力势能，则EB＝EC＝EpC＝mghBC＝0.2×10×0.3J＝0.6J，故BD错误；
C、小球在位置A时只有重力势能，则小球在位置A的机械能为EA＝EpA＝﹣0.2J，小球在位置C的机械能为EC＝EpC＝mghBC＝0.2×10×0.3J＝0.6J，则知小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能，故C正确。
故选：C。
（多选）（2024春 丰台区期末）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧E处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB的中点，则（ ）
A．从B到A过程中，小球的动能一直增加
B．从B到A过程中，小球的机械能一直增加
C．从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．从B到C弹簧弹力对小球做的功大于从C到A弹簧弹力对小球做的功
【解答】解：A．从B到A过程中，小球所受弹簧弹力逐渐减小，当F弹＞mg
时，小球做加速运动，其动能增加，当F弹＜mg
时，小球做减速运动，其动能减小。故A错误；
BC．从B到A过程中，弹簧与小球系统机械能守恒，弹簧一直对小球做正功，小球的机械能一直增加，弹簧的弹性势能一直减小。故B正确；C错误；
D．根据胡克定律
F＝kx
可知从B到C弹簧弹力的平均值较大，由
又
lBC＝lCA
可知从B到C弹簧弹力对小球做的功大于从C到A弹簧弹力对小球做的功。故D正确。
故选：BD。
（多选）（2024春 西城区期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉5cm，然后由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，有关t1和t2两个时刻，下列说法正确的是（ ）
A．钢球的加速度大小相等
B．钢球受到的弹簧弹力大小相等
C．钢球的动能相等
D．钢球的机械能相等
【解答】解：A．根据简谐运动的加速度为
则t1和t2两个时刻离开平衡位置的位移x大小相等，则加速度大小相等，故A正确；
B．钢球受到的弹簧弹力大小为
F＝kx1
其中x1为弹簧的形变量，t1和t2两个时刻离开平衡位置（mg＝kx0）的位移x大小相等，则形变量不相同，弹力不相等，故B错误；
C．t1和t2两个时刻是关于平衡位置的对称点，根据简谐运动的对称性可知，两个时刻的速度大小相等，则钢球的动能相等，故C正确；
D．t1和t2两个时刻钢球的动能相等，而重力势能因高度不同不等，则钢球的机械能不相等，故D错误。
故选：AC。
（2024春 海淀区校级期末）用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向做简谐运动，振动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t＝1s时，振子的速度最大
B．t＝2s时，振子的加速度最大
C．1～2s内，振子的速度变大，加速度变小
D．1～2s内，振子的速度变大，加速度变大
【解答】解：A.t＝1s时，振子的位移为正的最大值，则对应振子的速度为0，故A错误；
B.t＝2s时，振子的位移为0，则对应振子的回复力为0，所以振子的加速度也为0，故B错误；
CD.1～2s内，振子的位移由正的最大变为0，说明振子在向平衡位置运动，位移减小，回复力减小，加速度减小，速度变大，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024春 城中区校级期末）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过0.3s首次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期一定为1.2s
B．小球振动的振幅为0.3m
C．弹簧振子振动方程可能为x＝﹣0.15sin（5πt）m
D．0.6s末，小球不一定在平衡位置
【解答】解：A.从小球经过O点时开始计时，经过0.3s首次到达B点，若小球开始计时时向右运动，则小球振动的周期T＝4t＝4×0.3s＝1.2s；若小球开始计时时向左运动，则，小球振动的周期T＝0.4s，故小球的振动周期可能为1.2s或0.4s，故A错误；
B.由题目可知2A＝30cm，则小球振动的振幅为A＝15cm＝0.15m，故B错误；
C.当T＝1.2s时，有，故弹簧振子振动方程为；
当T＝0.4s时，有，故弹簧振子振动方程为x＝﹣0.15sin（5πt）m，故C正确；
D.无论T＝1.2s还是T＝0.4s，0.6s末，小球都在平衡位置，故D错误。
故选：C。
（2024春 重庆期末）智能手机集成了很多传感器，结合相应APP可应用于物理实验。如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时，某段时间内，小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A．钩码做简谐运动的周期为（t3﹣t1）
B．在t1和t5时刻，钩码的重力势能最大
C．在t2和t4时刻，钩码的动能最大
D．在t2到t4时间内，钩码所受合外力的冲量为零
【解答】解：A由乙图可知钩码做简谐运动的周期为T＝2（t3﹣t1），故A错误；
B、在t1和t5时刻，钩码所在处的磁感应强度最大，距离手机最近，距离最低，重力势能最小，故B错误；
C、在t2和t4时刻，钩码在平衡位置，此时钩码的动能最大，故C正确；
D、在t2和t4时刻，图像的斜率大小相等，方向不同，说明钩码在这两个时刻速度大小相等，方向相反，在t2到t4时间内钩码的动量变化量不为零，根据动量定理可知钩码所受和外力的冲量不为零，故D错误。
故选：C。
（2024 香坊区校级四模）一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点。以O点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像如图所示。下列结论正确的是（ ）
A．小球振动的频率是2Hz
B．t＝0.5s时，小球在A位置
C．t＝1s时，小球经过O点向右运动
D．小球的振动方程是x＝10sinπt（cm）
【解答】解：A、由小球振动图像可知，振动周期T＝2s，所以小球振动的频率是fHz＝0.5Hz，故A错误；
B、由小球振动图像可知，t＝0.5s时，小球在正向位移最大处，水平向右为正方向，所以小球在B点，故B错误；
C、小球在t＝1s时，位于平衡位置，1s前在平衡位置右侧，1s后在平衡位置左侧，所以速度方向向左，故C错误；
D、由题图可知弹簧振子的振幅A＝10cm，弹簧振子的周期为T＝2s，小球振动的角频率为：ω
解得：ω＝πrad/s
小球的振动方程为：y＝10sinπt（cm），故D正确；
故选：D。
（2024 广东模拟）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m，可视为质点的小球，将小球托起至O点，弹簧恰好处于原长，松手后小球在竖直方向做简谐运动，小球最远能到达B点，A点为OB的中点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球在O点时的机械能最小
B．小球经过A点时的加速度大小为g
C．小球在B点时受到的弹力大小为2mg
D．O、B两点间的距离为
【解答】解：A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒，小球在O点时弹簧处于原长，弹簧的弹性势能为零，小球的机械能最大，故A错误；
B．A点为小球的平衡位置，小球经过A点时的加速度大小为0，故B错误；
C．小球在B点时受到的弹力大小为FB，小球在O点时仅受重力作用，加速度大小为g，根据对称性可知，小球在B点时的加速度a大小也为g，根据牛顿第二定律得：
FB﹣mg＝ma
解得：FB＝2mg，故C正确；
D．小球在A点时加速度为零，则
mg＝kxOA
O、B两点间的距离为：
xOB＝2xOA
联立解得：，故D错误。
故选：C。
（多选）（2024 青岛模拟）如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小物块，用手托着物块使弹簧处于原长，由静止释放物块，则物块沿竖直方向做简谐运动。取竖直向下为正方向，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度的大小为g。则物块（ ）
A．下落h时受到的回复力为F＝﹣kh
B．下落的最大距离为
C．下落到最低点时的加速度大小为g
D．运动过程弹簧的弹力始终做负功
【解答】解：A．放手后物块到达平衡位置时，弹簧的伸长量为
可得下落h时受到的回复力为
故A错误；
B．根据简谐振动的对称性可知，物块从平衡位置到达最低点，弹簧变化的长度为
所以下落的最大距离为x＝x1+x0
故B正确；
C．下落到最低点时的加速度大小为
ag
故C正确；
D．运动过程中，弹簧的弹力一直竖直向上，可知当物块向下运动时，弹力做负功；当物块向上运动时，此时弹力做正功，故D错误。
故选：BC。
（多选）（2024 通州区一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin（10）cm．下列说法正确的是（ ）
A．MN间距离为5cm
B．振子的运动周期是0.2s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05s时，振子具有最大加速度
【解答】解：A、MN间距离为2A＝10cm，故A错误；
B、因ω＝10πrad/s，可知振子的运动周期是，故B正确；
C、由cm可知t＝0时，x＝5cm，即振子位于N点，故C正确；
D、由cm可知t＝0.05s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，故D错误；
故选：BC。
（多选）（2024 龙凤区校级模拟）图所示，一小球（可视为质点）在B、C（未画出）两点之间做简谐运动，BC＝10cm，BC的中点O为平衡位置（即位移为零的位置），取向右为正方向，质点的位移—时间关系式为x＝5cos（10πt）cm，则下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.1s时，质点在B点
B．t＝0.12s时，质点正向右运动
C．t＝0.2s时，质点的加速度为0
D．0～0.1s内，质点的加速度方向与速度方向始终相同
【解答】解：A.t＝0.1s时，有
x＝5cos（10π×0.1）cm＝﹣5cm
质点在B点，故A正确；
B.质点的周期为：
代入数据得：T＝0.2s
t＝0.12s时，即t，由于t，所以此时质点由B点正向O点运动，即质点正向右运动，故B正确。
C.t＝0.2s时，有
x＝5cos（10π×0.2）cm＝5cm
质点在C点，位移最大，回复力最大，由牛顿第二定律可知加速度最大，故C错误；
D.0～0.1s内，质点由C点运动到B点，质点的加速度方向与速度方向先相同再相反，故D错误；
故选：AB。
（多选）（2024春 西湖区校级期中）一根轻弹簧，劲度系数为k，下端固定在水平地面上，一个质量为m的小球（可视为质点），从距弹簧上端h处自由下落并压缩弹簧，如图所示。若以小球开始下落的点为x轴正方向起点，设小球从开始下落到压缩弹簧的最大位移为H，不计任何阻力且弹簧均处于弹性限度内，小球下落过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球接触弹簧后一直做减速运动
B．小球将弹簧压缩到最大位移处时，弹簧弹力大于2mg
C．若小球接触弹簧时立即与弹簧栓接，则小球能回到O点
D．若小球接触弹簧时立即与弹簧栓接，则弹簧振子的振幅大于
【解答】解：A、小球与弹簧接触前做自由落体运动，加速度：a＝g保持不变，速度：v＝gt均匀增加；
小球与弹簧接触后向下运动压缩弹簧，小球受到竖直向下的重力与弹簧竖直向上的弹力F＝kx作用，
开始弹簧弹力小于重力，小球向下做加速度运动，加速度：ag，加速度逐渐减小，
小球向下做加速度减小的加速运动，经过一段时间后弹簧弹力与重力相等，合力为零，此时速度达到最大，
然后弹簧弹力大于重力，小球所受合力向上，小球做减速运动，加速度：ag，加速度逐渐增大，
小球向下做加速度增大的减速运动，直到速度为零。
故A错误；
B.若小球从弹簧原长位置释放，则弹簧压缩到最短时，由简谐运动的对称性知，此时弹力为2mg，现从较高处落下，弹簧压缩更多，所以弹簧弹力大于2mg，故B正确；
C.若小球接触弹簧时立即与弹簧栓接，则小球达到最高点时，动能为0，但弹簧具有弹性势能，所以小球回不到O点，故C错误。
D.若小球从弹簧原长位置释放，则弹簧压缩到最短时，由简谐运动的对称性知，振幅为，现从较高处落下，弹簧压缩更多，振幅将大于，故D正确。
故选：BD。中小学教育资源及组卷应用平台
2.3简谐运动的回复力和能量
（1）会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
（2）认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
（3）会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？
根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0，然后，物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物体由于具有惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力使它再一次回到平衡位置。正是在这个力的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。我们把这样的力称为回复力（restoring force）。
考点一、回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
（2024 朝阳区校级模拟）对于一个在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法中正确的是（ ）
A．振子对平衡位置的位移增大，则其加速度减小
B．从任意时刻开始的四分之一周期时间内路程等于振幅
C．振子对平衡位置的位移的方向与速度的方向相反，则其速度的大小正在增大
D．从任意时刻开始的二分之一周期时间内合力的冲量为零
（2024春 龙凤区校级期末）做简谐运动的质点在通过平衡位置时（ ）
A．速度一定为零 B．振幅一定为零
C．合力一定为零 D．回复力一定为零
（2024春 台江区校级期中）如图所示，弹簧振子在竖直方向做简谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直方向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子的振幅为4cm
B．在0～4s内振子做了4次全振动
C．t＝1s时，振子受到的弹簧弹力大小为零
D．t＝1s时，振子的速度为正的最大值
（2024春 沙坪坝区校级期中）如图所示为一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．质点振动周期为0.4s
B．质点在0.8s内走过的路程为40cm
C．0至0.4s时间内，质点加速度始终沿x轴负方向
D．在0～0.2s时间内，速度方向与加速度方向相同
（2024 重庆模拟）如图甲所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端连接一质量为m物块，物块在竖直向下的压力F的作用下保持静止。t＝0时，撤去压力F，物块在竖直方向做简谐振动，取竖直向上为正方向，弹簧振子的振动图像如图甲、乙所示。弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，F＝2mg。以下说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的振幅为
B．弹簧振子的频率为2.5Hz
C．t＝0.2s时，物块的加速度最大
D．t＝0.4s到t＝0.6s的时间内，物块加速度和速度方向相同
考点二、简谐运动的能量
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
4．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
考点三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表．
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
（2024春 温州期末）如图为某物体做简谐运动的图像，则（ ）
A．0.6s时的速度与0.8s时的速度相同
B．0.6s时的回复力与0.8s时的回复力相同
C．0.5s时的势能小于0.6s时的势能
D．0.5s时的加速度小于0.6s时的加速度
（2024 海淀区校级模拟）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用手将小球下压至B点，由静止释放，一段时间后，小球会与弹簧脱离，已知C点为AB的中点，则（ ）
A．小球运动至C点时，所受重力与弹力大小相等
B．从B到A过程中，小球的动能一直在增大
C．从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．从B到C过程弹簧弹力对小球做功大于从C到A过程弹簧弹力对小球做功
（2024春 大理州期末）将质量为0.2kg的小球放在竖立的轻弹簧上（未拴接），并将小球竖直下按至图甲所示的位置A。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至图乙所示的最高位置C，途中经过位置B时弹簧恢复原长。已知A、B的高度差为0.1m，B、C的高度差为0.3m，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2。若取位置B所在水平面为零势能面，则（ ）
A．小球在位置A的重力势能为0.2J
B．小球在位置B的机械能为零
C．小球在位置A的机械能小于在位置C的机械能
D．小球在位置B的机械能小于在位置C的机械能
（多选）（2024春 丰台区期末）如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧E处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB的中点，则（ ）
A．从B到A过程中，小球的动能一直增加
B．从B到A过程中，小球的机械能一直增加
C．从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D．从B到C弹簧弹力对小球做的功大于从C到A弹簧弹力对小球做的功
（多选）（2024春 西城区期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端悬吊一个钢球，把钢球从平衡位置向下拉5cm，然后由静止释放。以钢球的平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立x轴，当钢球在振动过程中某一次经过平衡位置时开始计时，钢球运动的位移—时间图像如图2所示。已知钢球振动过程中弹簧始终处于拉伸状态，有关t1和t2两个时刻，下列说法正确的是（ ）
A．钢球的加速度大小相等
B．钢球受到的弹簧弹力大小相等
C．钢球的动能相等
D．钢球的机械能相等
（2024春 海淀区校级期末）用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向做简谐运动，振动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t＝1s时，振子的速度最大
B．t＝2s时，振子的加速度最大
C．1～2s内，振子的速度变大，加速度变小
D．1～2s内，振子的速度变大，加速度变大
（2024春 城中区校级期末）如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距30cm。从小球经过O点时开始计时，经过0.3s首次到达B点。取向左为正方向，下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期一定为1.2s
B．小球振动的振幅为0.3m
C．弹簧振子振动方程可能为x＝﹣0.15sin（5πt）m
D．0.6s末，小球不一定在平衡位置
（2024春 重庆期末）智能手机集成了很多传感器，结合相应APP可应用于物理实验。如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时，某段时间内，小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A．钩码做简谐运动的周期为（t3﹣t1）
B．在t1和t5时刻，钩码的重力势能最大
C．在t2和t4时刻，钩码的动能最大
D．在t2到t4时间内，钩码所受合外力的冲量为零
（2024 香坊区校级四模）一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点。以O点为坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，得到小球振动图像如图所示。下列结论正确的是（ ）
A．小球振动的频率是2Hz
B．t＝0.5s时，小球在A位置
C．t＝1s时，小球经过O点向右运动
D．小球的振动方程是x＝10sinπt（cm）
（2024 广东模拟）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为m，可视为质点的小球，将小球托起至O点，弹簧恰好处于原长，松手后小球在竖直方向做简谐运动，小球最远能到达B点，A点为OB的中点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球在O点时的机械能最小
B．小球经过A点时的加速度大小为g
C．小球在B点时受到的弹力大小为2mg
D．O、B两点间的距离为
（多选）（2024 青岛模拟）如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小物块，用手托着物块使弹簧处于原长，由静止释放物块，则物块沿竖直方向做简谐运动。取竖直向下为正方向，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度的大小为g。则物块（ ）
A．下落h时受到的回复力为F＝﹣kh
B．下落的最大距离为
C．下落到最低点时的加速度大小为g
D．运动过程弹簧的弹力始终做负功
（多选）（2024 通州区一模）如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin（10）cm．下列说法正确的是（ ）
A．MN间距离为5cm
B．振子的运动周期是0.2s
C．t＝0时，振子位于N点
D．t＝0.05s时，振子具有最大加速度
（多选）（2024 龙凤区校级模拟）图所示，一小球（可视为质点）在B、C（未画出）两点之间做简谐运动，BC＝10cm，BC的中点O为平衡位置（即位移为零的位置），取向右为正方向，质点的位移—时间关系式为x＝5cos（10πt）cm，则下列说法正确的是（ ）
A．t＝0.1s时，质点在B点
B．t＝0.12s时，质点正向右运动
C．t＝0.2s时，质点的加速度为0
D．0～0.1s内，质点的加速度方向与速度方向始终相同
（多选）（2024春 西湖区校级期中）一根轻弹簧，劲度系数为k，下端固定在水平地面上，一个质量为m的小球（可视为质点），从距弹簧上端h处自由下落并压缩弹簧，如图所示。若以小球开始下落的点为x轴正方向起点，设小球从开始下落到压缩弹簧的最大位移为H，不计任何阻力且弹簧均处于弹性限度内，小球下落过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球接触弹簧后一直做减速运动
B．小球将弹簧压缩到最大位移处时，弹簧弹力大于2mg
C．若小球接触弹簧时立即与弹簧栓接，则小球能回到O点
D．若小球接触弹簧时立即与弹簧栓接，则弹簧振子的振幅大于
