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2.5实验：用单摆测量重力加速度
（1）会依据单摆周期公式确定实验思路。
（2）能设计实验方案，会正确安装实验装置并进行实验操作。
（3）能正确使用刻度尺测量单摆的摆长，能正确使用停表测量单摆的振动周期。
（4）能正确处理数据，测出当地的重力加速度。
（5）能从多个角度进行实验误差分析。
一、实验原理
由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度．
二、实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺．
三、实验步骤
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋.
4．把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．
5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格．
四、数据处理
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1 g＝
2
3
2．图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g.
五、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球．
2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小．
3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间
（2024春 闽侯县期末）某同学利用如图甲所示的单摆测量当地的重力加速度。
（1）下列说法正确的是 （填字母）。
A.测摆长时，摆线应接好摆球，使摆球处于自然下垂状态
B.摆长等于摆线的长度加上摆球的直径
C.测单摆的周期时，应从摆球经过最高点速度为0时开始计时
D.如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球
（2）若用l表示单摆的摆长，T表示单摆振动周期，可求出当地重力加速度大小g＝ 。
（3）某同学为了提高实验精度，在实验中改变几次摆长l，并测出相应的周期T，算出T2的值，再以l为横轴、T2为纵轴建立直角坐标系，将所得数据描点连线如图乙所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝ （用k表示）。
【解答】解：（1）A.实际的摆线受力后会伸长一些，因此测摆长时，摆线应接好摆球，使摆球处于自然下垂状态再测量摆线的长度，故A正确；
B.摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，故B错误；
C.由于摆球在最低点的速度大，摆球停留时间短，测量时间的误差小，因此测单摆的周期时，应从摆球经过最低点速度最大时开始计时，故C错误；
D.为了减小空气阻力的影响，如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用铜球作摆球，故D错误。
故选：A。
（2）根据单摆周期公式
重力加速度
（3）根据单摆周期公式
变形得
结合T2﹣l图像斜率的含义，图像的斜率
解得重力加速度。
故答案为：（1）A；（2）；（3）。
（2024春 拉萨期末）某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度。轻绳一端系住直径为d的小球，另一端固定在铁架台上O点，已知O点到小球球心的距离为l，在O点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点时光电门能够记录下小球的遮光时间。实验时，将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为θ，由静止释放小球，小球摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度可近似为d，光电门记录小球的遮光时间为Δt，试回答以下问题：
（1）用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径d＝ mm；
（2）小球从释放位置运动至最低点时的速度为v＝ ；（用题中相关物理量的字母表示）
（3）多次改变θ的数值，重复以上实验过程并测量对应的Δt，得到随cosθ变化的关系如图丙所示，该图线斜率的绝对值为k，可计算得重力加速度g＝ 。（用k、l和d表示）
【解答】解：（1）由图示游标卡尺可知，其精确度为0.05mm，所以小球直径为
d＝8mm+0.05×2mm＝8.10mm
（2）小球从释放位置运动至最低点时的速度为
（3）由动能定理
可得
图丙中图线斜率的绝对值为k，则可得
可得
故答案为：（1）8.10；（2）；（3）。
（2024春 重庆期末）2024年4月24日，中国发布载人月球探测工程目标——2030年前实现中国人登陆月球。宇航员其任务之一是通过单摆测量出月球表面的重力加速度大小，若没有合适的摆球，就从地上找到了一块大小适中、外形不规则的小石块代替。目前实验舱中还有以下设备：刻度尺、轻细线（无弹性）、秒表和足够高的固定支架。宇航员设计了如下实验，以完成本次登月的这项任务。
实验步骤如下：
A.如图，用细线将石块系好，将细线的上端固定于O点；
B.将石块拉至一个大约5°的角度，然后由静止释放；
C.从石块摆到最低点开始计时，测出n次全振动的总时间t1；
（1）测得的单摆周期为 ；
（2）若细线OM长L，用OM的长作为摆长，则求出的月球表面的重力加速度大小为 ；求出的重力加速度的值比真实值 （选填“偏大”或“偏小”）。
（3）为了能更准确地测量出重力加速度，宇航员缩短细线长度，重复B、C步骤，得到n次全振动的总时间t2；若细线缩短的长度为ΔL（ΔL小于刻度尺量程），则重力加速度的表达式为 （用题中已知物理量表示）。
【解答】解：（1）单摆的振动周期
（2）根据单摆周期公式
联立上述（1）解得月球表面的重力加速度
由于单摆的真实摆长L真＝L+r＞L
因此月球表面重力加速度的真实值g真＞g月
即求出的重力加速度的值比真实值偏小；
（3）设结点M到重心的距离为r
单摆周期
根据单摆周期公式
联立解得
改变单摆摆长后，单摆的周期
根据单摆周期公式
联立解得
由于ΔL＝L﹣L′
解得月球表面的重力加速度。
故答案为：（1）；（2）；偏小；（3）。
误差分析与探究
探究一 细线测量的误差？
细线测量时将细线平放在桌面上还是穿上小球竖直悬挂？
探究二 摆长的变化的影响？
摆动过程中摆线长度变长，使测量的周期偏大。
探究三 摆球在水平面内做匀速圆周运动？
= mgtan = m = Lsin ＝cos
（2024春 龙马潭区期末）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
（1）下列最合理的装置是 。
（2）为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的是 。
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动
C．在摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
（3）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图1所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2﹣l图像如图2所示。
①该图像的斜率为 。
A．g
B．
C．
D．
②由此得出重力加速度的测量值为 m/s2。（π取3.14，计算结果保留三位有效数字）
【解答】解：（1）单摆为理想模型，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2）根据周期公式，可得重力加速度为；
A．测量摆长时，应该测量竖直拉直后的摆线长，故A错误；
B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动，故B正确；
C．单摆做简谐运动时，摆角不大于5°，因此摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，故C正确；
D．单摆摆球通过最低点时，摆球速度最大，停留时间短，相同的视觉距离误差引起的时间误差较小，因此测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，故D错误。
故选：BC。
（3）①由图可知，设M点到重心得距离为d，根据周期公式
可得
图像的斜率为
综上分析，故ABD错误，C正确。
故选：C。
②T2﹣l图像的斜率
结合T2﹣l函数，图像斜率
代入数据解得重力加速度的测量值为g≈9.86m/s2。
故答案为：（1）D；（2）BC；（3）①C；②9.86。
（2024春 徐汇区校级期末）实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
（1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度g＝ 。
（2）在这个实验中，应该选用 和 两组材料构成单摆。
A.长约1m的细线
B.长约1m的橡皮绳
C.直径约1cm的铁球
D.直径约1cm的塑料球
（3）王同学多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用测得的多组实验数据绘制T2﹣L图像，直线的斜率为k，如图乙所示，可求得重力加速度大小g＝ （用含k的式子表示）。
（4）（多选）张同学用公式法处理数据后，发现测得的重力加速度数值大于当地的实际值，造成这一情况的原因可能是 。
A.计算摆长时直接用摆线长度
B.计算摆长时用摆线长度加上小球直径
C.测量周期时，误将摆球n﹣1次全振动的时间记为n次全振动的时间
D.测量周期时，误将摆球n+1次全振动的时间记为n次全振动的时间
【解答】解：（1）根据单摆周期公式
重力加速度
（2）单摆作为理想化模型实验中要选择长约1m的摆线，为了减小空气阻力的影响实验中需要选择半径小、密度大的铁球，故AC正确，BD错误。
故选：AC。
（3）根据单摆周期公式
变形得
结合T2﹣L图像斜率的含义，图像斜率
重力加速度
（4）单摆的周期
根据单摆周期公式
重力加速度
A.计算摆长时直接用摆线长度作为摆长，根据重力加速度的表达式可知，测得的重力加速度的值小于当地的实际值，故A错误；
B.计算摆长时用摆线长度加上小球直径，根据重力加速度的表达式可知，测得的重力加速度的值大于当地的实际值，故B正确；
C.测量周期时，误将摆球n﹣1次全振动的时间记为n次全振动的时间，根据重力加速度的表达式可知，测得的重力加速度的值大于当地的实际值，故C正确；
D.测量周期时，误将摆球n+1次全振动的时间记为n次全振动的时间，根据重力加速度的表达式可知，测得的重力加速度的值小于当地的实际值，故D错误。
故选：BC。
故答案为：（1）；（2）A；C；（3）；（4）BC。
（2024春 红岗区校级期末）用如图所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为 （用字母l、d表示）；
（2）为了减小测量误差，下列说法正确的是 （选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（3）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 （选填字母代号）。
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
【解答】解：（1）在摆球目然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为L＝l
（2）A.将钢球换成塑料球，会增加阻力的影响从而增加误差，故A错误；
B.当摆球经过平衡位置时开始计时，可减小测定周期产生的误差，故B正确；
C.单摆的摆角要小于5°，否则就不是简谐振动了，则把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放，会增加实验误差，故C错误；
D.应该至少测量30次全振动的时间测量周期，用记录一次全振动的时间作为周期误差会较大，故D错误。
故选：B。
（3）根据T＝2π，可知g，若测得的重力加速度g值偏小，则
A.把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则L测量值偏大，则测得的g偏大，故A错误；
B.把摆线的长度记为摆长，则L测量值偏小，则测得的g偏小，故B正确；
C.摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则测得的g偏小，故C正确；
D.实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则周期测量值偏小，则测得的g偏大，故D错误；
故选：BC。
故答案为：（1）l；（2）B；（3）BC。
（2024春 朝阳区校级期末）单摆可作为研究简谐运动的理想模型，在“用单摆测定重力加速度”的实验中。
（1）如图1所示，若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系 ；用（1）中所给的已知量表示。
（2）测出的多组摆长l和周期T的值，作出T2﹣l图线如图2所示，并计算出图线的斜率为k，由斜率k求重力加速度的表达式g＝ ；
（3）如图3所示，甲同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2﹣L图象中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的T2﹣L图像为 。
A.虚线①，不平行实线OM
B.虚线②，平行实线OM
C.虚线③，平行实线OM
D.虚线④，不平行实线OM
【解答】解：（1）设摆长为L，根据单摆周期公式
则摆长为
设单摆做简谐运动的振幅为A，根据数学知识
以释放时刻作为计时起点，摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系
代入数据联立解得
（2）根据单摆周期公式
变形得
结合T2﹣l函数斜率的含义，图像斜率
解得重力加速度
（3）单摆的真实摆长
根据单摆周期公式
变形得
可见T2﹣L函数的斜率不变，图线平行于实线OM；图线的纵截距大于零，因此符合题目要求的图线为虚线②，故B正确，ACD错误。
故选：B。
故答案为：（1）；（2）；（3）B。
（2024春 海淀区校级期末）某同学用如图1所示的装置进行“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
（1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材 。
A.长度为10cm左右的细绳
B.长度为100cm左右的细绳
C.直径为1.8cm的钢球
D.直径为1.8cm的木球
E.最小刻度为1mm的米尺
F.最小刻度为1mm的学生用20cm直尺
（2）选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，在实验过程中以下操作正确的是 。
A.摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察
B.单摆摆动稳定后，在摆球每次经过最高点时开始计时和数全振动的次数
C.要努力控制单摆的摆动在同一个竖直面内，而不是做圆锥摆
D.测量单摆的周期时，应该测量多个全振动的总时间以减少误差，比如说开始计时的时候数N＝1，然后摆球每次通过最低点时累加计数数2、3、4………一直数到60时记录的总时间为t，则T。
（3）甲同学利用打算利用实验中测得数据直接代入公式求解本地的重力加速度，他在实中测得摆线长为L，摆球的直径为d，单摆完成N次全振动的时间为t，则他利用这些物理量可以推导出g的表达式g＝ 。
（4）北京和广州的两位同学，分别探究单摆的周期T与摆长l的关系，通过网络交流将两地的实验数据在同一张坐标纸上绘制了T2﹣l图像，如图2所示。其中用北京的同学所测实验数据绘制的图像是图线 。（选填“A”或“B”）
（5）北京的同学还绘制了不同摆长的单摆的振动图像，如图3所示。由图可知两单摆摆长之比la：lb为 。
（6）广州的同学误将悬点到小球上端的距离记为摆长l，其它实验步骤均正确，他用了上面第（4）问中的绘制T2﹣l图像的办法来求当地的重力加速度，则他测量的重力加速度大小 当地的重力加速度大小。（填“偏大”、“偏小”、“等于”）
【解答】解：（1）单摆作为理想化模型实验中要选择长约1m的摆线；为了减小空气阻力的影响实验中需要选择半径小、密度大的钢球；为了减小测量摆长的误差，要选择最小刻度为1mm的米尺，故BCE正确，AD错误。
故选：BCE。
（2）A.根据单摆模型，摆长一定的情况下，摆角不大于5°，故A错误；
B.单摆摆动稳定后，摆球在最低点的速度大，停留时间短，为了减小计时误差，在摆球每次经过最高低时开始计时和数全振动的次数，故B错误；
C.实验时要控制单摆在同一个竖直面内摆动，而不是做圆锥摆运动，故C正确；
D.测量单摆的周期时，应该测量多个全振动的总时间以减少误差，比如说开始计时的时候数N＝1，然后摆球每次通过最低点时累加计数数2、3、4………一直数到60时记录的总时间为t，则，故D错误。
故选：C。
（3）单摆的周期
根据单摆周期公式
重力加速度
（4）根据单摆周期公式
变形得
结合T2﹣l图像斜率的含义，图像斜率
由于北京的重力加速度大于广州的重力加速度，因此作出的T2﹣l图像中北京同学绘制的图像的斜率小，即用北京的同学所测实验数据绘制的图像是图线B；
（5）根据单摆周期公式
摆长
根据图3可知，a单摆周期Ta＝2s
b单摆的周期Tb＝3s
因此
（6）单摆的真实摆长
根据单摆周期公式
变形得
图像的斜率
由此可知，广州的同学误将悬点到小球上端的距离记为摆长l，图像的斜率不变，重力加速不变，
测量的重力加速度大小等于当地的重力加速度大小。
故答案为：（1）BCE；（2）C；（3）；（4）B；（5）4：9；（6）等于。
（2024春 番禺区期末）在探究单摆周期与摆长关系的实验中：
（1）用游标尺测得摆球的直径为d；
（2）将摆球拉离平衡位置一个较小角度（小于5°）静止释放，摆球在竖直平面内摆动。如图甲，在摆球运动的最低点左、右两侧分别放置一光敏电阻（光照增强时，其阻值变小）和一激光光源，光敏电阻与自动记录仪相连，记录仪显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙。
①Δt表示小球经过 （填“最低点”或“最高点”）的时间；
②若增加小球静止释放时的角度，则Δt （填“增加”或“减少”或“不变”）；
③图乙中t1、t1+t0、t1+2t0分别为对应各段Δt的时间中点，则该单摆周期为 ；
（3）实验中用米尺测得摆线长度为L，则当地重力加速度g＝ 。（用测得物理量的符号表示）
【解答】解：（2）①由乙图可知在Δt时间内光敏电阻的阻值最大，说明此时的光照强度减弱，即有小球挡住了激光射向光敏电阻的光，所以是在最低点的位置；
②若增加小球静止释放时的角度，根据机械能守恒定律mgL（1﹣cosθ）可知，小球经过最低点时的速度增大，则挡光时间变短，故Δt会减小；
③在一个周期内小球有两次经过最低点，所以单摆的周期为2t0；
（3）根据单摆周期公式T，其中T＝2t0，解得g。
故答案为：（2）①最低点；②减小；③2t0；（3）。
（2024春 天河区期末）某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置。
（1）下列最合理的装置是 。
（2）用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径d＝ mm。周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与 之和（用d表示）。
（3）实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T2﹣l图像如图乙，该图像的斜率为 （填“”“”或“”）。
【解答】解：（1）单摆作为一种理想化的模型，实验要求悬点固定，摆线质量不计、不可伸长，不计空气阻力，摆角不大于5°；
A.图A中，使用了弹性棉绳，不符合对摆线的要求，故A错误；
B.图B中，使用了塑料球，空气阻力不可忽略，故B错误；
C.图C中，悬点不固定、使用了弹性棉绳、使用了塑料球，不符合单摆的要求，故C错误；
D.图D中，悬点固定，使用弹性很小的丝线和阻力小的铁球，符合单摆的要求，故D正确。
故选：D。
（2）20分度的游标卡尺的精确度为0.05mm，摆球直径d＝21mm+5×0.05mm＝21.25mm；
单摆周期公式中的l为摆线长与摆球的直径的一半（即摆球半径）之和，因此为；
（3）根据单摆周期公式
变形得
因此T2﹣l图像的斜率。
故答案为：（1）D；（2）21.25；；（3）。中小学教育资源及组卷应用平台
2.5实验：用单摆测量重力加速度
（1）会依据单摆周期公式确定实验思路。
（2）能设计实验方案，会正确安装实验装置并进行实验操作。
（3）能正确使用刻度尺测量单摆的摆长，能正确使用停表测量单摆的振动周期。
（4）能正确处理数据，测出当地的重力加速度。
（5）能从多个角度进行实验误差分析。
一、实验原理
由T＝2π，得g＝，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度．
二、实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺．
三、实验步骤
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋.
4．把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．
5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格．
四、数据处理
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值．
设计如下所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1 g＝
2
3
2．图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g.
五、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球．
2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小．
3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间
（2024春 闽侯县期末）某同学利用如图甲所示的单摆测量当地的重力加速度。
（1）下列说法正确的是 （填字母）。
A.测摆长时，摆线应接好摆球，使摆球处于自然下垂状态
B.摆长等于摆线的长度加上摆球的直径
C.测单摆的周期时，应从摆球经过最高点速度为0时开始计时
D.如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球
（2）若用l表示单摆的摆长，T表示单摆振动周期，可求出当地重力加速度大小g＝ 。
（3）某同学为了提高实验精度，在实验中改变几次摆长l，并测出相应的周期T，算出T2的值，再以l为横轴、T2为纵轴建立直角坐标系，将所得数据描点连线如图乙所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝ （用k表示）。
（2024春 拉萨期末）某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度。轻绳一端系住直径为d的小球，另一端固定在铁架台上O点，已知O点到小球球心的距离为l，在O点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点时光电门能够记录下小球的遮光时间。实验时，将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为θ，由静止释放小球，小球摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度可近似为d，光电门记录小球的遮光时间为Δt，试回答以下问题：
（1）用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径d＝ mm；
（2）小球从释放位置运动至最低点时的速度为v＝ ；（用题中相关物理量的字母表示）
（3）多次改变θ的数值，重复以上实验过程并测量对应的Δt，得到随cosθ变化的关系如图丙所示，该图线斜率的绝对值为k，可计算得重力加速度g＝ 。（用k、l和d表示）
（2024春 重庆期末）2024年4月24日，中国发布载人月球探测工程目标——2030年前实现中国人登陆月球。宇航员其任务之一是通过单摆测量出月球表面的重力加速度大小，若没有合适的摆球，就从地上找到了一块大小适中、外形不规则的小石块代替。目前实验舱中还有以下设备：刻度尺、轻细线（无弹性）、秒表和足够高的固定支架。宇航员设计了如下实验，以完成本次登月的这项任务。
实验步骤如下：
A.如图，用细线将石块系好，将细线的上端固定于O点；
B.将石块拉至一个大约5°的角度，然后由静止释放；
C.从石块摆到最低点开始计时，测出n次全振动的总时间t1；
（1）测得的单摆周期为 ；
（2）若细线OM长L，用OM的长作为摆长，则求出的月球表面的重力加速度大小为 ；求出的重力加速度的值比真实值 （选填“偏大”或“偏小”）。
（3）为了能更准确地测量出重力加速度，宇航员缩短细线长度，重复B、C步骤，得到n次全振动的总时间t2；若细线缩短的长度为ΔL（ΔL小于刻度尺量程），则重力加速度的表达式为 （用题中已知物理量表示）。
误差分析与探究
探究一 细线测量的误差？
细线测量时将细线平放在桌面上还是穿上小球竖直悬挂？
探究二 摆长的变化的影响？
摆动过程中摆线长度变长，使测量的周期偏大。
探究三 摆球在水平面内做匀速圆周运动？
= mgtan = m = Lsin ＝cos
（2024春 龙马潭区期末）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
（1）下列最合理的装置是 。
（2）为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的是 。
A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动
C．在摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
（3）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图1所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2﹣l图像如图2所示。
①该图像的斜率为 。
A．g
B．
C．
D．
②由此得出重力加速度的测量值为 m/s2。（π取3.14，计算结果保留三位有效数字）
（2024春 徐汇区校级期末）实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
（1）用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度g＝ 。
（2）在这个实验中，应该选用 和 两组材料构成单摆。
A.长约1m的细线
B.长约1m的橡皮绳
C.直径约1cm的铁球
D.直径约1cm的塑料球
（3）王同学多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用测得的多组实验数据绘制T2﹣L图像，直线的斜率为k，如图乙所示，可求得重力加速度大小g＝ （用含k的式子表示）。
（4）（多选）张同学用公式法处理数据后，发现测得的重力加速度数值大于当地的实际值，造成这一情况的原因可能是 。
A.计算摆长时直接用摆线长度
B.计算摆长时用摆线长度加上小球直径
C.测量周期时，误将摆球n﹣1次全振动的时间记为n次全振动的时间
D.测量周期时，误将摆球n+1次全振动的时间记为n次全振动的时间
（2024春 红岗区校级期末）用如图所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
（1）在摆球自然悬垂的状态下，用米尺测出摆线长为l，用游标卡尺测得摆球的直径为d，则单摆摆长为 （用字母l、d表示）；
（2）为了减小测量误差，下列说法正确的是 （选填字母代号）；
A．将钢球换成塑料球
B．当摆球经过平衡位置时开始计时
C．把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D．记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
（3）若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是 （选填字母代号）。
A．把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B．把摆线的长度记为摆长
C．摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D．实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
（2024春 朝阳区校级期末）单摆可作为研究简谐运动的理想模型，在“用单摆测定重力加速度”的实验中。
（1）如图1所示，若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系 ；用（1）中所给的已知量表示。
（2）测出的多组摆长l和周期T的值，作出T2﹣l图线如图2所示，并计算出图线的斜率为k，由斜率k求重力加速度的表达式g＝ ；
（3）如图3所示，甲同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2﹣L图象中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的T2﹣L图像为 。
A.虚线①，不平行实线OM
B.虚线②，平行实线OM
C.虚线③，平行实线OM
D.虚线④，不平行实线OM
（2024春 海淀区校级期末）某同学用如图1所示的装置进行“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
（1）为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材 。
A.长度为10cm左右的细绳
B.长度为100cm左右的细绳
C.直径为1.8cm的钢球
D.直径为1.8cm的木球
E.最小刻度为1mm的米尺
F.最小刻度为1mm的学生用20cm直尺
（2）选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，在实验过程中以下操作正确的是 。
A.摆长一定的情况下，摆角应大一些，以便于观察
B.单摆摆动稳定后，在摆球每次经过最高点时开始计时和数全振动的次数
C.要努力控制单摆的摆动在同一个竖直面内，而不是做圆锥摆
D.测量单摆的周期时，应该测量多个全振动的总时间以减少误差，比如说开始计时的时候数N＝1，然后摆球每次通过最低点时累加计数数2、3、4………一直数到60时记录的总时间为t，则T。
（3）甲同学利用打算利用实验中测得数据直接代入公式求解本地的重力加速度，他在实中测得摆线长为L，摆球的直径为d，单摆完成N次全振动的时间为t，则他利用这些物理量可以推导出g的表达式g＝ 。
（4）北京和广州的两位同学，分别探究单摆的周期T与摆长l的关系，通过网络交流将两地的实验数据在同一张坐标纸上绘制了T2﹣l图像，如图2所示。其中用北京的同学所测实验数据绘制的图像是图线 。（选填“A”或“B”）
（5）北京的同学还绘制了不同摆长的单摆的振动图像，如图3所示。由图可知两单摆摆长之比la：lb为 。
（6）广州的同学误将悬点到小球上端的距离记为摆长l，其它实验步骤均正确，他用了上面第（4）问中的绘制T2﹣l图像的办法来求当地的重力加速度，则他测量的重力加速度大小 当地的重力加速度大小。（填“偏大”、“偏小”、“等于”）
（2024春 番禺区期末）在探究单摆周期与摆长关系的实验中：
（1）用游标尺测得摆球的直径为d；
（2）将摆球拉离平衡位置一个较小角度（小于5°）静止释放，摆球在竖直平面内摆动。如图甲，在摆球运动的最低点左、右两侧分别放置一光敏电阻（光照增强时，其阻值变小）和一激光光源，光敏电阻与自动记录仪相连，记录仪显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙。
①Δt表示小球经过 （填“最低点”或“最高点”）的时间；
②若增加小球静止释放时的角度，则Δt （填“增加”或“减少”或“不变”）；
③图乙中t1、t1+t0、t1+2t0分别为对应各段Δt的时间中点，则该单摆周期为 ；
（3）实验中用米尺测得摆线长度为L，则当地重力加速度g＝ 。（用测得物理量的符号表示）
（2024春 天河区期末）某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置。
（1）下列最合理的装置是 。
（2）用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径d＝ mm。周期公式中的l是单摆的摆长，其值等于摆线长与 之和（用d表示）。
（3）实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T2﹣l图像如图乙，该图像的斜率为 （填“”“”或“”）。
