北师大版数学八年级上册《第三章 位置与坐标》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·六盘水期中）如图，小明从点出发，先向西走，再向南走到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵先向西走，再向南走到达点，点的位置用表示，
∴表示的位置是点D，
故答案为：D.
【分析】根据“先向西走，再向南走到达点，点的位置用表示”可直接求出表示的位置是点D，从而得解.
2．周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，如图是他俩在微信中的一段对话：
根据上面两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ）
A．向北直走700米，再向西直走300米
B．向北直走300米，再向西直走700米
C．向北直走500米，再向西直走200米
D．向南直走500米，再向西直走200米
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系如图所示，
小文能从M超市走到游乐园门口的路线是：向北直走700米，再向西直走300米．
故选A．
【分析】建立平面直角坐标系，先根据小文的第二句话确定出M超市的位置，然后确定出游乐园的位置，再根据图形解答即可．
3．（2023八上·西安期中）已知点，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点A为“和谐点”.若点是“和谐点”，则点B在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点是“和谐点”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B在第一象限，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查了新定义，判断点所在的象限，根据新定义得到，解方程求出，进而得到，由此可得答案．
4．（2024八上·桐乡市期末）已知点在第四象限，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点在第四象限，
∴
∴
∴点p坐标为：，
故答案为：C.
【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求解.
5．（2021八上·天桥期末）已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B的坐标为（ ）
A．（5，2）或（4，2） B．（6，2）或（-4，2）
C．（6，2）或（－5，2） D．（1，7）或（1，－3）
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为(1，2)，
∴点B的纵坐标为2，
∵AB=5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1-5=-4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6，
∴点B的坐标为(-4，2)或(6，2)．
故答案为：B．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，求出点B的纵坐标，分点B在点A的左边时，点B在点A的右边时，两种情况解答即可。
6．（2023八上·吉安期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
……，
由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环，
∵，
∴经过第2025次运动后，动点的坐标是．
故答案为：B.
【分析】根据探索点的坐标规律的方法求解．根据题意可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是三个数一循环，据此求解．
7．（2021八上·河源月考）若点与关于轴对称，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与关于轴对称，
∴，，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求解即可。
8．（2024八上·南明期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：，，，，，，，个点为一个循环，
，
的坐标是，
故选：．
【分析】根据图形可知6个点为一个循环，求出前6个点的坐标， 再计算即可.
9．（2023八上·江夏期中）已知点与点关于x轴对称，在中，边，的垂直平分线分别交于点M，G（如图），连，．若．则的周长为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，
解得：
∴
∵边，的垂直平分线分别交于点M，G，
∴
∴的周长为：.
故答案为：D.
【分析】先根据关于x轴对称对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m和n的值，即可求出BC的长度，再根据垂直平分线的性质得到：进而即可求解.
10．（2023八上·西安期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】 解： 由题意可得开始进入循环，所以 点的坐标是 （4，1）.
【分析】由题意写出点碰撞后的坐标发现循环一次碰撞6次，即可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022八上·安吉期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值是 .
【答案】－3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：-3.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，则m+3=0，求解可得m的值.
12．（2024八上·舟山期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次为，，，，…，则顶点的坐标是 ．
【答案】（506，-506）
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵
∴，
故答案为：（506，-506）.
，【分析】根据正方形的性质及题意找出A1、A2、A3、A4、A5、A6……的坐标，再观察就会得到规律：，根据每一个正方形有4个顶点，可知4个为一个循环组依次循环，从而用根据进而即可求解.
13．（2021八上·梁河月考）在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且该点到 轴与到 轴的距离相等，则 点坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点 在第二象限，且该点到x、y轴的距离相等，
∴ ，
解得： ．
则 ， ，
故 点坐标为： ．
故答案为： ．
【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，在列出方程求解即可。
14．（2023八上·兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：解：由折叠性质得：AB＝AB'，
∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝5＝AB'，
∴点B'的坐标为：（2，0），
设C点坐标为（0，b），
则B'C＝BC＝4﹣b，
在Rt△B'OC中，根据勾股定理：
∵B'C2＝B'O2+OC2，
∴（4﹣b）2＝22+b2，
∴b＝，
∴C（0，），
故答案为：（0，）
【分析】设C点坐标为（0，b），根据折叠性质和勾股定理建立关于b的方程，求出b即可.
15．（2023八上·南宁期中） 如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2023次变换后所得的A点坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴经过第2023次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（-a，b），
故答案为：（-a，b）．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
16．（2022八上·余杭月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m对称，直线m与x轴交点为(1，0)，点C的坐标为(4，1)，则点B的坐标为 .
【答案】(－2，1)
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图
∵ △ABC关于直线m对称 ，
∴CE=BE即点E是BC的中点，
∵ 直线m与x轴交点为(1，0)， 点C（4，1）
∴点E（1，1），
∴点B（-2，1）
故答案为：（-2，1）
【分析】利用轴对称的性质可证得CE=BE即点E是BC的中点，利用点的坐标可得到点E的坐标，由此可得到点B的坐标.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·苍溪期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上.
（1）
在直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）
若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为 ；
（3）
如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .
【答案】（1）解：如图所示：△A'B'C'即为所求，A'（1，-1），B'（4，-1），C'（5，-3）；
（2）（-5，3）
（3）（0，3）或（5，-1）或（0，-1）
【知识点】三角形全等的判定；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）∵点P与点C关于y轴对称，C（5，3），
∴点P的坐标为（-5，3）；
故答案为：（-5，3）；
（3）要使△ABD与△ABC全等，则点D的坐标是（0，3）或（5，-1）或（0，-1）.
故答案为：（0，3）或（5，-1）或（0，-1）.
【分析】（1）根据轴对称的性质及方格纸的特点分别作出点A、B、C三点关于x轴对称的点 A'，B'，C' ，再顺次连接即可，进而根据点 A'，B'，C' 的位置读出其坐标即可；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质“横坐标互为相反数，纵坐标不变”得出答案；
（3）结合网格利用全等三角形的判定与性质得出D点坐标．
18．已知点P(2x- 6，3x+1)，求下列情形下点P的坐标．
（1）点P在y轴上．
（2）点P到y轴的距离为6．
（3）点P在过点A(2，-4)且与y轴平行的直线上．
【答案】（1）解：点，且点在轴上，
∴x=3，
∴点P的坐标为（0，10）；
（2）解：点到轴的距离为6，
或-6，
或，
点的坐标为或.
（3）解：点在过点且与轴平行的直线上，
，
，
点的坐标为.
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征“横坐标为0”，列出方程可求出x的值，从而此题得解；
（2） 点P到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，可列方程，解出x的值，即可得解；
（3）根据平行于y轴直线上所有点的横坐标相等，可列方程，求解得出x的值，进而求出点P坐标.
19．（2023八上·蜀山期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．
备用图
（1）已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 ．
（2）若，两点为“等距点”，且两点纵坐标异号，求的值．
【答案】（1）、
（2）解：，两点为“等距点”，
①时，则或，．解得（舍去）或．
②若时，则解得：
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
管：的值是1或2．
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：根据等距点的定义，可知A（-3，1）到x，y轴的距离中的最大值是3，
而点E（0，3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点F（3，-3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点G（2，-5）到x，y轴的距离中的最大值是5，则E（0，3），F（3，-3）是点A的“等距点”；
【分析】本题考查新运算及一次方程的解。理解定义，得出等式是关键。
（1）根据等距点的定义，求出各点到x，y轴的距离中的最大值，可得点A的等距点；
（2）根据等距点的定义，可得①，得k=-7（舍去）或k=1．②时，则得：k=2，则k的值是1或2．
20．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图：
A1B 1即为所求做的线段；
（2）解：
（3）解：如图，
作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q的位置.
．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 （1）利用方格纸的特点找到A、B关于直线l对称点A1，B1的位置，连接即可；
（2）观察A和A1，B和B1的坐标变化，即可得出平面内关于直线l对称的两个点的坐标特点；
（3）找到C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q，读出Q坐标即可.
21．（2022八上·埇桥期中）已知当、都是实数，且满足，则称点为“智慧点”．
（1）判断点是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点是“智慧点”．请判断点在第几象限？并说明理由．
【答案】（1）解：点P不是“智慧点”
理由：由题意得：
∴
∴，
∴
∴点不是“智慧点”．
（2）解：点M在第四象限．
理由：∵点M（，）是“智慧点”
∴
∴
∵
∴
解得
∴点
∴点M在第四象限 ．
【知识点】定义新运算；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得，求出，再根据，即可得到点不是“智慧点”；
（2）根据“智慧点”的定义可得，求出，再结合，求出，可得点M的坐标，再利用点坐标与象限的关系可得答案。
22．（2022八上·德清期末）如图所示的象棋棋盘上，若帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0）上.
（1）请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系；
（2）炮所在点的坐标是 ，马与帅的距离是 ；
（3）若要把炮移动到与它关于y轴对称的点的位置，则移动后炮的位置是 （用坐标表示）.
【答案】（1）解：根据帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0），坐标系如图：
（2）（-2，2）；2
（3）（2，2）
【知识点】用坐标表示地理位置；关于坐标轴对称的点的坐标特征；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（2）炮位于点 （-2，2），马与帅的距离是2，
故答案为：（-2，2）；2；
（3）炮移动到关于y轴对称的位置应该为马的右侧一个单位，则移动后炮的位置是（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）将帅表示的点向左移动一个单位长度，所得的点为原点建立直角坐标系；
（2）根据炮所在的位置可得相应的坐标，根据马与帅的位置可得它们之间的距离；
（3）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答.
23．（2023八上·六安期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点.例如：，，则点是点和的衍生点.已知点，点，点是点和的衍生点.
（1）若点，则点的坐标为
（2）请直接写出点的坐标（用表示）；
（3）若直线交轴于点，当时，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点，，
根据衍生点的定义可得：x=，y=，
∴点T的坐标为（）；
故答案为：（）；
（2）点，，
根据衍生点的定义可得：，y=，
∴点T的坐标为：；
故答案为：；
（3）
∵，
∴点E和点T的横坐标相同，
∴，
∴，
∴m+2=，
∴点E的坐标为
故答案为：
【分析】(1)根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（2）根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（3）首先根据得出点E和点T的横坐标相同，即可得出等式，解得，进一步即可得出点E的坐标。
24．（2021八上·盂县期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，
（1）积累经验：
请写出证明过程；
（2）类比应用：
如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．
（3）拓展提升：
如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴；
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
又∵点C的坐标(1，0)，
∴，
∴，即点B到x轴的距离是1；
（3）解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)，
∴，，
设B点坐标为(a，b)，
则a=4－1=3，b=2+2=4，
∴点B的坐标为(3，4)．
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ≌， 最后求解即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
1 / 1北师大版数学八年级上册《第三章 位置与坐标》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·六盘水期中）如图，小明从点出发，先向西走，再向南走到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．周末，小明与小文相约一起到游乐园去游玩，如图是他俩在微信中的一段对话：
根据上面两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（ ）
A．向北直走700米，再向西直走300米
B．向北直走300米，再向西直走700米
C．向北直走500米，再向西直走200米
D．向南直走500米，再向西直走200米
3．（2023八上·西安期中）已知点，其中a，b均为实数，若a，b满足，则称点A为“和谐点”.若点是“和谐点”，则点B在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024八上·桐乡市期末）已知点在第四象限，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·天桥期末）已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B的坐标为（ ）
A．（5，2）或（4，2） B．（6，2）或（-4，2）
C．（6，2）或（－5，2） D．（1，7）或（1，－3）
6．（2023八上·吉安期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2021八上·河源月考）若点与关于轴对称，则（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024八上·南明期末）在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·江夏期中）已知点与点关于x轴对称，在中，边，的垂直平分线分别交于点M，G（如图），连，．若．则的周长为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
10．（2023八上·西安期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022八上·安吉期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值是 .
12．（2024八上·舟山期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次为，，，，…，则顶点的坐标是 ．
13．（2021八上·梁河月考）在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且该点到 轴与到 轴的距离相等，则 点坐标为 ．
14．（2023八上·兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ．
15．（2023八上·南宁期中） 如图，在平面直角坐标系中．对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2023次变换后所得的A点坐标是 ．
16．（2022八上·余杭月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m对称，直线m与x轴交点为(1，0)，点C的坐标为(4，1)，则点B的坐标为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·苍溪期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上.
（1）
在直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）
若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为 ；
（3）
如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .
18．已知点P(2x- 6，3x+1)，求下列情形下点P的坐标．
（1）点P在y轴上．
（2）点P到y轴的距离为6．
（3）点P在过点A(2，-4)且与y轴平行的直线上．
19．（2023八上·蜀山期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．
备用图
（1）已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 ．
（2）若，两点为“等距点”，且两点纵坐标异号，求的值．
20．（2024八上·嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）操作：连结线段，作出线段关于直线l的轴对称图形．
（2）发现：请写出坐标平面内任一点关于直线l的对称点的坐标．
（3）应用：请在直线l上找一点Q，使得最小，并写出点Q的坐标．
21．（2022八上·埇桥期中）已知当、都是实数，且满足，则称点为“智慧点”．
（1）判断点是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点是“智慧点”．请判断点在第几象限？并说明理由．
22．（2022八上·德清期末）如图所示的象棋棋盘上，若帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0）上.
（1）请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系；
（2）炮所在点的坐标是 ，马与帅的距离是 ；
（3）若要把炮移动到与它关于y轴对称的点的位置，则移动后炮的位置是 （用坐标表示）.
23．（2023八上·六安期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点和的衍生点.例如：，，则点是点和的衍生点.已知点，点，点是点和的衍生点.
（1）若点，则点的坐标为
（2）请直接写出点的坐标（用表示）；
（3）若直线交轴于点，当时，求点的坐标.
24．（2021八上·盂县期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，
（1）积累经验：
请写出证明过程；
（2）类比应用：
如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离．
（3）拓展提升：
如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵先向西走，再向南走到达点，点的位置用表示，
∴表示的位置是点D，
故答案为：D.
【分析】根据“先向西走，再向南走到达点，点的位置用表示”可直接求出表示的位置是点D，从而得解.
2．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系如图所示，
小文能从M超市走到游乐园门口的路线是：向北直走700米，再向西直走300米．
故选A．
【分析】建立平面直角坐标系，先根据小文的第二句话确定出M超市的位置，然后确定出游乐园的位置，再根据图形解答即可．
3．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点是“和谐点”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B在第一象限，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查了新定义，判断点所在的象限，根据新定义得到，解方程求出，进而得到，由此可得答案．
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点在第四象限，
∴
∴
∴点p坐标为：，
故答案为：C.
【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求解.
5．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为(1，2)，
∴点B的纵坐标为2，
∵AB=5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1-5=-4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6，
∴点B的坐标为(-4，2)或(6，2)．
故答案为：B．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，求出点B的纵坐标，分点B在点A的左边时，点B在点A的右边时，两种情况解答即可。
6．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
……，
由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环，
∵，
∴经过第2025次运动后，动点的坐标是．
故答案为：B.
【分析】根据探索点的坐标规律的方法求解．根据题意可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是三个数一循环，据此求解．
7．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与关于轴对称，
∴，，
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求解即可。
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：，，，，，，，个点为一个循环，
，
的坐标是，
故选：．
【分析】根据图形可知6个点为一个循环，求出前6个点的坐标， 再计算即可.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，
解得：
∴
∵边，的垂直平分线分别交于点M，G，
∴
∴的周长为：.
故答案为：D.
【分析】先根据关于x轴对称对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m和n的值，即可求出BC的长度，再根据垂直平分线的性质得到：进而即可求解.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】 解： 由题意可得开始进入循环，所以 点的坐标是 （4，1）.
【分析】由题意写出点碰撞后的坐标发现循环一次碰撞6次，即可求解.
11．【答案】－3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：-3.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，则m+3=0，求解可得m的值.
12．【答案】（506，-506）
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵
∴，
故答案为：（506，-506）.
，【分析】根据正方形的性质及题意找出A1、A2、A3、A4、A5、A6……的坐标，再观察就会得到规律：，根据每一个正方形有4个顶点，可知4个为一个循环组依次循环，从而用根据进而即可求解.
13．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点 在第二象限，且该点到x、y轴的距离相等，
∴ ，
解得： ．
则 ， ，
故 点坐标为： ．
故答案为： ．
【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，在列出方程求解即可。
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：解：由折叠性质得：AB＝AB'，
∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝5＝AB'，
∴点B'的坐标为：（2，0），
设C点坐标为（0，b），
则B'C＝BC＝4﹣b，
在Rt△B'OC中，根据勾股定理：
∵B'C2＝B'O2+OC2，
∴（4﹣b）2＝22+b2，
∴b＝，
∴C（0，），
故答案为：（0，）
【分析】设C点坐标为（0，b），根据折叠性质和勾股定理建立关于b的方程，求出b即可.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝505……3，
∴经过第2023次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（-a，b），
故答案为：（-a，b）．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2023除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
16．【答案】(－2，1)
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图
∵ △ABC关于直线m对称 ，
∴CE=BE即点E是BC的中点，
∵ 直线m与x轴交点为(1，0)， 点C（4，1）
∴点E（1，1），
∴点B（-2，1）
故答案为：（-2，1）
【分析】利用轴对称的性质可证得CE=BE即点E是BC的中点，利用点的坐标可得到点E的坐标，由此可得到点B的坐标.
17．【答案】（1）解：如图所示：△A'B'C'即为所求，A'（1，-1），B'（4，-1），C'（5，-3）；
（2）（-5，3）
（3）（0，3）或（5，-1）或（0，-1）
【知识点】三角形全等的判定；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）∵点P与点C关于y轴对称，C（5，3），
∴点P的坐标为（-5，3）；
故答案为：（-5，3）；
（3）要使△ABD与△ABC全等，则点D的坐标是（0，3）或（5，-1）或（0，-1）.
故答案为：（0，3）或（5，-1）或（0，-1）.
【分析】（1）根据轴对称的性质及方格纸的特点分别作出点A、B、C三点关于x轴对称的点 A'，B'，C' ，再顺次连接即可，进而根据点 A'，B'，C' 的位置读出其坐标即可；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质“横坐标互为相反数，纵坐标不变”得出答案；
（3）结合网格利用全等三角形的判定与性质得出D点坐标．
18．【答案】（1）解：点，且点在轴上，
∴x=3，
∴点P的坐标为（0，10）；
（2）解：点到轴的距离为6，
或-6，
或，
点的坐标为或.
（3）解：点在过点且与轴平行的直线上，
，
，
点的坐标为.
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征“横坐标为0”，列出方程可求出x的值，从而此题得解；
（2） 点P到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，可列方程，解出x的值，即可得解；
（3）根据平行于y轴直线上所有点的横坐标相等，可列方程，求解得出x的值，进而求出点P坐标.
19．【答案】（1）、
（2）解：，两点为“等距点”，
①时，则或，．解得（舍去）或．
②若时，则解得：
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
管：的值是1或2．
【知识点】解一元一次方程；点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：根据等距点的定义，可知A（-3，1）到x，y轴的距离中的最大值是3，
而点E（0，3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点F（3，-3）到x，y轴的距离中的最大值是3，点G（2，-5）到x，y轴的距离中的最大值是5，则E（0，3），F（3，-3）是点A的“等距点”；
【分析】本题考查新运算及一次方程的解。理解定义，得出等式是关键。
（1）根据等距点的定义，求出各点到x，y轴的距离中的最大值，可得点A的等距点；
（2）根据等距点的定义，可得①，得k=-7（舍去）或k=1．②时，则得：k=2，则k的值是1或2．
20．【答案】（1）解：如图：
A1B 1即为所求做的线段；
（2）解：
（3）解：如图，
作点C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q的位置.
．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 （1）利用方格纸的特点找到A、B关于直线l对称点A1，B1的位置，连接即可；
（2）观察A和A1，B和B1的坐标变化，即可得出平面内关于直线l对称的两个点的坐标特点；
（3）找到C关于直线l的对称点C1，连接AC1，与l的交点即Q，读出Q坐标即可.
21．【答案】（1）解：点P不是“智慧点”
理由：由题意得：
∴
∴，
∴
∴点不是“智慧点”．
（2）解：点M在第四象限．
理由：∵点M（，）是“智慧点”
∴
∴
∵
∴
解得
∴点
∴点M在第四象限 ．
【知识点】定义新运算；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得，求出，再根据，即可得到点不是“智慧点”；
（2）根据“智慧点”的定义可得，求出，再结合，求出，可得点M的坐标，再利用点坐标与象限的关系可得答案。
22．【答案】（1）解：根据帅位于点（1，0）上，相位于点（3，0），坐标系如图：
（2）（-2，2）；2
（3）（2，2）
【知识点】用坐标表示地理位置；关于坐标轴对称的点的坐标特征；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（2）炮位于点 （-2，2），马与帅的距离是2，
故答案为：（-2，2）；2；
（3）炮移动到关于y轴对称的位置应该为马的右侧一个单位，则移动后炮的位置是（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）将帅表示的点向左移动一个单位长度，所得的点为原点建立直角坐标系；
（2）根据炮所在的位置可得相应的坐标，根据马与帅的位置可得它们之间的距离；
（3）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答.
23．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点，，
根据衍生点的定义可得：x=，y=，
∴点T的坐标为（）；
故答案为：（）；
（2）点，，
根据衍生点的定义可得：，y=，
∴点T的坐标为：；
故答案为：；
（3）
∵，
∴点E和点T的横坐标相同，
∴，
∴，
∴m+2=，
∴点E的坐标为
故答案为：
【分析】(1)根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（2）根据衍生点的定义进行计算即可得出点T的坐标；
（3）首先根据得出点E和点T的横坐标相同，即可得出等式，解得，进一步即可得出点E的坐标。
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴；
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
又∵点C的坐标(1，0)，
∴，
∴，即点B到x轴的距离是1；
（3）解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴，
又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)，
∴，，
设B点坐标为(a，b)，
则a=4－1=3，b=2+2=4，
∴点B的坐标为(3，4)．
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ≌， 最后求解即可；
（3）先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
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