北师大版数学八年级上册《第四章 一次函数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·安徽期中）下列图象不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·盐湖月考）某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·章丘期中）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0
4．（2019八上·龙岗期末）一次函数 满足 ，且y随x的增大而减小，则此函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2020八上·邛崃期末）如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·文山期末）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·成都期末）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点
C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限
8．（2015八上·南山期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t= 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024八上·滨江期末）已知，，是直线为常数）上的三个点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
10．（2024八上·龙泉驿期末）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是（0，2）
C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D．点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·东坡月考） 如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．则直线的解析式为 ．
12．（2017八上·东台期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ．
13．（2024九下·宁江开学考）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ．
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 .
15．（2022七下·杜尔伯特期中）如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 千米．
16．（2018九上·大洼月考）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点An的坐标为
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·江宁月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣3，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
18．（2023八下·官渡期末）【学习材料】
求直线向右平移个单位长度后的解析式． 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度得到点和，则直线就是直线向右平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入得到：解得，所以直线的解析式为：．
（1）【类比思考】
若将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式为 ；
若先将直线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线，则直线的解析式为 ．
（2）【拓展应用】
已知一次函数的图象与直线关于轴对称，求一次函数的解析式；
若一次函数的图象绕点逆时针旋转后得到直线，则直线的解析式为 ▲ ．
19．（2017八上·江都期末）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标.
20．（2023·德惠模拟）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟：6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．
（1） ；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有多远？
21．（2019·嘉善模拟）（阅读材料）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是
如：求点P（1，2）到直线y＝﹣ x+1的距离d
解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3
所以
（解决问题）已知直线l1的解析式是y＝- x+1
（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是 ；
（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是 ，请求出直线l2的解析式.
22．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
23．（2023八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）求直线的表达式；
（3）若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标.
24．（2023八上·开江期末）如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOC＝10．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、∵对于每一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，∴A是函数图象，不符合题意；
B、∵对于每一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，∴B是函数图象，不符合题意；
C、∵对于自变量x的值，出现了两个函数值y与其对应，∴C不是函数图象，符合题意；
D、∵对于每一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，∴D是函数图象，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义及函数图象的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】探索图形规律；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：1节链条的长度为2.5cm；
2节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）]cm；
3节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）×2]cm；
……
n节链条的总长度为：y=[2.5+（2.5-0.8)(n-1)]=1.7n+0.8，
即 与的关系式是y=1.7n+0.8，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出1节链条的长度，2节链条的总长度和3节链条的总长度，再找出规律，计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，
∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，
解得：k＝0．
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的定义可得|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，求出k的值即可。
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x的增大而减小
∴k＜0
∵kb＜0
∴b＞0
∴函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限。
故答案为：C.
【分析】根据一次函数增减性即可得到k＜0，根据kb＜0，即可得到b＞0，判断得到一次函数的所在的象限即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限；同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限，同负时，y＝mx+n过二、三、四象限；
②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，y＝mx+n过一、二、四象限；
故答案为：C．
【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断．
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵ 直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴-k>0，
∴函数y＝bx﹣k的图象应该经过一、二、三象限，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】k=-2<0，
y随x的增大而减小，故A说法正确，符合题意；
令y=0得，解得x=2，
图象与轴交于点，故B说法错误，不符合题意；
将点x=1代入得故点不在一次函数图象上，C说法错误，不符合题意；
由一次函数可得该图象经过第一、二、四象限，故D说法错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的性质、图象与系数的关系进行逐一判断即可求解.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得 ，解得 ，
∴y乙=100t﹣100，
令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
当100﹣40t=50时，可解得t= ，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t= ，
又当t= 时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t= 时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为 或 或 或t= 时，两车相距50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个，
故选B．
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵-5＜0，
∴函数为减函数，
又 -1.2＜-0.5＜2.9，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据一次函数性质，y=ax+b，当a＞0，函数为增函数，当a＜0，函数为减函数，比较自变量的大小即可得出函数y的大小.
10．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】A、一次函数的图像不经过第四象限，故A错误；
B、令y=0解得x=， 图象与x轴的交点是（，0） ，故B错误；
C、 将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故C正确；
D、 因为k>0，所以y随x的增大而增大，若x1＜x2，则y1故答案为：C.
【分析】因为k>0，b>0，可知一次函数经过第一、二、三象限，且y随x的增大而增大，可知A、B、D错误；根据图像平移上加下减可知C正确。
11．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：对于直线，令，则，
解得：，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴．
由折叠可知，，，
∴．
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴点，
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
故答案为：．
【分析】利用解析式可求出点A和点B的坐标，根据勾股定理可求出AB的长．设OC=CD=x，根据折叠的性质，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，得到点C的坐标，最后用待定系数法求解即可．
12．【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；
又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）．
综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．
【分析】分四种情况考虑：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此时P的坐标；如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时P坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时P坐标，综上，得到所有满足题意P的坐标．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】
解：如图所示，过点C作CD⊥OB于D，交AB于C'
∵ 直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点
∴ A（-2，0）B（0，4）
∴ OB=4，OA=2
∵ 三角形OBC为等边三角形CD⊥OB
∴ OD=BD=OB=2，C'D=AO=1
∴ C'（-1，2）
【分析】本题考查一次函数与x轴的交点坐标，等边三角形的性质“三线合一”，三角形的中位线等知识，由y=2x+4得A，B坐标，可得OB，OA长，由等边三角形OBC“三线合一”得OD，由中位线得C'D长。
14．【答案】2
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，
∵线段AB所在直线的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴AO=BO=4，
∴AB，OM相互垂直平分，
∴四边形AOBM是正方形，
∴点M(4，4)，
∵点C(0，2)，
∴P0+PC的最小值为CM，
∴CM=.
故答案为：.
【分析】作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，PO+PC的最小值为CM，分别求出点A，B的坐标，证明四边形AOBM是正方形，即可求出点M的坐标，即可求出CM的长度，也就是PO+PC的最小值.
15．【答案】1.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】由题，图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，设（t>0），因为AC过(0，0)，(2，4) 所以代入函数得：k=2，b=0，所以；因为BD过(2，4)， (0，3)所以代入函数得： ，b=3，所以．当时，，，所以．
故答案为：1.5
【分析】先利用待定系数法求出和，再将t=3分别代入解析式可得，，最后求出即可。
16．【答案】（2n﹣1，0）
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（1，），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2==2，点A2的坐标为（2，0），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），
此类推便可求出点An的坐标为（2n﹣1，0）．
故答案为：（2n﹣1，0）．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，在根据B1点的坐标求出A2点的坐标，以此类推总结规律便可求出点An的坐标．
17．【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）与点B（0，4）代入得：，
解得：，
此一次函数的表达式为：y＝x+4；
（2）解：∵点A（﹣3，0），点B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
当PA＝AB时，P的坐标为（﹣8，0）或（2，0）；
当PB＝AB时，P的坐标为（3，0）；
当PA＝PB时，设P为（m，0），则（m+3）2＝m2+42，
解得m＝，
∴P的坐标为（，0）；
综上，P点的坐标为（﹣8，0）或（2，0）或（3，0）或（，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据待定系数法解一次函数，将点A和B的坐标代入一次函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出一次函数的表达式；
（2）根据勾股定理求出AB的值；根据等腰三角形的两腰相等，分类讨论，列一元二次方程，即可求出点P的坐标.
18．【答案】（1）；
（2）解：①设直线上的点的坐标为，它们对应的关于轴对称点的坐标为，
直线关于轴对称的直线为，即；②
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）【类比思考】
根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线上任意取两点和；
第二步，将点和向左平移个单位长度，得到点和，则直线就是直线向左平移个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线的解析式为：，将和代入，
得到，解得．
直线的解析式为．
故答案为：．
根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线上任意取两点和；
第二步，将点和向右平移个单位长度，得到点和；再将点和向下平移个单位长度，得到点和，则直线就是所要求的直线．
第三步，设直线的解析式为，将和代入，
得到，解得．
直线的解析式为．
故答案为：．
（2）【拓展应用】设直线的解析式为．
的图象绕点逆时针旋转后得到直线，
点在直线上．
将代入，
得．
当时，，
与轴交点坐标为．
由几何关系，利用勾股定理，
得，解得．
．
．
故答案为：．
【分析】【类比思考】题目根据题意，按照【学习材料】中给定的解题方法求解即可；
【拓展应用】已知一次函数的图象与直线关于x轴对称，则直线上的点关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，代入整理求解即可；
设直线m的解析式为y=ax+c，点(3，0)和(0，c)在直线m上，将(3，0)代入y=ax+c，利用勾股定理求解c，将a、c的值代回y=ax+c求解即可.
19．【答案】（1）解：由y=2x+3可知，A ( ，B(0，3) ，
∴OA= ，OB=3 .
∴△AOB的面积：
（2）解：∵△ABP的面积是 ， OB=3
∴AP=3 ∴P(1.5，0) 或 （-4.5，0）
【知识点】一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，得到A、B两点的坐标，求出△AOB的面积；（2）由△ABP的面积和OB的值，求出AP的值，得到点P的坐标.
20．【答案】（1）600
（2）解：设 ，由题意得：
，
由图象得： ，
；
由图象得： ；
设 所在直线的函数表达式为： ，
则有： ，
解得： ，
．
（3）解：由图象：
设 所在直线的函数表达式为： ，
则有 ，
解得： ，
．
由 解得： ．故小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇，
∴此时小林距离公园 米．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得50×12=60m，
故答案为：600
【分析】（1）根据图像结合路程=时间×速度即可求解；
（2）先根据题意求点C和D的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可求解；
（3）先根据题意得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数的解析即可得到直线OA的解析式，再结合题意即可求解。
21．【答案】（1）
（2）解：∵直线l2与直线l1平行，直线l1的解析式是y＝ x+1，
∴可设直线l2的解析式为y＝ x+b，即x+2y﹣2b＝0，
在直线l1上取一点P（0，1），则点P到直线l1的距离是 ，
∴ ，
∴|2﹣2b|＝5，
解得b＝ 或 ，
∴直线l2的解析式为y＝ x 或y＝ x+ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵直线l1的解析式是y＝ x+1，
将直线解析式变形为x+2y﹣2＝0，
∴A＝1，B＝2，C＝﹣2，
∴点P（1，﹣2）到直线l1的距离是d＝ .
故答案为 ；
【分析】(1)根据题目已知的点到直线之间的距离公式，代入公式即可求解.(2)根据直线l2与直线l1平行，可设直线l2的解析式为y＝ x+b，在直线l1上取一点P（0，1），根据点到直线的距离公式得出点P到直线l1的距离是 ，列出关于b的方程，解方程即可.
22．【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
23．【答案】（1）(3，0)；（0，4）
（2）解：设过点、的直线解析式为，
则有：
，
解得：，
故直线的表达式
（3）解：由（1）可知，
，，
当时，此时D与B重合，
D点坐标为，
当时，如图，D点在的垂直平分线上，
此时D点的横坐标为：，
将代入，
求得，
D点坐标为，
故D点坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令即，解得，
令得，
即点A坐标为，点B坐标为，
故答案为：(3，0)，（0，4）.
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入求出k、b的值，据此可得直线BC的解析式；
（3）易得AC、AB的值，当AD=AC时，此时D与B重合，据此可得点D的坐标；当AD=CD时，D点在AC的垂直平分线上，求出点D的横坐标，然后代入y=2x+4中求出y的值，据此可得点D的坐标.
24．【答案】（1）解：∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵S△AOC＝10，
∴OA OC＝10，
∴OA×2＝10，
∴OA＝10，
∴A（-10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为yx+2，
∵点P（2，m）在直线AC上，
∴m2+2；
（2）解：方法1、设直线BD的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），
∵P（2，），
∴2k'+b'，
∴b'＝-2k，
∴直线BD的解析式为y＝k'x-2k'，
令x＝0，
∴y＝-2k'，
∴D（0，-2k'），
令y＝0，
∴k'x-2k'0，
∴x＝2，
∴B'（2），
∴OB＝2，
∵S△BOP（2），S△DOP（-2k'）×2，
∵S△BOP＝S△DOP，
∴（2）（-2k'）×2，
∴k'（舍）或k，
∴直线BD的解析式为yx
方法2、设点D（0，m），B（n，0），
∵S△BOP＝S△DOP，
∴点P（2，）是线段BD的中点，
∴n＝4，m，
∴直线BD的解析式为yx
（3）解： 在（2）的条件下，直线AP上存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积 ，理由如下：
由（2）知，直线BD的解析式为yx，
∴D（0，），B（4，0），
∴OB＝4，OD，
∴S△BODOB OD4
由（1）知，A（-10，0），直线AC的解析式为yx+2，
设Q（a，a+2），
∴S△QAOOA |yQ|10×|a+2|＝|a+10|，
∵△QAO的面积等于△BOD面积，
∴|a+10|，
∴a或a，
∴Q（，）或（，）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积求出OA，进而确定出点A的坐标，再利用待定系数法求直线AC的解析式，将点P（2，m）代入直线AC的解析式，即可得出m的值；
（2）方法1、先设出直线BD解析式，分别令解析式中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，从而得出点B，D坐标，利用两三角形面积相等建立方程即可得出结论；方法2、设出点B，D坐标，利用点P是BD的中点，利用中点坐标公式求出点B，D坐标，即可得出结论；
（3）先求出三角形BOD的面积，设出点Q坐标，表示出三角形QAO的面积，进而根据△QAO的面积等于△BOD面积建立方程即可得出结论．
1 / 1北师大版数学八年级上册《第四章 一次函数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·安徽期中）下列图象不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：A、∵对于每一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，∴A是函数图象，不符合题意；
B、∵对于每一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，∴B是函数图象，不符合题意；
C、∵对于自变量x的值，出现了两个函数值y与其对应，∴C不是函数图象，符合题意；
D、∵对于每一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，∴D是函数图象，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义及函数图象的定义逐项分析判断即可.
2．（2023八上·盐湖月考）某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索图形规律；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：1节链条的长度为2.5cm；
2节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）]cm；
3节链条的总长度为：[2.5+（2.5-0.8）×2]cm；
……
n节链条的总长度为：y=[2.5+（2.5-0.8)(n-1)]=1.7n+0.8，
即 与的关系式是y=1.7n+0.8，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出1节链条的长度，2节链条的总长度和3节链条的总长度，再找出规律，计算求解即可。
3．（2021八上·章丘期中）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0
【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，
∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，
解得：k＝0．
故答案为：A．
【分析】根据一次函数的定义可得|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，求出k的值即可。
4．（2019八上·龙岗期末）一次函数 满足 ，且y随x的增大而减小，则此函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x的增大而减小
∴k＜0
∵kb＜0
∴b＞0
∴函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限。
故答案为：C.
【分析】根据一次函数增减性即可得到k＜0，根据kb＜0，即可得到b＞0，判断得到一次函数的所在的象限即可得到答案。
5．（2020八上·邛崃期末）如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限；同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限，同负时，y＝mx+n过二、三、四象限；
②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，y＝mx+n过一、二、四象限；
故答案为：C．
【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断．
6．（2024八上·文山期末）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵ 直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴-k>0，
∴函数y＝bx﹣k的图象应该经过一、二、三象限，
故答案为：B.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系分析求解即可.
7．（2024八上·成都期末）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象与轴交于点
C．点在函数图象上 D．图象经过第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】k=-2<0，
y随x的增大而减小，故A说法正确，符合题意；
令y=0得，解得x=2，
图象与轴交于点，故B说法错误，不符合题意；
将点x=1代入得故点不在一次函数图象上，C说法错误，不符合题意；
由一次函数可得该图象经过第一、二、四象限，故D说法错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的性质、图象与系数的关系进行逐一判断即可求解.
8．（2015八上·南山期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t= 或 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得 ，解得 ，
∴y乙=100t﹣100，
令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
当100﹣40t=50时，可解得t= ，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t= ，
又当t= 时，y甲=50，此时乙还没出发，
当t= 时，乙到达B城，y甲=250；
综上可知当t的值为 或 或 或t= 时，两车相距50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个，
故选B．
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
9．（2024八上·滨江期末）已知，，是直线为常数）上的三个点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵-5＜0，
∴函数为减函数，
又 -1.2＜-0.5＜2.9，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据一次函数性质，y=ax+b，当a＞0，函数为增函数，当a＜0，函数为减函数，比较自变量的大小即可得出函数y的大小.
10．（2024八上·龙泉驿期末）关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与x轴的交点是（0，2）
C．将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为
D．点（x1，y1）和（x2，y2）在一次函数的图象上，若x1＜x2，则y1＞y2
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】A、一次函数的图像不经过第四象限，故A错误；
B、令y=0解得x=， 图象与x轴的交点是（，0） ，故B错误；
C、 将一次函数的图象向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故C正确；
D、 因为k>0，所以y随x的增大而增大，若x1＜x2，则y1故答案为：C.
【分析】因为k>0，b>0，可知一次函数经过第一、二、三象限，且y随x的增大而增大，可知A、B、D错误；根据图像平移上加下减可知C正确。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·东坡月考） 如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．则直线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：对于直线，令，则，
解得：，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴，
∴．
由折叠可知，，，
∴．
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴点，
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
故答案为：．
【分析】利用解析式可求出点A和点B的坐标，根据勾股定理可求出AB的长．设OC=CD=x，根据折叠的性质，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，得到点C的坐标，最后用待定系数法求解即可．
12．（2017八上·东台期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ．
【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；
又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）．
综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．
【分析】分四种情况考虑：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此时P的坐标；如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时P坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时P坐标，综上，得到所有满足题意P的坐标．
13．（2024九下·宁江开学考）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】
解：如图所示，过点C作CD⊥OB于D，交AB于C'
∵ 直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点
∴ A（-2，0）B（0，4）
∴ OB=4，OA=2
∵ 三角形OBC为等边三角形CD⊥OB
∴ OD=BD=OB=2，C'D=AO=1
∴ C'（-1，2）
【分析】本题考查一次函数与x轴的交点坐标，等边三角形的性质“三线合一”，三角形的中位线等知识，由y=2x+4得A，B坐标，可得OB，OA长，由等边三角形OBC“三线合一”得OD，由中位线得C'D长。
14．（2024八上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 .
【答案】2
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，
∵线段AB所在直线的解析式为y=-x+4，
当x=0时，y=4，
当y=0时，x=4，
∴AO=BO=4，
∴AB，OM相互垂直平分，
∴四边形AOBM是正方形，
∴点M(4，4)，
∵点C(0，2)，
∴P0+PC的最小值为CM，
∴CM=.
故答案为：.
【分析】作点O关于AB的对称点M，连接CM交AB于点P'，PO+PC的最小值为CM，分别求出点A，B的坐标，证明四边形AOBM是正方形，即可求出点M的坐标，即可求出CM的长度，也就是PO+PC的最小值.
15．（2022七下·杜尔伯特期中）如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 千米．
【答案】1.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】由题，图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，设（t>0），因为AC过(0，0)，(2，4) 所以代入函数得：k=2，b=0，所以；因为BD过(2，4)， (0，3)所以代入函数得： ，b=3，所以．当时，，，所以．
故答案为：1.5
【分析】先利用待定系数法求出和，再将t=3分别代入解析式可得，，最后求出即可。
16．（2018九上·大洼月考）如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点An的坐标为
【答案】（2n﹣1，0）
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（1，），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2==2，点A2的坐标为（2，0），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），
此类推便可求出点An的坐标为（2n﹣1，0）．
故答案为：（2n﹣1，0）．
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，在根据B1点的坐标求出A2点的坐标，以此类推总结规律便可求出点An的坐标．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·江宁月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣3，0）与点B（0，4）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）点P为x轴上一动点，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
把点A（﹣3，0）与点B（0，4）代入得：，
解得：，
此一次函数的表达式为：y＝x+4；
（2）解：∵点A（﹣3，0），点B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
当PA＝AB时，P的坐标为（﹣8，0）或（2，0）；
当PB＝AB时，P的坐标为（3，0）；
当PA＝PB时，设P为（m，0），则（m+3）2＝m2+42，
解得m＝，
∴P的坐标为（，0）；
综上，P点的坐标为（﹣8，0）或（2，0）或（3，0）或（，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据待定系数法解一次函数，将点A和B的坐标代入一次函数，列二元一次方程组，解方程组即可求出一次函数的表达式；
（2）根据勾股定理求出AB的值；根据等腰三角形的两腰相等，分类讨论，列一元二次方程，即可求出点P的坐标.
18．（2023八下·官渡期末）【学习材料】
求直线向右平移个单位长度后的解析式． 第一步，在直线上任意取两点和； 第二步，将点和向右平移个单位长度得到点和，则直线就是直线向右平移个单位长度后得到的直线； 第三步，设直线的解析式为：，将和代入得到：解得，所以直线的解析式为：．
（1）【类比思考】
若将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式为 ；
若先将直线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到直线，则直线的解析式为 ．
（2）【拓展应用】
已知一次函数的图象与直线关于轴对称，求一次函数的解析式；
若一次函数的图象绕点逆时针旋转后得到直线，则直线的解析式为 ▲ ．
【答案】（1）；
（2）解：①设直线上的点的坐标为，它们对应的关于轴对称点的坐标为，
直线关于轴对称的直线为，即；②
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）【类比思考】
根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线上任意取两点和；
第二步，将点和向左平移个单位长度，得到点和，则直线就是直线向左平移个单位长度后得到的直线；
第三步，设直线的解析式为：，将和代入，
得到，解得．
直线的解析式为．
故答案为：．
根据【学习材料】中的方法：
第一步，在直线上任意取两点和；
第二步，将点和向右平移个单位长度，得到点和；再将点和向下平移个单位长度，得到点和，则直线就是所要求的直线．
第三步，设直线的解析式为，将和代入，
得到，解得．
直线的解析式为．
故答案为：．
（2）【拓展应用】设直线的解析式为．
的图象绕点逆时针旋转后得到直线，
点在直线上．
将代入，
得．
当时，，
与轴交点坐标为．
由几何关系，利用勾股定理，
得，解得．
．
．
故答案为：．
【分析】【类比思考】题目根据题意，按照【学习材料】中给定的解题方法求解即可；
【拓展应用】已知一次函数的图象与直线关于x轴对称，则直线上的点关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)，代入整理求解即可；
设直线m的解析式为y=ax+c，点(3，0)和(0，c)在直线m上，将(3，0)代入y=ax+c，利用勾股定理求解c，将a、c的值代回y=ax+c求解即可.
19．（2017八上·江都期末）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标.
【答案】（1）解：由y=2x+3可知，A ( ，B(0，3) ，
∴OA= ，OB=3 .
∴△AOB的面积：
（2）解：∵△ABP的面积是 ， OB=3
∴AP=3 ∴P(1.5，0) 或 （-4.5，0）
【知识点】一次函数的性质
【解析】【分析】（1）由直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，得到A、B两点的坐标，求出△AOB的面积；（2）由△ABP的面积和OB的值，求出AP的值，得到点P的坐标.
20．（2023·德惠模拟）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟：6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．
（1） ；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有多远？
【答案】（1）600
（2）解：设 ，由题意得：
，
由图象得： ，
；
由图象得： ；
设 所在直线的函数表达式为： ，
则有： ，
解得： ，
．
（3）解：由图象：
设 所在直线的函数表达式为： ，
则有 ，
解得： ，
．
由 解得： ．故小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇，
∴此时小林距离公园 米．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得50×12=60m，
故答案为：600
【分析】（1）根据图像结合路程=时间×速度即可求解；
（2）先根据题意求点C和D的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可求解；
（3）先根据题意得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数的解析即可得到直线OA的解析式，再结合题意即可求解。
21．（2019·嘉善模拟）（阅读材料）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式是
如：求点P（1，2）到直线y＝﹣ x+1的距离d
解：将直线解析式变形为4x+3y﹣3＝0，则A＝4，B＝3，C＝﹣3
所以
（解决问题）已知直线l1的解析式是y＝- x+1
（1）若点P的坐标为（1，﹣2），则点P到直线l1的距离是 ；
（2）若直线l2与直线l1平行，且两条平行线间的距离是 ，请求出直线l2的解析式.
【答案】（1）
（2）解：∵直线l2与直线l1平行，直线l1的解析式是y＝ x+1，
∴可设直线l2的解析式为y＝ x+b，即x+2y﹣2b＝0，
在直线l1上取一点P（0，1），则点P到直线l1的距离是 ，
∴ ，
∴|2﹣2b|＝5，
解得b＝ 或 ，
∴直线l2的解析式为y＝ x 或y＝ x+ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）∵直线l1的解析式是y＝ x+1，
将直线解析式变形为x+2y﹣2＝0，
∴A＝1，B＝2，C＝﹣2，
∴点P（1，﹣2）到直线l1的距离是d＝ .
故答案为 ；
【分析】(1)根据题目已知的点到直线之间的距离公式，代入公式即可求解.(2)根据直线l2与直线l1平行，可设直线l2的解析式为y＝ x+b，在直线l1上取一点P（0，1），根据点到直线的距离公式得出点P到直线l1的距离是 ，列出关于b的方程，解方程即可.
22．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
23．（2023八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）求直线的表达式；
（3）若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标.
【答案】（1）(3，0)；（0，4）
（2）解：设过点、的直线解析式为，
则有：
，
解得：，
故直线的表达式
（3）解：由（1）可知，
，，
当时，此时D与B重合，
D点坐标为，
当时，如图，D点在的垂直平分线上，
此时D点的横坐标为：，
将代入，
求得，
D点坐标为，
故D点坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令即，解得，
令得，
即点A坐标为，点B坐标为，
故答案为：(3，0)，（0，4）.
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B的坐标；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入求出k、b的值，据此可得直线BC的解析式；
（3）易得AC、AB的值，当AD=AC时，此时D与B重合，据此可得点D的坐标；当AD=CD时，D点在AC的垂直平分线上，求出点D的横坐标，然后代入y=2x+4中求出y的值，据此可得点D的坐标.
24．（2023八上·开江期末）如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOC＝10．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵S△AOC＝10，
∴OA OC＝10，
∴OA×2＝10，
∴OA＝10，
∴A（-10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为yx+2，
∵点P（2，m）在直线AC上，
∴m2+2；
（2）解：方法1、设直线BD的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），
∵P（2，），
∴2k'+b'，
∴b'＝-2k，
∴直线BD的解析式为y＝k'x-2k'，
令x＝0，
∴y＝-2k'，
∴D（0，-2k'），
令y＝0，
∴k'x-2k'0，
∴x＝2，
∴B'（2），
∴OB＝2，
∵S△BOP（2），S△DOP（-2k'）×2，
∵S△BOP＝S△DOP，
∴（2）（-2k'）×2，
∴k'（舍）或k，
∴直线BD的解析式为yx
方法2、设点D（0，m），B（n，0），
∵S△BOP＝S△DOP，
∴点P（2，）是线段BD的中点，
∴n＝4，m，
∴直线BD的解析式为yx
（3）解： 在（2）的条件下，直线AP上存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积 ，理由如下：
由（2）知，直线BD的解析式为yx，
∴D（0，），B（4，0），
∴OB＝4，OD，
∴S△BODOB OD4
由（1）知，A（-10，0），直线AC的解析式为yx+2，
设Q（a，a+2），
∴S△QAOOA |yQ|10×|a+2|＝|a+10|，
∵△QAO的面积等于△BOD面积，
∴|a+10|，
∴a或a，
∴Q（，）或（，）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积求出OA，进而确定出点A的坐标，再利用待定系数法求直线AC的解析式，将点P（2，m）代入直线AC的解析式，即可得出m的值；
（2）方法1、先设出直线BD解析式，分别令解析式中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，从而得出点B，D坐标，利用两三角形面积相等建立方程即可得出结论；方法2、设出点B，D坐标，利用点P是BD的中点，利用中点坐标公式求出点B，D坐标，即可得出结论；
（3）先求出三角形BOD的面积，设出点Q坐标，表示出三角形QAO的面积，进而根据△QAO的面积等于△BOD面积建立方程即可得出结论．
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