北师大版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·长沙开学考）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·婺城二模）如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．5
3．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
4．（2024·烟台中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·金华模拟）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为1.8米，则盲区的长是（ ）
A．5.4米 B．6米 C．7.2米 D．8米
6．（2024·昆明模拟） 如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
7．（2021九上·埇桥期中）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
8．（2024·自贡）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
9．（2024·赤峰）如图，中，，.将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点.若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④.其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
10．（2024·宁波模拟）如图，已知是矩形的对角线，以点为旋转中心将逆时针旋转，得到，，，三点恰好在同一条直线上，设与相交于点，连结有以下结论：；∽；是线段的黄金分割点；其中正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 ．
12．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
13．（2024·柳州三模）如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为，实像CD的高度为，则小孔O的高度OE为 ．
14．（2024·重庆市模拟）如图，在平行四边形中，于，，于，延长、交于点，若，，则线段的长为 ．
15．（2024·青羊模拟）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ．
16．（2019·阜新）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E.若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024·永修模拟） 如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，．
（1）求证：．
（2）当，，求的值．
18．（2024·九江模拟）如图，点D是边的上一点，且，
（1）求证：
（2）如果，求的值．
19．（2024九上·娄底期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与、重合），，垂足为．
（1）求证： ；
（2）若，求的长．
20．（2024九上·铜仁期末） 已知如图，在中，点D是边上一个动点，连接，在的右侧作，边交于点E，当点D在边上运动时（点D不与点A、点B重合），始终保持．
（1）你能否再添加一个条件，使；
（2）在（1）的条件下，当，，时，求A、D两点之间的距离．
21．（2024九上·衡阳期末） 如图，在平行四边形中，为边上一点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
22．（2024·南充模拟） 如图，矩形具有下列特征：在边上取点，连接，，当平分时，将沿翻折，点恰在线段上．
（1）这样的矩形，长与宽之比为 ；
（2）如图，连接并延长交于，判断的形状并证明；
（3）在图中，有无与相似的三角形？并证明你的结论．
23．（2023九上·衡阳期末）
（1）问题背景：如图，已知∽，求证：∽；
（2）尝试应用：如图，在和中，，，与相交于点点在边上，，求的值．
24．（2024·惠城模拟）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究：①如1图，与之间存在什么关系 请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时， mm；
（2）运用：如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．
若点Q的坐标为，则点P的坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据比例得到，进而代入即可求解。
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，
∴AC⊥BD，，，
∴∠AOD=90°，
∵EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，
∴EF∥AC，EG∥BD，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴，，
即，，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=5，OD=12，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥AC，EG∥BD，根据平行线分线段成比例可得OF=6，OG=2.5，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
3．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图象可知，甲与丁形状形似，检验各边的比例均为1：2.
故答案为：D.
【分析】根据形状大致分析，再检验边比例即可.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交于点O，
在正方形ABCD中，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，BD=AC，
∵ 点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点 ，
∴DE=CF，OE=OF，DE：BE=1：2
∴
∵∠EOF=∠DOC，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE=∠ODC=45°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴DG=AB=CD=CG，
∴△DEG∽△CFG（SAS），
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE=（180°-∠AGF）=90°-α，
∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°-α-45°=.
故答案为：B.
【分析】先证△EOF∽△DOC，可得∠OFE=∠ODC=45°，再证△ABE∽△GDE，可推出
DG=AB=CD=CG，最后可证△DEG∽△CFG（SAS），可得GE=GF，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠GEF的度数，利用∠FAG=∠GEF-∠AFE即可求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PHB⊥E交AF于点G，交BE于点H，
由知AF：DF=3：2，而AF=1.8m，则GH=1.2m，故PG=PH-GH=1.6-1.2=0.4m，
由AF||BE得△PAF~△PBE，得，，即，得BE=7.2m.
答案：C.
【分析】由平行知△PAF~△PBE利用相似比例即可求出BE的长.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=，
∴：=，
∴：S四边形DBCE =.
故答案为：B。
【分析】首先根据中位线定理可得出DE∥BC，且DE=，从而得出：=，进一步得出：S四边形DBCE =.
7．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ = ，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故答案为：A．
【分析】先求出△OAD∽△OBG，再求出 = ，最后计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
又∵折叠前后对应点均在矩形的边上，
∴EF⊥AA‘，即EF⊥BC，AA’=2AE，
∴∠EFC=∠B=90°，
∴EF∥AB，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠AFH=∠BAF=∠CAF，
设AG=FG=a，
由AD∥BC，
∴∠EAG=∠FCG，
∴△AGE∽△CGF，
∴，
同理，△AHA'∽△CHF，
∴，
即，
∴，解得a=，
在Rt△CFG中，CF=，
∴，解得AE=.
故答案为：A.
【分析】由角平分线与折叠分析角度关系得出等腰，即AG=FG，进一步结合矩形的性质并利用分线段GH与HC的条件数值，考虑相似转换建立等量关系，即设AG=FG=a，利用两组相似△AHA'∽△CHF，△AGE∽△CGF存在的等量关系建立方程解出a，后解出目标值即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°
由旋转的性质得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠C'AC=36°，
∴∠C'AC=∠BAC'=36°，
∴∠B'AB=72°-36°=36°，
由旋转得AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，
① 点B在旋转过程中经过的路径长是，故正确；
②∠B'AB=∠ABC=36°，
∴，故②正确；
③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，
∴∠DC'B=∠ABC，
∴； 故③正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，
∴△BB'D∽△ABC
∴.故④正确.
综上可知： ①②③④ 都正确.
故答案为：A.
【分析】先求出点B旋转的角度，再利用弧长公式求解，即可判断①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，据此判断②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，据此判断③，利用“AA”证△BB'D∽△ABC，可得，据此判断④.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD=DF，DC=DE，∠DEF=∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，即∠DAG+DEF=90°，
∴∠AGE=90°，即AC⊥BE，①正确；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC=90°，即△BGC是直角三角形，
而△AGD显然不是直角三角形，②错误；
在Rt△FCB和Rt△FDE中，
∵∠BFC=∠EFC，
∴Rt△FCB∽Rt△FDE，
∴，
∵BC=AD=DF，DE=DC，
∴，即DF2=FC DC，
∴点F是线段CD的黄金分割点，③正确；
在线段EF上取EG'=CG，并连接 DG'，如图：
∵DC=DE，∠DEF=∠DCA，
∴∠DEG'=∠DCG，
∵DC＝DE，∠DCG＝∠DEG'，CG＝EG'，
∴△DCG≌△DEG'（SAS），
∴DG=DG'，∠CDG=∠EDG'，
∵∠CDG=∠GDA=90°，∠EDG'+∠GAD=90°，
∴∠GDG'=90°，
∴△GDG'是等腰直角三角形，
∴，
∵EG'=CG，
∴，④正确；
故正确的为：①③④．
故答案为：D.
【分析】根据旋转前后两图形是全等图形可得△FDE≌△ADC，再由矩形的四个角都是直角可得∠ADC=90°，推得∠DAC+DEF=90°，从而判断①；由AC⊥BE可得△BGC是直角三角形，从而判断②；根据有两个角对应相等的三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，推得，可判断③；在线段EF上作 EG'=CG，连接DG'，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得DG=DG'，∠CDG=∠EDG'，推得△GDG'是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，可以判断④.
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵点E是OA的中点，AD=BC，
∴.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等两直线平行判断出EF∥AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形对应边成比例可得，最后根据中点定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】证明，，根据相似三角形的性质列比例式求出即可．
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形
，
，
设，
在中，
即
（负值已舍去）
，
在中，
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质证，再设DE=3x，CE=2x，得出AE=5x，然后利用勾股定理t 三角形面积公式求解即可．
15．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过E作EG⊥AE交AF于G，过点G作GH⊥EF于点H，
设BE=x，正方形ABCD的边长为a，，其中x＞0，a＞0，k＞0，
∵EG⊥AE，∠EAF=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AE=EG，
∵四边形ABCD是正方形，AB=a，
∴∠B=90°，
∵GH⊥EF，
∴∠B=∠AEG=∠EHG=90°，GH∥AB，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠HEG+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEG，
在△ABE和△EHG中，
∴△ABE≌△EHG（AAS）
∴AB=EH=a，BE=GH=x，
∴BH=BE+EH=x+a，
∴FB=FH+BH=FH+x+a，
∵GH∥AB，
∴△ABF∽△GHF，
∴，即：，
则FH=，
∴EF=FH+EH=+a=，
∴整理得：（1+k）x2-ax+ka2=0，
∴△=b2-4ac=(-a)2-4(1+k)×ka2≥0，
∵a＞0，
∴1-4k-4k2≥0，
∴(k+)2≤，
解得：0＜k≤，
∴k的最大值为：.
故答案为：.
【分析】过E作EG⊥AE交AF于G，过点G作GH⊥EF于点H，设BE=x，正方形ABCD的边长为a，，其中x＞0，a＞0，k＞0，由题意易得△AEG是等腰直角三角形，由同角的余角相等可得∠BAE=∠HEG，结合已知条件用角角边可证△ABE≌△EHG，则AB=EH=a，BE=GH=x，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△GHF，由相似三角形的性质可得比例式，则FH可用含a、x的代数式表示出来，由线段的构成EF=FH+EH可把EF用含a、x的代数式表示出来，根据可得方程，整理得（1+k）x2-ax+ka2=0，根据根的判别式可得关于k的不等式：1-4k-4k2≥0，解之可求解.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= = =10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE= =5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴ ，
即
∴DE= .
故答案为： .
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后判断出△AED∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可算出DE的长.
17．【答案】（1）证明：，
，
，，
，
（2）解：如图，连接，
是的中点，，
，，
，，
，
由（1）可知，，
，
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边对等角的性质可得，利用角的运算和等量代换可得，即可证出；
（2）连接AD，先利用解直角三角形的方法求出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出即可.
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的性质得到，进而代入数值即可求解。
19．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴或（负数不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合即可证出；
（2）利用相似三角形的性质可得，再求出，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
20．【答案】（1）证明：添加，使
，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，
，
∵，，，
∴或6，
∴A、D两点之间的距离为2或6．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为运动过程中， 始终保持 ，根据平角的定义和三角形内角和定理可得 ，故再有一组角相等即可使得 ，所以可添加BC=AC.
（2）根据相似三角形的性质建立方程求解即可.
21．【答案】（1）证明：平行四边形，
，
，
又，
∽．
（2）解：四边形平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定证明。由平行四边形的性质证明∠EBA=∠BEC，再证明相似即可；
（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解。利用（1）中的相似三角形的性质，列出比例式求线段长度即可．
22．【答案】（1）：
（2）解：是等腰三角形；
证明：由知，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
将沿翻折，点恰在线段上，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：∽，
证明：由知，，
，
，
∽．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵DF平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE=45°
∵∠A=90°
∴△ADE为等腰直角三角形
AD=AE，
∵B折叠至F
∴∠ABC=∠CEF=90°=∠DFC，BC=CF，EF=BE
∵∠CDE=45°
∴△CDF为等腰直角三角形
∴DF=CF，
DE=DF+EF=CF=BE=BC+BE=AD+BE=AE+BE=AB
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ADE=∠CDE=45°，由等腰直角三角形判定定理可得△ADE为等腰直角三角形，则AD=AE，，根据折叠性质可得∠ABC=∠CEF=90°=∠DFC，BC=CF，EF=BE，则△CDF为等腰直角三角形，可得DF=CF，，再根据边之间的关系可得DE=AB，即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，根据等边对等角性质可得，根据折叠性质可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）由知，，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∽，
，，
，，
∽；
（2）解：如图，连接，
，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
．
，，
∽，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定定理即可求解；
（2）如图，连接， 先证明∽，结合∽，根据相似三角形的性质以及已知条件即可求解.
24．【答案】（1）解：①相等，理由如下：∵由题意，得，∴，∴，即，∴．②43.2
（2）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：②∵，，，
∴，
∴；
故答案为：43.2；
（2）根据题意可知，点P的坐标为（-3×2，4×2），即（-6，8）.
故答案为：（-6，8）.
【分析】（1）①根据题意证明，根据相似三角形的性质得到，即，进而即可得到答案；
②将，，代入，计算即可得到答案；
（2）根据①号“E”与②号“E”的相似比为，代入数值即可得到点P的坐标 .
1 / 1北师大版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·长沙开学考）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据比例得到，进而代入即可求解。
2．（2024·婺城二模）如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．5
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，
∴AC⊥BD，，，
∴∠AOD=90°，
∵EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，
∴EF∥AC，EG∥BD，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴，，
即，，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=5，OD=12，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥AC，EG∥BD，根据平行线分线段成比例可得OF=6，OG=2.5，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
3．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图象可知，甲与丁形状形似，检验各边的比例均为1：2.
故答案为：D.
【分析】根据形状大致分析，再检验边比例即可.
4．（2024·烟台中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交于点O，
在正方形ABCD中，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，BD=AC，
∵ 点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点 ，
∴DE=CF，OE=OF，DE：BE=1：2
∴
∵∠EOF=∠DOC，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE=∠ODC=45°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴DG=AB=CD=CG，
∴△DEG∽△CFG（SAS），
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE=（180°-∠AGF）=90°-α，
∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°-α-45°=.
故答案为：B.
【分析】先证△EOF∽△DOC，可得∠OFE=∠ODC=45°，再证△ABE∽△GDE，可推出
DG=AB=CD=CG，最后可证△DEG∽△CFG（SAS），可得GE=GF，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠GEF的度数，利用∠FAG=∠GEF-∠AFE即可求解.
5．（2024·金华模拟）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为1.8米，则盲区的长是（ ）
A．5.4米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PHB⊥E交AF于点G，交BE于点H，
由知AF：DF=3：2，而AF=1.8m，则GH=1.2m，故PG=PH-GH=1.6-1.2=0.4m，
由AF||BE得△PAF~△PBE，得，，即，得BE=7.2m.
答案：C.
【分析】由平行知△PAF~△PBE利用相似比例即可求出BE的长.
6．（2024·昆明模拟） 如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则：S四边形DBCE=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且DE=，
∴：=，
∴：S四边形DBCE =.
故答案为：B。
【分析】首先根据中位线定理可得出DE∥BC，且DE=，从而得出：=，进一步得出：S四边形DBCE =.
7．（2021九上·埇桥期中）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ = ，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故答案为：A．
【分析】先求出△OAD∽△OBG，再求出 = ，最后计算求解即可。
8．（2024·自贡）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
又∵折叠前后对应点均在矩形的边上，
∴EF⊥AA‘，即EF⊥BC，AA’=2AE，
∴∠EFC=∠B=90°，
∴EF∥AB，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠AFH=∠BAF=∠CAF，
设AG=FG=a，
由AD∥BC，
∴∠EAG=∠FCG，
∴△AGE∽△CGF，
∴，
同理，△AHA'∽△CHF，
∴，
即，
∴，解得a=，
在Rt△CFG中，CF=，
∴，解得AE=.
故答案为：A.
【分析】由角平分线与折叠分析角度关系得出等腰，即AG=FG，进一步结合矩形的性质并利用分线段GH与HC的条件数值，考虑相似转换建立等量关系，即设AG=FG=a，利用两组相似△AHA'∽△CHF，△AGE∽△CGF存在的等量关系建立方程解出a，后解出目标值即可.
9．（2024·赤峰）如图，中，，.将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点.若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④.其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°
由旋转的性质得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠C'AC=36°，
∴∠C'AC=∠BAC'=36°，
∴∠B'AB=72°-36°=36°，
由旋转得AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，
① 点B在旋转过程中经过的路径长是，故正确；
②∠B'AB=∠ABC=36°，
∴，故②正确；
③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，
∴∠DC'B=∠ABC，
∴； 故③正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，
∴△BB'D∽△ABC
∴.故④正确.
综上可知： ①②③④ 都正确.
故答案为：A.
【分析】先求出点B旋转的角度，再利用弧长公式求解，即可判断①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，据此判断②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，据此判断③，利用“AA”证△BB'D∽△ABC，可得，据此判断④.
10．（2024·宁波模拟）如图，已知是矩形的对角线，以点为旋转中心将逆时针旋转，得到，，，三点恰好在同一条直线上，设与相交于点，连结有以下结论：；∽；是线段的黄金分割点；其中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，
∴△FDE≌△ADC，
∴AD=DF，DC=DE，∠DEF=∠DCA，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，即∠DAG+DEF=90°，
∴∠AGE=90°，即AC⊥BE，①正确；
∵AC⊥BE，
∴∠BGC=90°，即△BGC是直角三角形，
而△AGD显然不是直角三角形，②错误；
在Rt△FCB和Rt△FDE中，
∵∠BFC=∠EFC，
∴Rt△FCB∽Rt△FDE，
∴，
∵BC=AD=DF，DE=DC，
∴，即DF2=FC DC，
∴点F是线段CD的黄金分割点，③正确；
在线段EF上取EG'=CG，并连接 DG'，如图：
∵DC=DE，∠DEF=∠DCA，
∴∠DEG'=∠DCG，
∵DC＝DE，∠DCG＝∠DEG'，CG＝EG'，
∴△DCG≌△DEG'（SAS），
∴DG=DG'，∠CDG=∠EDG'，
∵∠CDG=∠GDA=90°，∠EDG'+∠GAD=90°，
∴∠GDG'=90°，
∴△GDG'是等腰直角三角形，
∴，
∵EG'=CG，
∴，④正确；
故正确的为：①③④．
故答案为：D.
【分析】根据旋转前后两图形是全等图形可得△FDE≌△ADC，再由矩形的四个角都是直角可得∠ADC=90°，推得∠DAC+DEF=90°，从而判断①；由AC⊥BE可得△BGC是直角三角形，从而判断②；根据有两个角对应相等的三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得，推得，可判断③；在线段EF上作 EG'=CG，连接DG'，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得DG=DG'，∠CDG=∠EDG'，推得△GDG'是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，可以判断④.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵点E是OA的中点，AD=BC，
∴.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等两直线平行判断出EF∥AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形对应边成比例可得，最后根据中点定义即可求出答案.
12．（2023·山西）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE==，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴，
∴AD=AE= ；
故答案为：.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=，利用平行线分线段成比例可得，即得AD=AE，据此即得结论.
13．（2024·柳州三模）如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为，实像CD的高度为，则小孔O的高度OE为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】证明，，根据相似三角形的性质列比例式求出即可．
14．（2024·重庆市模拟）如图，在平行四边形中，于，，于，延长、交于点，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形
，
，
设，
在中，
即
（负值已舍去）
，
在中，
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质证，再设DE=3x，CE=2x，得出AE=5x，然后利用勾股定理t 三角形面积公式求解即可．
15．（2024·青羊模拟）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过E作EG⊥AE交AF于G，过点G作GH⊥EF于点H，
设BE=x，正方形ABCD的边长为a，，其中x＞0，a＞0，k＞0，
∵EG⊥AE，∠EAF=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AE=EG，
∵四边形ABCD是正方形，AB=a，
∴∠B=90°，
∵GH⊥EF，
∴∠B=∠AEG=∠EHG=90°，GH∥AB，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠HEG+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠HEG，
在△ABE和△EHG中，
∴△ABE≌△EHG（AAS）
∴AB=EH=a，BE=GH=x，
∴BH=BE+EH=x+a，
∴FB=FH+BH=FH+x+a，
∵GH∥AB，
∴△ABF∽△GHF，
∴，即：，
则FH=，
∴EF=FH+EH=+a=，
∴整理得：（1+k）x2-ax+ka2=0，
∴△=b2-4ac=(-a)2-4(1+k)×ka2≥0，
∵a＞0，
∴1-4k-4k2≥0，
∴(k+)2≤，
解得：0＜k≤，
∴k的最大值为：.
故答案为：.
【分析】过E作EG⊥AE交AF于G，过点G作GH⊥EF于点H，设BE=x，正方形ABCD的边长为a，，其中x＞0，a＞0，k＞0，由题意易得△AEG是等腰直角三角形，由同角的余角相等可得∠BAE=∠HEG，结合已知条件用角角边可证△ABE≌△EHG，则AB=EH=a，BE=GH=x，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△GHF，由相似三角形的性质可得比例式，则FH可用含a、x的代数式表示出来，由线段的构成EF=FH+EH可把EF用含a、x的代数式表示出来，根据可得方程，整理得（1+k）x2-ax+ka2=0，根据根的判别式可得关于k的不等式：1-4k-4k2≥0，解之可求解.
16．（2019·阜新）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E.若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= = =10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE= =5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴ ，
即
∴DE= .
故答案为： .
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后判断出△AED∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可算出DE的长.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024·永修模拟） 如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，．
（1）求证：．
（2）当，，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，，
，
（2）解：如图，连接，
是的中点，，
，，
，，
，
由（1）可知，，
，
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边对等角的性质可得，利用角的运算和等量代换可得，即可证出；
（2）连接AD，先利用解直角三角形的方法求出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出即可.
18．（2024·九江模拟）如图，点D是边的上一点，且，
（1）求证：
（2）如果，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定结合题意即可求解；
（2）先根据相似三角形的性质得到，进而代入数值即可求解。
19．（2024九上·娄底期末）如图，在矩形中，，，是边上的一点（不与、重合），，垂足为．
（1）求证： ；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴或（负数不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合即可证出；
（2）利用相似三角形的性质可得，再求出，最后利用勾股定理求出BE的长即可.
20．（2024九上·铜仁期末） 已知如图，在中，点D是边上一个动点，连接，在的右侧作，边交于点E，当点D在边上运动时（点D不与点A、点B重合），始终保持．
（1）你能否再添加一个条件，使；
（2）在（1）的条件下，当，，时，求A、D两点之间的距离．
【答案】（1）证明：添加，使
，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，
，
∵，，，
∴或6，
∴A、D两点之间的距离为2或6．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）因为运动过程中， 始终保持 ，根据平角的定义和三角形内角和定理可得 ，故再有一组角相等即可使得 ，所以可添加BC=AC.
（2）根据相似三角形的性质建立方程求解即可.
21．（2024九上·衡阳期末） 如图，在平行四边形中，为边上一点，．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：平行四边形，
，
，
又，
∽．
（2）解：四边形平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定证明。由平行四边形的性质证明∠EBA=∠BEC，再证明相似即可；
（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解。利用（1）中的相似三角形的性质，列出比例式求线段长度即可．
22．（2024·南充模拟） 如图，矩形具有下列特征：在边上取点，连接，，当平分时，将沿翻折，点恰在线段上．
（1）这样的矩形，长与宽之比为 ；
（2）如图，连接并延长交于，判断的形状并证明；
（3）在图中，有无与相似的三角形？并证明你的结论．
【答案】（1）：
（2）解：是等腰三角形；
证明：由知，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
将沿翻折，点恰在线段上，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：∽，
证明：由知，，
，
，
∽．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵DF平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE=45°
∵∠A=90°
∴△ADE为等腰直角三角形
AD=AE，
∵B折叠至F
∴∠ABC=∠CEF=90°=∠DFC，BC=CF，EF=BE
∵∠CDE=45°
∴△CDF为等腰直角三角形
∴DF=CF，
DE=DF+EF=CF=BE=BC+BE=AD+BE=AE+BE=AB
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ADE=∠CDE=45°，由等腰直角三角形判定定理可得△ADE为等腰直角三角形，则AD=AE，，根据折叠性质可得∠ABC=∠CEF=90°=∠DFC，BC=CF，EF=BE，则△CDF为等腰直角三角形，可得DF=CF，，再根据边之间的关系可得DE=AB，即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，根据等边对等角性质可得，根据折叠性质可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）由知，，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
23．（2023九上·衡阳期末）
（1）问题背景：如图，已知∽，求证：∽；
（2）尝试应用：如图，在和中，，，与相交于点点在边上，，求的值．
【答案】（1）证明：∽，
，，
，，
∽；
（2）解：如图，连接，
，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
．
，，
∽，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质与判定定理即可求解；
（2）如图，连接， 先证明∽，结合∽，根据相似三角形的性质以及已知条件即可求解.
24．（2024·惠城模拟）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究：①如1图，与之间存在什么关系 请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时， mm；
（2）运用：如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．
若点Q的坐标为，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）解：①相等，理由如下：∵由题意，得，∴，∴，即，∴．②43.2
（2）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：②∵，，，
∴，
∴；
故答案为：43.2；
（2）根据题意可知，点P的坐标为（-3×2，4×2），即（-6，8）.
故答案为：（-6，8）.
【分析】（1）①根据题意证明，根据相似三角形的性质得到，即，进而即可得到答案；
②将，，代入，计算即可得到答案；
（2）根据①号“E”与②号“E”的相似比为，代入数值即可得到点P的坐标 .
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