北师大版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·威宁期末）已知，若，则＝（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可.
2．（2024·南昌模拟）如图，已知AB//CD//EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，则BC的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例求出BC的长，进而根据线段的运算即可求解。
3．（2024九上·双流期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】A、∵两个平行四边形不一定相似，∴A不符合题意；
B、∵两个正方形一定相似，∴B符合题意；
C、∵两个菱形不一定相似，∴C不符合题意；
D、∵两个矩形不一定相似，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的判定方法分析求解即可.
4．（2018八下·肇源期末）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ= ，
则PQ=AP+BQ-AB=
故答案为：C
【分析】根据黄金分割点的概念可得AP和BQ，则PQ=AP+BQ-AB
5．（2024九下·仁寿期中） 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得在中，
根据相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故B选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故C选项不符合题意；
添加 ，不能判定 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得再利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
6．（2024九下·江夏月考）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
B、∵
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
C、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴不能判断△ABC∽△ADE，此选项符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断A选项；根据“三边对应成比例的两个三角形相似”可判断B选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断两个三角形相似，但给定的条件是“两边对应成比例且其中一边的对角相等”，这两个条件不能判断两个三角形相似，据此可判断C选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断D选项.
7．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
8．（2024·南山模拟） 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．5.5cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：，
解得：x=4；
即蜡烛火焰的高度是4cm.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例计算即可.
9．（2024九下·隆昌月考）若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：与相似，且对应中线之比为，
其相似比为，
与周长之比为，
与面积比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质求解即可。
10．（2024·沙坪坝模拟）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．30
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，，的周长为3，
∴和的相似比为：，
∴和的周长比为：，
∴的周长为6；
故答案为：A
【分析】根据位似结合即可得到和的相似比为：，进而即可求解。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2016九上·盐城开学考）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
【答案】AB∥CD（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】题中已给出一组对顶角相等，我们只要再给出另一组对应角相等，或两组对应边成比例即可．
∵∠COD=∠AOB， ∴只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，
其中一项符合即可，答案不唯一．
【分析】由图知，∠COD=∠AOB，根据相似三角形的判定添加的条件可以是∠A=∠C（答案不唯一，只要符合相似三角形的判定定理即可）。
12．（2024九下·香洲月考）若，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a=，
∴，
故答案为：.
【分析】根据已知条件得到a=，再把a=代入所求式子进行计算，即可得出答案.
13．（2023九上·简阳期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】95°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95°.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
14．（2023八下·绿园期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小艺的眼睛离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为 米
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
∴，
解得：CD=8，
故答案为：.
【分析】证明△AOB∽△COD，，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可．
15．（2024九下·祁阳月考） 若，且，的面积为，则的面积为 .
【答案】32
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，且
∴
∵的面积为，即
解得：
故答案为：32
【分析】根据相似三角形性质可得，再代入的面积，即可求出答案.
16．（2023·盘锦）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 .
【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，且点A（2，6），
∴点A'（2×，6×）或[2×（-），6×（-）]，即点A的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，设原图形上一点P（x，y），则其对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·钟山期末） 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，过点D作AE的垂线分别交AE，AB于点F，G．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠DAF=∠AEB ∵DG⊥AE ∴∠AFD=90°
∴∠AFD=∠B ∴△ADF∽△EAB
（2）解：∵△ADF∽△EAB ∴ ，AD=6， AF=
又∵点E是BC的中点
∴BE==3 ∴
∴AE=
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，∠B=90° ，进而得到∠DAF=∠AEB ，结合图形得到∠AFD=90°，∠AFD=∠B ，最后根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）利用相似三角形的性质以及线段中点的性质列出比例式，代入数据计算即可求解.
18．（2023九上·杭州期中）如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数.
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB，∠ACD=40°
∴∠ACD=∠BCD=40°
∵△ABC∽△ACD
∴∠ABC=∠ACD=40°
∴∠ADC=80°
（2）解：∵CD=2，BD=3
∴AB=5
∵△ABC∽△ACD
∴
∴，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据△ABC∽△ACD和CD平分∠ACB得出∠B和∠BCD的度数，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个外角和即可求出∠ADC的度数.
（2）先算出AB的长，由△ABC∽△ACD可得出，再把AB和AD的长代入求值即可.
19．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
20．（2016·姜堰模拟）如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．
【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）
（2）解：如图所示：△A2B2C2
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．
21．（2022·泗阳模拟）如图，，.
（1）与相似吗？为什么？
（2）如果，，那么的长为多少？
【答案】（1）解：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB=2AD，BC=4，
∴，
∴DE=2，
即DE的长为2.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠BAD=∠CAE结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据AB=2AD，BC=4结合相似三角形的性质可得DE的长.
22．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测b卷）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
23．（2019九上·龙岗期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=6，
由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；
（2）解：存在，
理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵点P是CQ的垂直平分线上，
过点P作PM⊥AC，
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= = (3+t)
∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1；
（3）解：不存在
理由：由运动知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC， ，
∴ ，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合直角三角形性质，由△APC∽△ACB，得 ；（2）过点P作PM⊥AC，根据线段垂直平分线性质，求QM，AM的表达式，证△APM∽△ABC，得 ， ；（3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得 ， 得BP=2t=3，故PQ≠BP.
24．（2023·东区模拟）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 (1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°， BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE
∴=，故答案为：
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算。
（2）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）探究二：先画出图形得到图3，利用勾股定理得到 ，再证明，得到 ，则 ，接着利用旋转的性质得，所以 ，然后根据相似三角形的判定方法得到 ，再利用相似的性质可得 ，
（4）一般规律：
作FM⊥AD，垂足为M，依据勾股定理可得Rt△ABD中， ，再根据 ，可得 ，利用旋转的性质得 ， 得出 ，最后得出．
1 / 1北师大版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九上·威宁期末）已知，若，则＝（ ）
A．12 B．15 C．16 D．1
2．（2024·南昌模拟）如图，已知AB//CD//EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，则BC的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024九上·双流期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个正方形
C．两个菱形 D．两个矩形
4．（2018八下·肇源期末）在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·仁寿期中） 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·江夏月考）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．
C．， D．，
7．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·南山模拟） 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．5.5cm
9．（2024九下·隆昌月考）若与相似且对应中线之比为，则周长之比和面积比分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024·沙坪坝模拟）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．30
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2016九上·盐城开学考）如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件： ，使△AOB∽△COD．
12．（2024九下·香洲月考）若，则 ．
13．（2023九上·简阳期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
14．（2023八下·绿园期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小艺的眼睛离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为 米
15．（2024九下·祁阳月考） 若，且，的面积为，则的面积为 .
16．（2023·盘锦）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·钟山期末） 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，过点D作AE的垂线分别交AE，AB于点F，G．
（1）求证：；
（2）若，，求AE的长．
18．（2023九上·杭州期中）如图，△ABC∽△ACD．
（1）若CD平分∠ACB，∠ACD=40°，求∠ADC的度数.
（2）若AD＝2，BD＝3，求AC的长．
19．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
20．（2016·姜堰模拟）如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）
（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；
（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．
21．（2022·泗阳模拟）如图，，.
（1）与相似吗？为什么？
（2）如果，，那么的长为多少？
22．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测b卷）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
23．（2019九上·龙岗期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
24．（2023·东区模拟）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
（1）【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
（3）探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
（4）【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可.
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例求出BC的长，进而根据线段的运算即可求解。
3．【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】A、∵两个平行四边形不一定相似，∴A不符合题意；
B、∵两个正方形一定相似，∴B符合题意；
C、∵两个菱形不一定相似，∴C不符合题意；
D、∵两个矩形不一定相似，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的判定方法分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ= ，
则PQ=AP+BQ-AB=
故答案为：C
【分析】根据黄金分割点的概念可得AP和BQ，则PQ=AP+BQ-AB
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得在中，
根据相似三角形的判定定理可得，
添加 ，能判定 ，故A选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故B选项不符合题意；
添加 ，能判定 ，故C选项不符合题意；
添加 ，不能判定 ，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得再利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
B、∵
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
C、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴不能判断△ABC∽△ADE，此选项符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断A选项；根据“三边对应成比例的两个三角形相似”可判断B选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断两个三角形相似，但给定的条件是“两边对应成比例且其中一边的对角相等”，这两个条件不能判断两个三角形相似，据此可判断C选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：，
解得：x=4；
即蜡烛火焰的高度是4cm.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例计算即可.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：与相似，且对应中线之比为，
其相似比为，
与周长之比为，
与面积比为，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质求解即可。
10．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，，的周长为3，
∴和的相似比为：，
∴和的周长比为：，
∴的周长为6；
故答案为：A
【分析】根据位似结合即可得到和的相似比为：，进而即可求解。
11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】题中已给出一组对顶角相等，我们只要再给出另一组对应角相等，或两组对应边成比例即可．
∵∠COD=∠AOB， ∴只要∠OAB=∠OCD，∠ODC=∠OBA，∠OAB=∠ODC，∠OCD=∠OBA，AB∥CD等等，
其中一项符合即可，答案不唯一．
【分析】由图知，∠COD=∠AOB，根据相似三角形的判定添加的条件可以是∠A=∠C（答案不唯一，只要符合相似三角形的判定定理即可）。
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a=，
∴，
故答案为：.
【分析】根据已知条件得到a=，再把a=代入所求式子进行计算，即可得出答案.
13．【答案】95°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95°.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
14．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
∴，
解得：CD=8，
故答案为：.
【分析】证明△AOB∽△COD，，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可．
15．【答案】32
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，且
∴
∵的面积为，即
解得：
故答案为：32
【分析】根据相似三角形性质可得，再代入的面积，即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，且点A（2，6），
∴点A'（2×，6×）或[2×（-），6×（-）]，即点A的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，设原图形上一点P（x，y），则其对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，∠B=90°
∴∠DAF=∠AEB ∵DG⊥AE ∴∠AFD=90°
∴∠AFD=∠B ∴△ADF∽△EAB
（2）解：∵△ADF∽△EAB ∴ ，AD=6， AF=
又∵点E是BC的中点
∴BE==3 ∴
∴AE=
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，∠B=90° ，进而得到∠DAF=∠AEB ，结合图形得到∠AFD=90°，∠AFD=∠B ，最后根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）利用相似三角形的性质以及线段中点的性质列出比例式，代入数据计算即可求解.
18．【答案】（1）解：∵CD平分∠ACB，∠ACD=40°
∴∠ACD=∠BCD=40°
∵△ABC∽△ACD
∴∠ABC=∠ACD=40°
∴∠ADC=80°
（2）解：∵CD=2，BD=3
∴AB=5
∵△ABC∽△ACD
∴
∴，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据△ABC∽△ACD和CD平分∠ACB得出∠B和∠BCD的度数，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个外角和即可求出∠ADC的度数.
（2）先算出AB的长，由△ABC∽△ACD可得出，再把AB和AD的长代入求值即可.
19．【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
20．【答案】（1）解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）
（2）解：如图所示：△A2B2C2
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．
21．【答案】（1）解：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB=2AD，BC=4，
∴，
∴DE=2，
即DE的长为2.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据∠BAD=∠CAE结合角的和差关系可得∠BAC=∠DAE，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）根据AB=2AD，BC=4结合相似三角形的性质可得DE的长.
22．【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
23．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=6，
由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；
（2）解：存在，
理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵点P是CQ的垂直平分线上，
过点P作PM⊥AC，
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= = (3+t)
∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1；
（3）解：不存在
理由：由运动知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC， ，
∴ ，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合直角三角形性质，由△APC∽△ACB，得 ；（2）过点P作PM⊥AC，根据线段垂直平分线性质，求QM，AM的表达式，证△APM∽△ABC，得 ， ；（3）假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，则PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得 ， 得BP=2t=3，故PQ≠BP.
24．【答案】（1）
（2）解：，
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
（4）解：如图3，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】 (1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD=AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴∠BFE=∠ABD=45°， BE=EF，
∴BF=BE，
∴DF=BD-BF=AB-BE=(AB-BE)=AE
∴=，故答案为：
【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质计算。
（2）先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（3）探究二：先画出图形得到图3，利用勾股定理得到 ，再证明，得到 ，则 ，接着利用旋转的性质得，所以 ，然后根据相似三角形的判定方法得到 ，再利用相似的性质可得 ，
（4）一般规律：
作FM⊥AD，垂足为M，依据勾股定理可得Rt△ABD中， ，再根据 ，可得 ，利用旋转的性质得 ， 得出 ，最后得出．
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