北师大版数学九年级上册《第五章 投影与视图》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
2．由四个相同的小立方体拼成的几何体如图所示， 当光线由上向下垂直照射时， 该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·历城期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
4．（2021九上·包头期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
5．（2020九上·佛山月考）如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④
6．（2022九上·济南期末）如图所示，在房子的屋檐处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区（ ）
A．△ACE B．△ADF C．△ABD D．四边形BCED
7．（2024·中山模拟）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．3个
8．（2017·东丽模拟）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
10．（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2 的正方形，俯视图是边长为2 的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B．12 C．6 D．3
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·容县模拟）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为 尺．
12．（2024·镇海区月考）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8，则a的值是 ．
13．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的影长为 ．
14．（2021九上·青岛期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的长度为 m．
15．（2023九上·府谷期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”）.
16．（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·锦江期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试．
（1）如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
18．（2023九上·贵阳月考）由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的小正方体个数.
（1）请画出它的主视图和左视图；
（2）如果要给这个几何体喷上颜色(底面不喷色)，需要喷色的面积为 ；
（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加 个小正方体.
19．（2023·长安模拟）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长.（结果精确到.
20．（2023九上·历下期中） 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
21．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。
22．（2022九上·长清期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
23．（2021九上·大竹期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 .
①若木杆 的长为 ，则其影子 的长为 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆 直立于地面，请画出表示此时木杆 在地面上影子的线段 ；
（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 .
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点 ；
②若木杆 的长为 ，经测量木杆 距离地面 ，其影子 的长为 ，则路灯 距离地面的高度为 .
24．（2023·深圳模拟）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
（1）如图3，点，，则投影比k的值为 ；
（2）如图4，若点，点且投影比，则点P的坐标可能是 （填写序号）；
；；；．
（3）如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点D，若的投影比，求点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图会看到两个小耳朵，左视图小耳朵在中间位置，为一条线段；俯视图为多个同心圆（夹在中间的圆为虚线），故三个视图各不相同.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意，该几何体在水平投影面上的正投影如图.
故答案为：A．
【分析】依据平行投影的定义进行解答．
3．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴ m
故答案为：D
【分析】根据题意求出 ，再计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴，
即，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故答案为：D．
【分析】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。
5．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②．
故答案为：B．
【分析】根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长，据此判断即可.
6．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，
故答案为：C．
【分析】根据图象直接可得盲区。
7．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示的结论，
组成该几何体的小正方体的个数最少为2+2+1+1=6(个)，
故答案为：B.
【分析】利用在俯视图中标注出相应正方体的个数即可得出结论.
8．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个矩形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，
故答案为：B
【分析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个矩形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，即可得答案
9．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可以画出左视图如图，
所以这个几何体的左视图的面积为4
故答案为：B
【分析】根据俯视图画出左视图，再求出面积。
10．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
俯视图是边长为的正三角形，
正方形一边BC=，俯视图中的∠B=60°，
AD=ABsin60°==3，
主视图是边长为的正方形，左视图的面积为，
所以C选项是正确的.
【分析】左视图的面积并不是直棱柱的侧面积，而是侧面的投影面积，注意不要混淆。
11．【答案】45
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：设这根竹竿的长度为x尺，
根据题意得，
解得x=45，
故答案为：45．
【分析】根据同一时刻，物高与影长成正比例计算即可．
12．【答案】2
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由左视图知底面正三角形的高为，
∴底面正三角形的边长为4，
∴底面正三角形面积为，
∵这个正三棱柱的表面积为，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此求出该正三棱柱的表面积，进而求得a的值．
13．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：过作轴于点E，交AB于点M，如图，
因为P（2，2），A（0，1），B（3，1），
所以PM=1，PE=2，AB=3，
因为AB//CD，
所以，
所以，
所以CD=6，
故答案为：6.
【分析】利用中心投影，作轴于点E，交AB于点M，如图，证明，再利用相似比即可求出CD的长.
14．【答案】2.3
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过N点作于点D，
则四边形是矩形，
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，
∴，
∵，，，，
∴，
∴．
【分析】过N点作于点D，利用平行投影的性质即可得出答案。
15．【答案】中心
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：由于光源是由一点发出的，因此是中心投影.
故答案为：中心.
【分析】根据平行投影以及中心投影的概念进行判断.
16．【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：，
，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
，
解得．
灯泡离地面的高度为；
（2）解：设横向影子，的长度和为ycm，
同理可得，
解得．
即横向影子，的长度和为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，即可得出答案；
（2）利用（1）的同样方法即可得出答案.
18．【答案】（1）解：主视图和左视图如图所示.
（2）32
（3）1
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：(2)给这个几何体喷上颜色( 底面不喷色)，需要喷色的面有上面4，左面5，右面5，前面7，后面7，中间夹缝里4，一共32个，所以喷色的面积为32.
故答案为：32.
(3)在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体.
故答案为：1.
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形.
19．【答案】解：设长为xm，
，，，，
，
m，
，
，即，
解得：.
经检验，是原方程的解，且符合题意，
路灯高的长约为6.1m.
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【分析】设CD=xcm，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得MA∥CD∥BN，根据等腰直角三角形的性质得EC=CD=xm，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BN∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程求解可得x的值.
20．【答案】（1）中心投影
（2）解：
由题意得：，，
，，
，即，
解得：
答：路灯的高度OP为5m．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【解答】解：（1）∵此光源是点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】（1）利用中心投影的定义分析求解即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入可得，再求出OP的长即可.
21．【答案】（1）平行
（2）解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．
则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，，即，
解得CD=7，即电线杆的高度为7米．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】（1）这是利用了平行投影的有关知识；
该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的；
故答案是：平行；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【分析】此题考查了平行投影，涉及知识点有矩形的性质和相似三角形对应边成比例求值问题。
22．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高6.4米．
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）根据要求作出图象即可。
23．【答案】（1）1；如图所示，线段 即为所求；
（2）①如图所示，点 即为所求；
②过点 作 分别交 、 于点 、
∵ ∥
∴
， ，
解得： ，
路灯 距离地面的高度为3米.
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：（1）①根据题意： ∥ ， ∥ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ；
故答案为：1；
【分析】（1）①利用太阳光线的投影是平行投影，可证得四边形是平行四边形，可证得AB=A'B'，即可求出A'B'的长；
②利用太阳光线的投影是平行投影，过点C作CM∥BB'，交A'D于点M，DM就是木杆AB的影子；
（2）①利用路灯灯泡是中心投影，因此连接E'E，F'F并延长交于点，点P的位置就是灯泡的位置；
②过点P作PH⊥E'F'，交EF，E'F'于点G，H，可得到EF∥E'F'，可推出△PEF∽△PE'F'，利用相似三角形的对应边成比例，可求出PG的长，即可得到PH的长.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：点D在函数（其中）的图象上，
设点D坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点D坐标为，点M坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；平行投影
【解析】【解答】解：（1）(1)过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，
如图3：，
则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，
∵B(3，5)，
∴BD=5，BC=3，
∴△OAB的投影比k的值为，
故答案为：，
（2）如图：
，
①点P的坐标为(1，-5)时，△MNP投影比k==2；
②点P的坐标为(0，2)时，△MNP投影比k=；
③点P的坐标为(-3，)时，△MNP投影比k=；
④点P的坐标为(4，-1)时，△MNP投影比k=；
∴点P的坐标可能是①（1，-5）；③；
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出BD=5，BC=3，再求解即可；
（2）先作图，再根据投影比的定义求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
1 / 1北师大版数学九年级上册《第五章 投影与视图》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图完全相同 B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同 D．三视图各不相同
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图会看到两个小耳朵，左视图小耳朵在中间位置，为一条线段；俯视图为多个同心圆（夹在中间的圆为虚线），故三个视图各不相同.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案.
2．由四个相同的小立方体拼成的几何体如图所示， 当光线由上向下垂直照射时， 该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据题意，该几何体在水平投影面上的正投影如图.
故答案为：A．
【分析】依据平行投影的定义进行解答．
3．（2020九上·历城期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=4.5m．则路灯的高度OP为（ ）
A．3m B．4m C．4.5m D．5m
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴ m
故答案为：D
【分析】根据题意求出 ，再计算求解即可。
4．（2021九上·包头期末）如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（ ）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴，
即，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故答案为：D．
【分析】先求出△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，再求出BC=1.2，DE=2.4，最后求解即可。
5．（2020九上·佛山月考）如图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．②①③④
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．可知先后顺序是④③①②．
故答案为：B．
【分析】根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长，据此判断即可.
6．（2022九上·济南期末）如图所示，在房子的屋檐处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区（ ）
A．△ACE B．△ADF C．△ABD D．四边形BCED
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，
故答案为：C．
【分析】根据图象直接可得盲区。
7．（2024·中山模拟）某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）
A．4个 B．6个 C．7个 D．3个
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示的结论，
组成该几何体的小正方体的个数最少为2+2+1+1=6(个)，
故答案为：B.
【分析】利用在俯视图中标注出相应正方体的个数即可得出结论.
8．（2017·东丽模拟）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个矩形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，
故答案为：B
【分析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个矩形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，即可得答案
9．（2022·包头）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正方体，可以画出左视图如图，
所以这个几何体的左视图的面积为4
故答案为：B
【分析】根据俯视图画出左视图，再求出面积。
10．（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2 的正方形，俯视图是边长为2 的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC，
俯视图是边长为的正三角形，
正方形一边BC=，俯视图中的∠B=60°，
AD=ABsin60°==3，
主视图是边长为的正方形，左视图的面积为，
所以C选项是正确的.
【分析】左视图的面积并不是直棱柱的侧面积，而是侧面的投影面积，注意不要混淆。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·容县模拟）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为 尺．
【答案】45
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：设这根竹竿的长度为x尺，
根据题意得，
解得x=45，
故答案为：45．
【分析】根据同一时刻，物高与影长成正比例计算即可．
12．（2024·镇海区月考）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8，则a的值是 ．
【答案】2
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由左视图知底面正三角形的高为，
∴底面正三角形的边长为4，
∴底面正三角形面积为，
∵这个正三棱柱的表面积为，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此求出该正三棱柱的表面积，进而求得a的值．
13．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，则木杆在轴上的影长为 ．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【解答】解：过作轴于点E，交AB于点M，如图，
因为P（2，2），A（0，1），B（3，1），
所以PM=1，PE=2，AB=3，
因为AB//CD，
所以，
所以，
所以CD=6，
故答案为：6.
【分析】利用中心投影，作轴于点E，交AB于点M，如图，证明，再利用相似比即可求出CD的长.
14．（2021九上·青岛期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ 的长度为 m．
【答案】2.3
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，过N点作于点D，
则四边形是矩形，
根据同一时刻木竿长和影子长的比是固定的，
∴，
∵，，，，
∴，
∴．
【分析】过N点作于点D，利用平行投影的性质即可得出答案。
15．（2023九上·府谷期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”）.
【答案】中心
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：由于光源是由一点发出的，因此是中心投影.
故答案为：中心.
【分析】根据平行投影以及中心投影的概念进行判断.
16．（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·锦江期末）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试．
（1）如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
【答案】（1）解：，
，．
∽．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
，
解得．
灯泡离地面的高度为；
（2）解：设横向影子，的长度和为ycm，
同理可得，
解得．
即横向影子，的长度和为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出∽，再利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，即可得出答案；
（2）利用（1）的同样方法即可得出答案.
18．（2023九上·贵阳月考）由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的小正方体个数.
（1）请画出它的主视图和左视图；
（2）如果要给这个几何体喷上颜色(底面不喷色)，需要喷色的面积为 ；
（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加 个小正方体.
【答案】（1）解：主视图和左视图如图所示.
（2）32
（3）1
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：(2)给这个几何体喷上颜色( 底面不喷色)，需要喷色的面有上面4，左面5，右面5，前面7，后面7，中间夹缝里4，一共32个，所以喷色的面积为32.
故答案为：32.
(3)在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体.
故答案为：1.
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形.
19．（2023·长安模拟）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长.（结果精确到.
【答案】解：设长为xm，
，，，，
，
m，
，
，即，
解得：.
经检验，是原方程的解，且符合题意，
路灯高的长约为6.1m.
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【分析】设CD=xcm，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得MA∥CD∥BN，根据等腰直角三角形的性质得EC=CD=xm，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BN∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程求解可得x的值.
20．（2023九上·历下期中） 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【答案】（1）中心投影
（2）解：
由题意得：，，
，，
，即，
解得：
答：路灯的高度OP为5m．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【解答】解：（1）∵此光源是点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】（1）利用中心投影的定义分析求解即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入可得，再求出OP的长即可.
21．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．
（1）该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。
【答案】（1）平行
（2）解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．
则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，，即，
解得CD=7，即电线杆的高度为7米．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】（1）这是利用了平行投影的有关知识；
该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的；
故答案是：平行；
（2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得CD即电线杆的高度即可．
【分析】此题考查了平行投影，涉及知识点有矩形的性质和相似三角形对应边成比例求值问题。
22．（2022九上·长清期中）如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．
（1）求路灯B的高度；
（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴米，米，
∴，解得：．
∴路灯高6.4米．
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可；
（2）根据要求作出图象即可。
23．（2021九上·大竹期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 .
①若木杆 的长为 ，则其影子 的长为 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆 直立于地面，请画出表示此时木杆 在地面上影子的线段 ；
（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 .
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点 ；
②若木杆 的长为 ，经测量木杆 距离地面 ，其影子 的长为 ，则路灯 距离地面的高度为 .
【答案】（1）1；如图所示，线段 即为所求；
（2）①如图所示，点 即为所求；
②过点 作 分别交 、 于点 、
∵ ∥
∴
， ，
解得： ，
路灯 距离地面的高度为3米.
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：（1）①根据题意： ∥ ， ∥ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ；
故答案为：1；
【分析】（1）①利用太阳光线的投影是平行投影，可证得四边形是平行四边形，可证得AB=A'B'，即可求出A'B'的长；
②利用太阳光线的投影是平行投影，过点C作CM∥BB'，交A'D于点M，DM就是木杆AB的影子；
（2）①利用路灯灯泡是中心投影，因此连接E'E，F'F并延长交于点，点P的位置就是灯泡的位置；
②过点P作PH⊥E'F'，交EF，E'F'于点G，H，可得到EF∥E'F'，可推出△PEF∽△PE'F'，利用相似三角形的对应边成比例，可求出PG的长，即可得到PH的长.
24．（2023·深圳模拟）目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标．这些目标通常可以通过图像或视频来识别．在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边同轴平行的矩形框进行标示．
在平面直角坐标系中，针对目标图形G，可以用其投影矩形来检测．图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图2，矩形为的投影矩形，其投影比．
（1）如图3，点，，则投影比k的值为 ；
（2）如图4，若点，点且投影比，则点P的坐标可能是 （填写序号）；
；；；．
（3）如图5，已知点，在函数（其中）的图象上有一点D，若的投影比，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：点D在函数（其中）的图象上，
设点D坐标为，
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
，
，
解得：，
；
当时，如图所示，
，
作投影矩形，
点D坐标为，点M坐标为，
，，
，
，
，
解得：，
点D的坐标为，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；平行投影
【解析】【解答】解：（1）(1)过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为D、C，
如图3：，
则矩形ODBC为△OAB的投影矩形，
∵B(3，5)，
∴BD=5，BC=3，
∴△OAB的投影比k的值为，
故答案为：，
（2）如图：
，
①点P的坐标为(1，-5)时，△MNP投影比k==2；
②点P的坐标为(0，2)时，△MNP投影比k=；
③点P的坐标为(-3，)时，△MNP投影比k=；
④点P的坐标为(4，-1)时，△MNP投影比k=；
∴点P的坐标可能是①（1，-5）；③；
故答案为：①③.
【分析】（1）根据题意先求出BD=5，BC=3，再求解即可；
（2）先作图，再根据投影比的定义求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
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