北师大版数学九年级上册《第六章 反比例函数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·杭州模拟）某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论：
①函数的图象与轴有交点；
②函数的图象与轴没有交点：
③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上.
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）
3．（2024·天津） 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·平江二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与x轴没有交点 B．当时
C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小
5．（2024·宜州模拟）如图，反比例函数的图象与的直角边AB相交于点C，直角顶点B在x轴上，交斜边AO于点D．若，且，则k的值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
6．（2023·福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2022·长清模拟）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·长春净月高新技术产业开发模拟）如图，在Rt中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．2.5
9．（2024·叙州模拟）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的边OB在y轴上，∠ABO＝90°，OB，点C在AB上，，且∠BOC＝∠A，若双曲线y经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．如图 ，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 两点， 点 的横坐标为 1 ， 点 的横坐标为 -2 ， 当 时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．
12．（2024·齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，，则实数k的值为 ．
13．（2024·遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限.
14．（2023·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．
15．（2024·杭州模拟）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图象上，则点也必定在的图象上.其中正确结论的序号有 .
16．（2024·福田一模）如图，在平行四边形OABC中，点C在y轴正半轴上，点D是BC的中点，若反比例函数的图象经过A，D两点，且的面积为2，则 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024·青海） 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
18．（2024·临夏）如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝﹣在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
19．（2024·仪陇模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P是y轴上一点，且，求点P的坐标．
20．（2023·宁乡市模拟） 如图矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标．
（2）若点是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的表达式．
21．（2024·镇海区模拟） 如图，直线与双曲线相交于点．
（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求的面积．
22．（2024·南昌模拟）如图，△ABC的各顶点都在反比例函数y＝的图象上，其中A（m－3，－4），B（4－m，6）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若直线AB解析式为y＝ax＋b，求的解集；
（3）若反比例函数图象上的点C的横坐标为－12，将线段BC平移到线段AD，（点B与点A重合）请判断四边形ABCD的形状．
23．（2024·珠海模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
24．（2024·青羊模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，．
（1）求的值；
（2）点在线段上（不与端点重合），若，求的面积；
（3）将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：函数y=x-，令y=0，则x-=0，即x2-2=0得x1=-，x2=，故①正确；
分式中，x≠0，故函数与y轴无交点，故②错误；
(a，b)在函数图象上，则有a-，则有，即，故也在函数图象上.
故答案为：B.
【分析】分别令y=0，求x的值可判断 ①，令x=0时无意义，即可判断
2．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入
∴．
∴反比例函数的解析式为，
设直线OA的解析式为，
把代入
得：2=4k，解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，
∴，直线OB 解析式为，
点C在反比例函数图象上，设，代入，
得，即
过点y轴于点H，如图：
∴
在△BCH中，由勾股定理得：
即：
解得：a=2，代入得，
解得：m=3
∴
故答案为：B．
【分析】由待定系数法求得反比例函数解析式，直线OA的解析式为，设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，得，直线OB 解析式为，设，代入，得到，过点y轴于点H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，进而得出m=3，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵5＞0，
∴反比例函数的图象的两个分支分居在一，三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵-1＜0，5＞1＞0，
∴A在第三象限，B，C在第一象限，
∴x1＜x3＜x2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、因为由图象可知，图象与x轴没有交点，A说法正确；
B、由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，B说法错误；
C、由图象可知，图象关于点（1，0）成中心对称，C说法错误；
D、当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，D说法错误；
故答案为：A．
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，如图：
∵△ODE的面积和△OBC的面积相等，都是，
∵△S△OAC=16，
∴△OBA的面积，
∵AD：OD=2：3，
∴OD：OA=3：5，
∵DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴，
∴，
解得：k=18，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出△OBA的面积，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ODE∽△OAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可列式求出k的值.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形为正方形，
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠ACO=∠BDO=90°，∠CAO=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC=S△OBD==，
∴n=-3.
故答案为：A.
【分析】连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，利用AAS证明△AOC≌△OBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=S△OBD==，据此可得n的值.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，
当a＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
A、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，不符合题意；
B、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，符合题意；
C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，不符合题意；
D、图中直线经过第二、四象限，双曲线经过第一、三象限，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】
解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，
∵点A、B都在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点A的坐标为，
∴．
故答案为：C
【分析】
过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N，构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠BOC＝∠A， ∠ABO＝∠OBC，
∴，
∴，
∴，
∵OB，，
∴，
∴BC=1（负根舍去）
∴C（1，），
∵ 双曲线y经过点C，
∴，
故答案为；B。
【分析】先证，根据相似三角形的性质求出BC，得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，当 时，x的取值范围是x<-2或0故答案为：B.
【分析】观察图象，求y1＜y2时自变量的取值范围，从图象角度看，就是求直线在双曲线下方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出结论.
11．【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
12．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
根据题意得AD垂直y轴，
∵B(-1，3)，
∴D(0，3)，
∴OD=3，
∵，
∴，
∴OC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=1，
∴A(-2，3)，
∵点A在反比例函数上，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形的面积以及性质得AB=OC=1，从而求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
13．【答案】四
【知识点】反比例函数的图象；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k-1＞0，
∴k＞1，
∴点（k，-3）在第四象限.
故答案为：四.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，进而根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图所示：
延长CA交x轴于点D.
∵CA//y轴，
∴CA⊥x轴.
∵AO=AB=2，
∴OD=DB，∠OAD=∠BAD.
∵将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO=2∠OAD.
又∵∠CAO+∠OAD=180°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AOD=30°，
∴.
∴点C坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CA交x轴于点D，由CA//y轴，得CA⊥x轴.于是得∠OAD=∠BAD.再由翻折得到∠CAO=∠BAO=2∠OAD，从而得到∠OAD=60°，∠AOD=30°，所以可以根据OA=2，得到OD，AD的值，进而得到点C的坐标，k的值可求.
15．【答案】①②④
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
x ... -5 -3 -2 0 1 3 ...
y ... -5 -4 -5 5 4 5 ...
(x，y) ... (-5，-5) (-3，-4) (-2，-5) (0，5) (1，4) (3，5) ...
随着描点的数量不断增加，其草图如下，
不妨令x+1=t，
当x>-1时，即t>0时，，
当且仅当，即t=2，x=1，故①正确，符合题意；
同理，结合图象分析可知，当x=-3时，y=-4，即在x<-1时，y存在最大值-4，此时结合草图分析 当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意；
由草图可知，当y>5时，或，故③错误，不符合题意；
由描点可知，其图形关于(-1，0)对称，即当x=a时，y=b，，
则有x=-a-2，y=-b，.
故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断.
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：延长BA交x轴于E，如图，
∵的面积为2，点D是BC的中点，
∴
设点A的坐标为，
∵
∴
∴
∴
∵点A、D在反比例函数图象上，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据已知条件求出平行四边形OABC的面积，然后设点A的坐标为，则进而根据中点坐标公式得到最后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程据此即可求出k的值.
17．【答案】（1）解：把点代入中
得
点的坐标为
把点代入中
得
点的坐标为
把代入中
得.
一次函数的解析式为.
（2）解：的解集为或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当x＜0时，直线在反比例函数图象的上边；
又在点A和点B之间，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
∵A（1，9）和点B（9，1），
∴当1＜x＜9时，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
即：不等式的解集 为：当x＜0或1＜x＜9.
【分析】（1）首先根据点A，B在反比例函数图象上，求出m，n的值，再根据点A或点B在一次函数图象上，求出b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据函数图象，找到直线在双曲线上边部分时所对应的自变量的取值范围，就是不等式的解集.
18．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
所以2＝﹣，解得a＝﹣2，
将A（﹣2，2）代入y＝kx，
∴k＝﹣1；
（2）解：∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF，
∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，
∴C（﹣m，2m），
∵双曲线y＝﹣过点C，
∴﹣m 2m＝﹣4，
解得m＝或﹣（舍去），
∴m＝．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，得到关于a的方程，求解可得a，再把点A坐标代入y＝kx ，即可得k值；
（2）点C作CF⊥y轴于点F，证明△CFP≌△EOP，可得CF＝OE，OP＝PF.根据平移后一次函数的解析式得到点P和E的坐标，根据CF和OF的长可得点C坐标，代入反比例函数，即可求出m的值.
19．【答案】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∵点，在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：
（2）设直线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∴，
设点P的坐标为，
由题意得，，
解得，，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标求出m的值，再将点A、B的坐标分别代入求出一次函数解析式即可；
（2）先求出一次函数与y轴的交点坐标，再利用割补法求出， 设点P的坐标为， 可得，再求出n的值即可.
20．【答案】（1）解：点的坐标为，点是的中点，
，
点在反比例函数上，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
四边形是矩形，点的坐标为，
当时，，
点坐标为；
（2）解：为等腰三角形，
，
点的坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据 线段中点的点的坐标可求出点D坐标，再将点D坐标反比例函数的解析式可得 反比例函数的解析式为． 再根据矩形性质即可求出点E坐标。
（2）根据等腰三角形性质可得点F坐标， 设直线的解析式为， 代入B，F点坐标即可求出答案。
21．【答案】（1）解：把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）解：由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）解：设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入双曲线解析式中即可求出m值，从而知道双曲线的解析式；将A点坐标代入双曲线解析式中即可求出n的值，分别将A和B点坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线的解析式.
（2）观察图形即可知道不等式的解集.
（3）分别作出点A和点B到y轴和x轴的距离，求出AE和BF长度，根据已知条件求出OC和OD长度，利用面积割补法即可求出△ABO的面积.
22．【答案】（1）解：∵A（m－3，－4），B（4－m，6）恰好落到双曲线上，
∴－4（m－3）＝6（4－m），解得m＝6
∴A（3，－4），将A（3，－4）代入y＝，得到k＝－12
∴反比例函数解析式为y＝－．
（2）解：由（1）可知A（3，－4），B（－2，6），由得到ax＋b≥，根据图象可知，ax＋b≥的解集为x≤－2或0＜x≤3
故由ax≥－b的解集为x≤－2或0＜x≤3
（3）解：四边形ABCD是正方形．
理由：由点C的横坐标为－12，可得点C（－12，1），线段BC沿BA平移到线段AD位置，可得BC//AD，BC＝AD，所以四边形ABCD是平行四边形．
过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，（即AG⊥x轴，FH⊥x轴）过点B作x轴的平行线FG．
∴AG∥FH，
∴FG⊥CF，FG⊥AG．
∴G（3，6），F（－12，6）．
由坐标可知AG＝BF，BG＝CF，
∴△BCF≌△ABG．∴BC＝AB，∠CBF ＝∠BAG．
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠BAG ＋∠ABG＝90°，
∴∠CBF ＋∠ABG＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴四边形ABCD是正方形．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行线的性质；三角形全等的判定；正方形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数图象上的坐标特征即可求出m，进而即可得到解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题结合点A和点B的坐标即可求解；
（3）过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，（即AG⊥x轴，FH⊥x轴）过点B作x轴的平行线FG，进而根据平行线的性质得到FG⊥CF，FG⊥AG，从而得到点G和点F的坐标，由坐标可知AG＝BF，BG＝CF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△BCF≌△ABG得到BC＝AB，∠CBF ＝∠BAG，从而根据菱形的判定得到四边形ABCD是菱形，再根据正方形的判定即可求解。
23．【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：不等式的解集为或；
（3）解：令中的x=0，则y=-2，
∴，
设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）知，，
∴由图象可得不等式的解集为或；
【分析】（1）由点B坐标可得反比例函数解析式，然后由反比例函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）根据点A，B的坐标，找出一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可；
（3）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点C的坐标，根据点的坐标与图形的性质，设点的坐标为，则，求出，表示出，然后根据二次函数求最值的方法计算即可．
24．【答案】（1）解：将代入直线得，，
再将代入得
（2）由（1）得直线，双曲线，点坐标
坐标，坐标
过作于点，
为中点 纵坐标为
解的，（舍）
可得，
（3）将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点．由直线可得直线解析式
联立得
为中点，则
由及可求得直线解析式
联立得
当时，将点沿直线翻折后的对应点会落在轴上
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由题意，将点C的坐标代入直线解析式可求得m的值，再将点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解；
（2）由题意易将点M、N的坐标用含t的代数式表示出来，过点C作CH⊥MN于H，根据等腰三角形的三线合一可得H为MN的中点，由中点坐标公式可将点H的坐标用含t的代数式表示出来，根据C、H两点的纵坐标相同可得关于t的方程，解方程求出t的值，则可得点M、N的坐标，于是三角形BCN的面积可求解；
（3）将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点Q，根据直线L与直线OP互相垂直和中点的定义可求得点Q、P的坐标，用待定系数法求得直线l 的解析式，将直线l 和反比例函数的解析式联立解方程组可求x的值，根据N 在x轴上可求得t的值.
1 / 1北师大版数学九年级上册《第六章 反比例函数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·杭州模拟）某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论：
①函数的图象与轴有交点；
②函数的图象与轴没有交点：
③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上.
以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：函数y=x-，令y=0，则x-=0，即x2-2=0得x1=-，x2=，故①正确；
分式中，x≠0，故函数与y轴无交点，故②错误；
(a，b)在函数图象上，则有a-，则有，即，故也在函数图象上.
故答案为：B.
【分析】分别令y=0，求x的值可判断 ①，令x=0时无意义，即可判断
2．（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入
∴．
∴反比例函数的解析式为，
设直线OA的解析式为，
把代入
得：2=4k，解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，
∴，直线OB 解析式为，
点C在反比例函数图象上，设，代入，
得，即
过点y轴于点H，如图：
∴
在△BCH中，由勾股定理得：
即：
解得：a=2，代入得，
解得：m=3
∴
故答案为：B．
【分析】由待定系数法求得反比例函数解析式，直线OA的解析式为，设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，得，直线OB 解析式为，设，代入，得到，过点y轴于点H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，进而得出m=3，即可得到答案.
3．（2024·天津） 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵5＞0，
∴反比例函数的图象的两个分支分居在一，三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵-1＜0，5＞1＞0，
∴A在第三象限，B，C在第一象限，
∴x1＜x3＜x2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
4．（2024·平江二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与x轴没有交点 B．当时
C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、因为由图象可知，图象与x轴没有交点，A说法正确；
B、由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，B说法错误；
C、由图象可知，图象关于点（1，0）成中心对称，C说法错误；
D、当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，D说法错误；
故答案为：A．
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可。
5．（2024·宜州模拟）如图，反比例函数的图象与的直角边AB相交于点C，直角顶点B在x轴上，交斜边AO于点D．若，且，则k的值为（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，如图：
∵△ODE的面积和△OBC的面积相等，都是，
∵△S△OAC=16，
∴△OBA的面积，
∵AD：OD=2：3，
∴OD：OA=3：5，
∵DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴，
∴，
解得：k=18，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出△OBA的面积，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ODE∽△OAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可列式求出k的值.
6．（2023·福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵四边形为正方形，
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠ACO=∠BDO=90°，∠CAO=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴S△AOC=S△OBD==，
∴n=-3.
故答案为：A.
【分析】连接正方形的对角线，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，利用AAS证明△AOC≌△OBD，结合反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=S△OBD==，据此可得n的值.
7．（2022·长清模拟）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，
当a＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
A、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，不符合题意；
B、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，符合题意；
C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，不符合题意；
D、图中直线经过第二、四象限，双曲线经过第一、三象限，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象与系数的关系逐项判断即可。
8．（2024·长春净月高新技术产业开发模拟）如图，在Rt中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．2.5
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】
解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，
∵点A、B都在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点A的坐标为，
∴．
故答案为：C
【分析】
过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N，构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
9．（2024·叙州模拟）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的边OB在y轴上，∠ABO＝90°，OB，点C在AB上，，且∠BOC＝∠A，若双曲线y经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠BOC＝∠A， ∠ABO＝∠OBC，
∴，
∴，
∴，
∵OB，，
∴，
∴BC=1（负根舍去）
∴C（1，），
∵ 双曲线y经过点C，
∴，
故答案为；B。
【分析】先证，根据相似三角形的性质求出BC，得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可。
10．如图 ，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 两点， 点 的横坐标为 1 ， 点 的横坐标为 -2 ， 当 时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，当 时，x的取值范围是x<-2或0故答案为：B.
【分析】观察图象，求y1＜y2时自变量的取值范围，从图象角度看，就是求直线在双曲线下方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出结论.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．
【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
12．（2024·齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，，则实数k的值为 ．
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
根据题意得AD垂直y轴，
∵B(-1，3)，
∴D(0，3)，
∴OD=3，
∵，
∴，
∴OC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=1，
∴A(-2，3)，
∵点A在反比例函数上，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形的面积以及性质得AB=OC=1，从而求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
13．（2024·遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限.
【答案】四
【知识点】反比例函数的图象；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴k-1＞0，
∴k＞1，
∴点（k，-3）在第四象限.
故答案为：四.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限，据此结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，进而根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
14．（2023·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图所示：
延长CA交x轴于点D.
∵CA//y轴，
∴CA⊥x轴.
∵AO=AB=2，
∴OD=DB，∠OAD=∠BAD.
∵将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠CAO=∠BAO=2∠OAD.
又∵∠CAO+∠OAD=180°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AOD=30°，
∴.
∴点C坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，
∴.
故答案为：.
【分析】延长CA交x轴于点D，由CA//y轴，得CA⊥x轴.于是得∠OAD=∠BAD.再由翻折得到∠CAO=∠BAO=2∠OAD，从而得到∠OAD=60°，∠AOD=30°，所以可以根据OA=2，得到OD，AD的值，进而得到点C的坐标，k的值可求.
15．（2024·杭州模拟）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下结论：①当时，存在最小值；②当时，随的增大而增大；③当时，自变量的取值范围是；④若点在的图象上，则点也必定在的图象上.其中正确结论的序号有 .
【答案】①②④
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
x ... -5 -3 -2 0 1 3 ...
y ... -5 -4 -5 5 4 5 ...
(x，y) ... (-5，-5) (-3，-4) (-2，-5) (0，5) (1，4) (3，5) ...
随着描点的数量不断增加，其草图如下，
不妨令x+1=t，
当x>-1时，即t>0时，，
当且仅当，即t=2，x=1，故①正确，符合题意；
同理，结合图象分析可知，当x=-3时，y=-4，即在x<-1时，y存在最大值-4，此时结合草图分析 当时，随的增大而增大，故②正确，符合题意；
由草图可知，当y>5时，或，故③错误，不符合题意；
由描点可知，其图形关于(-1，0)对称，即当x=a时，y=b，，
则有x=-a-2，y=-b，.
故④正确，符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】根据题意描点画出函数大致草图，连线过程需注意图象走势并结合完全平方公式得出其最值，最后根据图象和取点算法大致分析其性质作进一步判断.
16．（2024·福田一模）如图，在平行四边形OABC中，点C在y轴正半轴上，点D是BC的中点，若反比例函数的图象经过A，D两点，且的面积为2，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：延长BA交x轴于E，如图，
∵的面积为2，点D是BC的中点，
∴
设点A的坐标为，
∵
∴
∴
∴
∵点A、D在反比例函数图象上，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据已知条件求出平行四边形OABC的面积，然后设点A的坐标为，则进而根据中点坐标公式得到最后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程据此即可求出k的值.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024·青海） 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把点代入中
得
点的坐标为
把点代入中
得
点的坐标为
把代入中
得.
一次函数的解析式为.
（2）解：的解集为或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当x＜0时，直线在反比例函数图象的上边；
又在点A和点B之间，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
∵A（1，9）和点B（9，1），
∴当1＜x＜9时，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
即：不等式的解集 为：当x＜0或1＜x＜9.
【分析】（1）首先根据点A，B在反比例函数图象上，求出m，n的值，再根据点A或点B在一次函数图象上，求出b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据函数图象，找到直线在双曲线上边部分时所对应的自变量的取值范围，就是不等式的解集.
18．（2024·临夏）如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝﹣在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
【答案】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，
所以2＝﹣，解得a＝﹣2，
将A（﹣2，2）代入y＝kx，
∴k＝﹣1；
（2）解：∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF，
∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，
∴C（﹣m，2m），
∵双曲线y＝﹣过点C，
∴﹣m 2m＝﹣4，
解得m＝或﹣（舍去），
∴m＝．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，得到关于a的方程，求解可得a，再把点A坐标代入y＝kx ，即可得k值；
（2）点C作CF⊥y轴于点F，证明△CFP≌△EOP，可得CF＝OE，OP＝PF.根据平移后一次函数的解析式得到点P和E的坐标，根据CF和OF的长可得点C坐标，代入反比例函数，即可求出m的值.
19．（2024·仪陇模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点P是y轴上一点，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∵点，在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：
（2）设直线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∴，
设点P的坐标为，
由题意得，，
解得，，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用点A、B的坐标求出m的值，再将点A、B的坐标分别代入求出一次函数解析式即可；
（2）先求出一次函数与y轴的交点坐标，再利用割补法求出， 设点P的坐标为， 可得，再求出n的值即可.
20．（2023·宁乡市模拟） 如图矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标．
（2）若点是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的表达式．
【答案】（1）解：点的坐标为，点是的中点，
，
点在反比例函数上，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
四边形是矩形，点的坐标为，
当时，，
点坐标为；
（2）解：为等腰三角形，
，
点的坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据 线段中点的点的坐标可求出点D坐标，再将点D坐标反比例函数的解析式可得 反比例函数的解析式为． 再根据矩形性质即可求出点E坐标。
（2）根据等腰三角形性质可得点F坐标， 设直线的解析式为， 代入B，F点坐标即可求出答案。
21．（2024·镇海区模拟） 如图，直线与双曲线相交于点．
（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）解：由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）解：设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入双曲线解析式中即可求出m值，从而知道双曲线的解析式；将A点坐标代入双曲线解析式中即可求出n的值，分别将A和B点坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线的解析式.
（2）观察图形即可知道不等式的解集.
（3）分别作出点A和点B到y轴和x轴的距离，求出AE和BF长度，根据已知条件求出OC和OD长度，利用面积割补法即可求出△ABO的面积.
22．（2024·南昌模拟）如图，△ABC的各顶点都在反比例函数y＝的图象上，其中A（m－3，－4），B（4－m，6）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若直线AB解析式为y＝ax＋b，求的解集；
（3）若反比例函数图象上的点C的横坐标为－12，将线段BC平移到线段AD，（点B与点A重合）请判断四边形ABCD的形状．
【答案】（1）解：∵A（m－3，－4），B（4－m，6）恰好落到双曲线上，
∴－4（m－3）＝6（4－m），解得m＝6
∴A（3，－4），将A（3，－4）代入y＝，得到k＝－12
∴反比例函数解析式为y＝－．
（2）解：由（1）可知A（3，－4），B（－2，6），由得到ax＋b≥，根据图象可知，ax＋b≥的解集为x≤－2或0＜x≤3
故由ax≥－b的解集为x≤－2或0＜x≤3
（3）解：四边形ABCD是正方形．
理由：由点C的横坐标为－12，可得点C（－12，1），线段BC沿BA平移到线段AD位置，可得BC//AD，BC＝AD，所以四边形ABCD是平行四边形．
过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，（即AG⊥x轴，FH⊥x轴）过点B作x轴的平行线FG．
∴AG∥FH，
∴FG⊥CF，FG⊥AG．
∴G（3，6），F（－12，6）．
由坐标可知AG＝BF，BG＝CF，
∴△BCF≌△ABG．∴BC＝AB，∠CBF ＝∠BAG．
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠BAG ＋∠ABG＝90°，
∴∠CBF ＋∠ABG＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴四边形ABCD是正方形．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行线的性质；三角形全等的判定；正方形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数图象上的坐标特征即可求出m，进而即可得到解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题结合点A和点B的坐标即可求解；
（3）过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，（即AG⊥x轴，FH⊥x轴）过点B作x轴的平行线FG，进而根据平行线的性质得到FG⊥CF，FG⊥AG，从而得到点G和点F的坐标，由坐标可知AG＝BF，BG＝CF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△BCF≌△ABG得到BC＝AB，∠CBF ＝∠BAG，从而根据菱形的判定得到四边形ABCD是菱形，再根据正方形的判定即可求解。
23．（2024·珠海模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：不等式的解集为或；
（3）解：令中的x=0，则y=-2，
∴，
设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）知，，
∴由图象可得不等式的解集为或；
【分析】（1）由点B坐标可得反比例函数解析式，然后由反比例函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；
（2）根据点A，B的坐标，找出一次函数在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可；
（3）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点C的坐标，根据点的坐标与图形的性质，设点的坐标为，则，求出，表示出，然后根据二次函数求最值的方法计算即可．
24．（2024·青羊模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，与双曲线交于点，两点，直线分别与直线和双曲线交于，连接，．
（1）求的值；
（2）点在线段上（不与端点重合），若，求的面积；
（3）将点沿直线翻折后的对应点为，当落在轴上时，求的值．
【答案】（1）解：将代入直线得，，
再将代入得
（2）由（1）得直线，双曲线，点坐标
坐标，坐标
过作于点，
为中点 纵坐标为
解的，（舍）
可得，
（3）将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点．由直线可得直线解析式
联立得
为中点，则
由及可求得直线解析式
联立得
当时，将点沿直线翻折后的对应点会落在轴上
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由题意，将点C的坐标代入直线解析式可求得m的值，再将点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解；
（2）由题意易将点M、N的坐标用含t的代数式表示出来，过点C作CH⊥MN于H，根据等腰三角形的三线合一可得H为MN的中点，由中点坐标公式可将点H的坐标用含t的代数式表示出来，根据C、H两点的纵坐标相同可得关于t的方程，解方程求出t的值，则可得点M、N的坐标，于是三角形BCN的面积可求解；
（3）将轴沿直线翻折得直线，过点作交直线于点，交直线于点Q，根据直线L与直线OP互相垂直和中点的定义可求得点Q、P的坐标，用待定系数法求得直线l 的解析式，将直线l 和反比例函数的解析式联立解方程组可求x的值，根据N 在x轴上可求得t的值.
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