浙江省杭州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·杭州月考）若是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·杭州月考）某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·杭州月考）已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为( )
A． B． C． D．
4．（2024高一下·杭州月考）已知平面平面，直线，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一下·杭州月考）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·杭州月考）在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则( )
A． B． C． D．
7．（2024高一下·杭州月考）从年月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，有选错的得分，部分选对且没有选错的得分若某个多选题的正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选个到个选项作为答案，每种答案都等可能例如，选A，，是等可能的，则该题得分的概率是( )
A． B． C． D．
8．（2024高一下·杭州月考）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高一下·杭州月考）掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件为相互独立事件 D．事件与事件对立
10．（2024高一下·杭州月考）已知向量，，下列说法正确的是( )
A．
B．
C．与向量平行的单位向量是
D．向量在向量上的投影向量为
11．（2024高一下·杭州月考）今年春节档两部电影票房突破亿大关，满江红不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作流浪地球则成为最高口碑电影下图是这两部电影连续天的日票房情况，则( )
A．满江红日票房平均数大于流浪地球日票房平均数
B．满江红日票房方差大于流浪地球日票房方差
C．满江红日票房极差小于流浪地球日票房极差
D．满江红日票房的第百分位数小于流浪地球日票房的第百分位数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高一下·杭州月考）复数，和在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数的值为 ．
13．（2024高一下·杭州月考）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
14．（2024高一下·杭州月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·杭州月考）（1）求方程的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足，求的范围．
16．（2024高一下·杭州月考）如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积
（2）若，求点到平面的距离．
17．（2024高一下·杭州月考） 现行国家标准中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．
18．（2024高一下·杭州月考）直角梯形中，，，为的中点，与交于点．
（1）用表示；
（2）设，求实数的值；
（3）求．
19．（2024高一下·杭州月考）在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解、的答案．
问题：在中，三个内角，，所对的边分别是，，，已知 ▲ ．
（1）求角；
（2）若点是满足，且，求的面积的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】由 是虚数单位 得，
即.
故选：C
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】 解：因为这组数据共10个数，
所以10×0.8=8，因此，该组数据的第80百分位数为：.
故选：C．
【分析】 根据百分位数的定义即可求得该组数据的第80百分位数．
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由条件可知，，
由，得，
解得.
故答案为：C.
【分析】直接利用直观图和原图的面积关系求解.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：设，因为平面平面，在平面内作，
所以，
因为，所以∥，因为，，所以，充分性成立
而当平面平面，直线，
时，与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，必要性不成立
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据公式平均数为，
方差为
，
故选：C.
【分析】本题考查平均数和方差公式，通过计算可得正确选项答案。
6．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由于，
故有，
解得，又因为，，
则，
故答案为：A．
【分析】根据三角形面积和余弦定理即可.
7．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意所有的涂法按照列举法有：
A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD
共有14种涂法，
得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，
共有6种，
故能得2分的概率为．
故答案为：B．
【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率．
8．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球O的半径为R，的外心为，
∵外接圆半径为，
则面积为，
∴，
∵最大值，
∴，
即，
解得，
所以球O的表面积为.
故选：A.
【分析】本题考查球的表面积，通过已知条件求得，再通过三棱锥体积公式求得R值，利用对应球的表面积公式，即可得结果.
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：∵事件的概率为，故B项正确；
∵事件的概率为
∴，故A项错误；
∵事件表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，
∴，
又，故事件与事件为相互独立事件，故C项正确；
∵，故事件与事件不是对立事件，故D项错误.
故选：BC.
【分析】根据古典概型的概率公式可得，，所以B正确，利用相互独立事件的定义判断C正确，利用概率的加法公式可判断A项结果错误，不符合，利用对立事件的定义可判断D项错误，不符合。
10．【答案】A,D
【知识点】单位向量；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：，
因为，
所以，故A正确；
对于B：，所以，B错误；
对于C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；
对于D：向量在向量上的投影向量为
，D正确；
故答案为：AD
【分析】利用向量的坐标运算判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A：由图表可知《满江红》日票房均大于《流浪地球日票房，
故《满江红》总票房大于《流浪地球总票房
所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，故A正确；
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；
因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，
因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据图表信息判断即可.
12．【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；三点共线
【解析】【解答】解：复数在复平面内对应的点分别为，
又因为三点是共线的，斜率相等.
所以．
故答案为：5
【分析】利用复数的几何意义和三点共线即可解决.
13．【答案】或
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，因为，
故和所成角即为异面直线与所成角，
又因为，故异面直线与所成角的大小，
故答案为：
【分析】利用平移找到异面直线所成角，可得答案.
14．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：设，的中点与，
则垂直平分，垂直平分，
则.
以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图，
为中垂线交点，连接，
由三角形为锐角三角形，
根据临界位置及图形可知，
而，
所以，
则范围是．
故答案为：.
【分析】根据向量的线性运算和三角形外接圆的性质计算即可.
15．【答案】（1）因为，配方可得，
所以，即，，
所以方程的根为，，它们是共轭复数．
（2）设，由于，则，
所以，所以，
可将问题转化为点到圆上点的距离的范围，
由于到圆圆心的距离为，
所以点到圆距离的最大值为，
点到圆距离的最大值为，
故的范围为
【知识点】点与圆的位置关系；共轭复数
【解析】【分析】（1）利用配方法和和共轭复数的定义判断即可；
（2）将问题转化为点到圆距离的范围，借助距离公式求解即可.
16．【答案】（1）设，
则圆柱的体积为，解得，
所以圆柱的表面积为．
（2）因为是圆柱的母线，所以平面．
因为平面，所以．
因为，平面，
所以平面．
由题意可知，所以四边形是平行四边形，所以，
所以平面．
因为，所以，，，
所以．
因为平面，平面平面，所以．
因为，所以．
所以，
所以．
设点到平面的距离为，
因为，
所以，解得．
所以点到平面的距离为．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由体积公式得到底面半径结合表面积公式即可；
（2）证明线面垂直结合等体积法得出点到平面的距离.
17．【答案】（1）解：由，解得．
则这条鱼汞含量的样本平均数为．
（2）解：样本中汞含量在内的频率为．
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标．
（3）解：由题意可知，样本中汞含量在内的频率为，
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为．
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出a，进而由平均数的公式求解即可；
（2）求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计；
（3）由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率.
18．【答案】（1）
（2），由三点共线，有，得．
（3），
，
，
则，所以．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理表示即可；
（2）利用平面向量基本定理借助三点共线，即可求的值；
（3）利用向量的夹角余弦和数量积的关系即可.
19．【答案】（1）若选 ：由正弦定理得 ，
在 中， ，所以 ，
即 ，
所以 ，又 ，有 ，
所以 ，由 ，得 ．
若选 ：
由正弦定理得 ，
在 中， ，
所以
即 ，
所以 ，又 ，有 ，
所以 ，由 ，得 ．
（2）不论选或，均计算得，
由 ，可得 ，
两边平方可得 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取“”，
所以 ，所以 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的线性运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可；
（2）利用向量法及向量的线性运算，结合基本不等式，可求得面积的最值.
1 / 1浙江省杭州市部分学校2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·杭州月考）若是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】由 是虚数单位 得，
即.
故选：C
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解，可得答案.
2．（2024高一下·杭州月考）某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】 解：因为这组数据共10个数，
所以10×0.8=8，因此，该组数据的第80百分位数为：.
故选：C．
【分析】 根据百分位数的定义即可求得该组数据的第80百分位数．
3．（2024高一下·杭州月考）已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由条件可知，，
由，得，
解得.
故答案为：C.
【分析】直接利用直观图和原图的面积关系求解.
4．（2024高一下·杭州月考）已知平面平面，直线，则“”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：设，因为平面平面，在平面内作，
所以，
因为，所以∥，因为，，所以，充分性成立
而当平面平面，直线，
时，与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，必要性不成立
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
5．（2024高一下·杭州月考）已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：根据公式平均数为，
方差为
，
故选：C.
【分析】本题考查平均数和方差公式，通过计算可得正确选项答案。
6．（2024高一下·杭州月考）在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由于，
故有，
解得，又因为，，
则，
故答案为：A．
【分析】根据三角形面积和余弦定理即可.
7．（2024高一下·杭州月考）从年月开始，浙江省高考数学使用新高考全国数学卷，与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题多选题规定：在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，有选错的得分，部分选对且没有选错的得分若某个多选题的正确答案是BCD，某同学不会做该题的情况下打算随机选个到个选项作为答案，每种答案都等可能例如，选A，，是等可能的，则该题得分的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意所有的涂法按照列举法有：
A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD
共有14种涂法，
得2分的涂法为BC，BD，CD，B，C，D，
共有6种，
故能得2分的概率为．
故答案为：B．
【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得2分的涂法种数，求得所求概率．
8．（2024高一下·杭州月考）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球O的半径为R，的外心为，
∵外接圆半径为，
则面积为，
∴，
∵最大值，
∴，
即，
解得，
所以球O的表面积为.
故选：A.
【分析】本题考查球的表面积，通过已知条件求得，再通过三棱锥体积公式求得R值，利用对应球的表面积公式，即可得结果.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高一下·杭州月考）掷一枚骰子，记事件为掷出的数大于4 ，事件为掷出偶数点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件为相互独立事件 D．事件与事件对立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：∵事件的概率为，故B项正确；
∵事件的概率为
∴，故A项错误；
∵事件表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，
∴，
又，故事件与事件为相互独立事件，故C项正确；
∵，故事件与事件不是对立事件，故D项错误.
故选：BC.
【分析】根据古典概型的概率公式可得，，所以B正确，利用相互独立事件的定义判断C正确，利用概率的加法公式可判断A项结果错误，不符合，利用对立事件的定义可判断D项错误，不符合。
10．（2024高一下·杭州月考）已知向量，，下列说法正确的是( )
A．
B．
C．与向量平行的单位向量是
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】A,D
【知识点】单位向量；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：，
因为，
所以，故A正确；
对于B：，所以，B错误；
对于C：，所以与向量平行的单位向量是或，C错误；
对于D：向量在向量上的投影向量为
，D正确；
故答案为：AD
【分析】利用向量的坐标运算判断即可.
11．（2024高一下·杭州月考）今年春节档两部电影票房突破亿大关，满江红不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作流浪地球则成为最高口碑电影下图是这两部电影连续天的日票房情况，则( )
A．满江红日票房平均数大于流浪地球日票房平均数
B．满江红日票房方差大于流浪地球日票房方差
C．满江红日票房极差小于流浪地球日票房极差
D．满江红日票房的第百分位数小于流浪地球日票房的第百分位数
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A：由图表可知《满江红》日票房均大于《流浪地球日票房，
故《满江红》总票房大于《流浪地球总票房
所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，故A正确；
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；
因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，
因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据图表信息判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高一下·杭州月考）复数，和在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数的值为 ．
【答案】5
【知识点】复数在复平面中的表示；三点共线
【解析】【解答】解：复数在复平面内对应的点分别为，
又因为三点是共线的，斜率相等.
所以．
故答案为：5
【分析】利用复数的几何意义和三点共线即可解决.
13．（2024高一下·杭州月考）如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ．
【答案】或
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：在正方体中，因为，
故和所成角即为异面直线与所成角，
又因为，故异面直线与所成角的大小，
故答案为：
【分析】利用平移找到异面直线所成角，可得答案.
14．（2024高一下·杭州月考）圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：设，的中点与，
则垂直平分，垂直平分，
则.
以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图，
为中垂线交点，连接，
由三角形为锐角三角形，
根据临界位置及图形可知，
而，
所以，
则范围是．
故答案为：.
【分析】根据向量的线性运算和三角形外接圆的性质计算即可.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·杭州月考）（1）求方程的根，并判断它们是否共轭；
（2）若复数满足，求的范围．
【答案】（1）因为，配方可得，
所以，即，，
所以方程的根为，，它们是共轭复数．
（2）设，由于，则，
所以，所以，
可将问题转化为点到圆上点的距离的范围，
由于到圆圆心的距离为，
所以点到圆距离的最大值为，
点到圆距离的最大值为，
故的范围为
【知识点】点与圆的位置关系；共轭复数
【解析】【分析】（1）利用配方法和和共轭复数的定义判断即可；
（2）将问题转化为点到圆距离的范围，借助距离公式求解即可.
16．（2024高一下·杭州月考）如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）设，
则圆柱的体积为，解得，
所以圆柱的表面积为．
（2）因为是圆柱的母线，所以平面．
因为平面，所以．
因为，平面，
所以平面．
由题意可知，所以四边形是平行四边形，所以，
所以平面．
因为，所以，，，
所以．
因为平面，平面平面，所以．
因为，所以．
所以，
所以．
设点到平面的距离为，
因为，
所以，解得．
所以点到平面的距离为．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由体积公式得到底面半径结合表面积公式即可；
（2）证明线面垂直结合等体积法得出点到平面的距离.
17．（2024高一下·杭州月考） 现行国家标准中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．
【答案】（1）解：由，解得．
则这条鱼汞含量的样本平均数为．
（2）解：样本中汞含量在内的频率为．
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标．
（3）解：由题意可知，样本中汞含量在内的频率为，
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为．
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出a，进而由平均数的公式求解即可；
（2）求出样本中汞含量在内的频率，利用频率进行估计；
（3）由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率.
18．（2024高一下·杭州月考）直角梯形中，，，为的中点，与交于点．
（1）用表示；
（2）设，求实数的值；
（3）求．
【答案】（1）
（2），由三点共线，有，得．
（3），
，
，
则，所以．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理表示即可；
（2）利用平面向量基本定理借助三点共线，即可求的值；
（3）利用向量的夹角余弦和数量积的关系即可.
19．（2024高一下·杭州月考）在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解、的答案．
问题：在中，三个内角，，所对的边分别是，，，已知 ▲ ．
（1）求角；
（2）若点是满足，且，求的面积的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分
【答案】（1）若选 ：由正弦定理得 ，
在 中， ，所以 ，
即 ，
所以 ，又 ，有 ，
所以 ，由 ，得 ．
若选 ：
由正弦定理得 ，
在 中， ，
所以
即 ，
所以 ，又 ，有 ，
所以 ，由 ，得 ．
（2）不论选或，均计算得，
由 ，可得 ，
两边平方可得 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取“”，
所以 ，所以 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的线性运算；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可；
（2）利用向量法及向量的线性运算，结合基本不等式，可求得面积的最值.
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