湘教版数学八年级上册《 第5章 二次根式》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·吉安模拟）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·武威）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·宁波）二次根式 中字母x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·滨江二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
7．（2020八上·港南期末）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·余姚模拟）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
9．对于二次根式的乘法运算，一般地，有.该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·瑞昌期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·上海市期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
12．（2021八上·华容期末）已知实数 ，则a的倒数为 .
13．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）若与最简二次根式可以合并，则 ．
14．（2017·安岳模拟）实数a在数轴上的位置如图，化简 +a= ．
15．（2020八上·兰州期中）若 ，则x+y+z= .
16．（2021·黄冈）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 .
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·榆林月考）计算：.
18．（2024·黄冈模拟）计算：．
19．计算：.
20．（2024八上·紫金期末）计算：.
21．（2023八上·浦东期中）已知 ，，求代数式 的值．
22．（2024八上·大竹期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
23．（2023八上·栾城期中）实数与满足.
（1）写出与的取值范围；
（2）已知是有理数，
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的.
24．（2023八上·遵化期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
25．（2024八上·靖边期末）我们知道，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
（1）化简： ， ；
（2）若，，求的值；
（3）根据以上规律计算下列式子的值：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：B：，
C：，
D：。
故答案为：A.
【分析】理解和掌握最简二次根式的定义是解题关键：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别进行计算，然后判断即可.
3．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式即可求出x的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
解：
或
故答案为B
【分析】本题考查二次根式的计算，熟练运用二次根式的乘除法则和加减混合运算法则，计算即可。
6．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
C、 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 ， ， 与3 是同类二次根式，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】将每个二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的即为同类二次根式，据此逐项解答即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】A、 是二次根式，故此选项错误；
B、 是二次根式，故此选项错误；
C、 是二次根式，故此选项错误；
D、 不是二次根式，故此选项正确；
故答案为：D．
【分析】一般地，形如(a≥0）的式子，叫做二次根式，据此逐一判断即可.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A选项： ，故A选项正确；
B选项： ，故B选项正确；
C选项： ，故C选项错误；
D选项：，故D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质即可得到答案。
9．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，该运算法则成立的条件是.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，即可得解.
10．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D：，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
11．【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1。
【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
12．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵实数 ，
∴a的倒数为： .
故答案为： .
【分析】直接利用倒数的定义结合分母有理化得出答案.
13．【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴m+1=3，解得：m=2
故答案为：2
【分析】化简，再根据同类二次根式的性质即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：如图所示：﹣2＜a＜﹣1，
则a﹣2＜0，
故 +a=2﹣a+a=2．
故答案为：2．
【分析】化简二次根式时，注意被开方数的底数的正负，观察数轴可知a﹣2＜0，.
15．【答案】6
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，
∴x=1，y=2，z=3.
∴x+y+z=1+2+3=6.
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可.
16．【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10.
【分析】由二次根式的乘法法则可得ab=1，计算Sn=1，于是可知Sn与n的值无关，再计算S1+S2++S10即可求解.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算的乘除，再合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：原式；
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据非0数的零次方等于1、绝对值的性质和二次根式的计算法则计算即可求解.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先直接利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减运算..
20．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先去括号化简各个式子，再合并同类二次根式.
21．【答案】解：，
，
原式
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先把x，y进行化简，得出最简形式，然后把代数式 转化成 ，然后把x，y代入进去即可。
22．【答案】（1）
（2）解：，则，，
；
答：的值为2．
（3）解：与互为相反数，
，
，，
解得，，
，
．
【知识点】无理数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：
(1) ∵点A 表示数 ，点B所表示的数为m，又∵从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，∴m= +2.
故答案为： +2.
【分析】(1) 通过A， B在数轴上表示的数进行计算即可；
(2) 根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算即可；
(3)根据绝对值、算数平方根的非负性进行解答即可.
23．【答案】（1）解：由题可知：，解得：，；
（2）解：①，且是正整数时，
可以取1，2，3，4，
又
的对应值分别为：，，，
又是有理数，
或0；
②是有理数，是整数，
是的整数倍，
可能取值为：4，3，2，1，0，，，，，
的对应值为：0，1，，，，，，，，
是的整数倍，
，，，
第3个数，第11个数，
又
即4-a或，解得：或-296，
综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
【知识点】无理数的大小比较；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质及等式性质可列出不等式组，解不等式组即可求出答案；
（2）①根据正整数的定义可得a取1，2，3，4，则b的对应值分别为：，，，再根据有理数的定义即可求出答案.
②根据有理数，整数的性质可得b是的整数倍，则，，，，所以第3个数，第11个数，根据，即4-a或，解得：或-296，即可求出答案.
24．【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
25．【答案】（1）解： ；解：
（2）解：∵，
，
∴，，
∴
；
（3）解：∵
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据分母有理化的方法，计算求解即可.
(2)根据分母有理化，先化简求出的值，再代入式子求解.
(3)根据分母有理化化简各式，加减相消，得出结果.
1 / 1湘教版数学八年级上册《 第5章 二次根式》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·吉安模拟）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：B：，
C：，
D：。
故答案为：A.
【分析】理解和掌握最简二次根式的定义是解题关键：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
2．（2021·武威）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： ，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除分别进行计算，然后判断即可.
3．（2023·烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、=2与不是同类二次根式，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可.
4．（2020·宁波）二次根式 中字母x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式即可求出x的取值范围.
5．（2024·滨江二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
解：
或
故答案为B
【分析】本题考查二次根式的计算，熟练运用二次根式的乘除法则和加减混合运算法则，计算即可。
6．（2021·泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
C、 与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D、 ， ， 与3 是同类二次根式，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】将每个二次根式化为最简二次根式，被开方数相同的即为同类二次根式，据此逐项解答即可.
7．（2020八上·港南期末）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】A、 是二次根式，故此选项错误；
B、 是二次根式，故此选项错误；
C、 是二次根式，故此选项错误；
D、 不是二次根式，故此选项正确；
故答案为：D．
【分析】一般地，形如(a≥0）的式子，叫做二次根式，据此逐一判断即可.
8．（2024·余姚模拟）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A选项： ，故A选项正确；
B选项： ，故B选项正确；
C选项： ，故C选项错误；
D选项：，故D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质即可得到答案。
9．对于二次根式的乘法运算，一般地，有.该运算法则成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，该运算法则成立的条件是.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，即可得解.
10．（2023八上·瑞昌期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D：，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·上海市期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1。
【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
12．（2021八上·华容期末）已知实数 ，则a的倒数为 .
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵实数 ，
∴a的倒数为： .
故答案为： .
【分析】直接利用倒数的定义结合分母有理化得出答案.
13．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】2
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴m+1=3，解得：m=2
故答案为：2
【分析】化简，再根据同类二次根式的性质即可求出答案.
14．（2017·安岳模拟）实数a在数轴上的位置如图，化简 +a= ．
【答案】2
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：如图所示：﹣2＜a＜﹣1，
则a﹣2＜0，
故 +a=2﹣a+a=2．
故答案为：2．
【分析】化简二次根式时，注意被开方数的底数的正负，观察数轴可知a﹣2＜0，.
15．（2020八上·兰州期中）若 ，则x+y+z= .
【答案】6
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，
∴x=1，y=2，z=3.
∴x+y+z=1+2+3=6.
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可.
16．（2021·黄冈）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了黄金分割数.设 ， ，则 ，记 ， ，…， .则 .
【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10.
【分析】由二次根式的乘法法则可得ab=1，计算Sn=1，于是可知Sn与n的值无关，再计算S1+S2++S10即可求解.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·榆林月考）计算：.
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算的乘除，再合并同类二次根式即可.
18．（2024·黄冈模拟）计算：．
【答案】解：原式；
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据非0数的零次方等于1、绝对值的性质和二次根式的计算法则计算即可求解.
19．计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先直接利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减运算..
20．（2024八上·紫金期末）计算：.
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先去括号化简各个式子，再合并同类二次根式.
21．（2023八上·浦东期中）已知 ，，求代数式 的值．
【答案】解：，
，
原式
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先把x，y进行化简，得出最简形式，然后把代数式 转化成 ，然后把x，y代入进去即可。
22．（2024八上·大竹期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）
（2）解：，则，，
；
答：的值为2．
（3）解：与互为相反数，
，
，，
解得，，
，
．
【知识点】无理数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：
(1) ∵点A 表示数 ，点B所表示的数为m，又∵从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，∴m= +2.
故答案为： +2.
【分析】(1) 通过A， B在数轴上表示的数进行计算即可；
(2) 根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算即可；
(3)根据绝对值、算数平方根的非负性进行解答即可.
23．（2023八上·栾城期中）实数与满足.
（1）写出与的取值范围；
（2）已知是有理数，
①当是正整数时，求的值；
②当是整数时，若将符合条件的的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的.
【答案】（1）解：由题可知：，解得：，；
（2）解：①，且是正整数时，
可以取1，2，3，4，
又
的对应值分别为：，，，
又是有理数，
或0；
②是有理数，是整数，
是的整数倍，
可能取值为：4，3，2，1，0，，，，，
的对应值为：0，1，，，，，，，，
是的整数倍，
，，，
第3个数，第11个数，
又
即4-a或，解得：或-296，
综上，第3个位置上的，第11个位置上的.
【知识点】无理数的大小比较；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质及等式性质可列出不等式组，解不等式组即可求出答案；
（2）①根据正整数的定义可得a取1，2，3，4，则b的对应值分别为：，，，再根据有理数的定义即可求出答案.
②根据有理数，整数的性质可得b是的整数倍，则，，，，所以第3个数，第11个数，根据，即4-a或，解得：或-296，即可求出答案.
24．（2023八上·遵化期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
25．（2024八上·靖边期末）我们知道，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
（1）化简： ， ；
（2）若，，求的值；
（3）根据以上规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）解： ；解：
（2）解：∵，
，
∴，，
∴
；
（3）解：∵
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据分母有理化的方法，计算求解即可.
(2)根据分母有理化，先化简求出的值，再代入式子求解.
(3)根据分母有理化化简各式，加减相消，得出结果.
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