湘教版数学八年级上册《 第5章 二次根式》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·绥化）若式子 有意义， 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·沿河期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2019八上·正定期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
4．（2023八上·洪洞月考）已知a=-1，b=，则a与b的关系（ ）
A．a=b B．ab=1 C．a=-b D．ab=-1
5．（2024·济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2024八上·通道期末）已知是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·重庆市期中）若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2023八上·深圳期中）观察下列二次根式的化简
S1=
S2=
S3=，则=（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·成都）若，为实数，且，则的值为 .
12．（2024·惠城模拟）已知为实数，且满足2，则的值是 .
13．（2024八上·通道期末）观察：，，，
计算：= ．
14．（2020·北碚模拟）已知xy=3，那么 的值为 .
15．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
16．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2023·武威）计算：．
18．（2023·上海）计算：
19．（2021八上·杨浦期中）计算：
20．（2022八上·黄浦期中）计算：．
21．（2022八上·嘉定期中）已知，，求的值．
22．（2022八上·新城月考）实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+．
23．（2021八上·平顶山月考）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
24．（2024八上·宣汉期末） 阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
（1）仿照上面的解题过程化简∶ ．
（2）请直接写出的化简结果∶ ．
（3）利用上面所提供的想法，求的值．
（4）利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
25．（2023·桑植模拟） 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
26．（2024八上·岳阳楼期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）是正整数，，，且，求的值．
（3）已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使式子 有意义，
则：2m-3≥0
∴
故答案为C.
【分析】要使二次根式有意义，必须满足被开方数大于等于0.
2．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知1＜a＜2，得出a 1＞0，a 2＜0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ＝2， 与 互为相反数，故本选项符合题意；
B. ＝﹣2， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
C. 不存在，无法比较，选项不符合题意；
D. ＝ ， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，对各个选项分析判断即可解答．
4．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 解：∵，，
∴a=b.
故答案为：A.
【分析】先把b分母有理化，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不能计算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：，可对D作出判断.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1＞0，x-2＜0，
∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.
故答案为：B.
【分析】首先根据得出x-1＞0，x-2＜0，然后化简即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而即可得到，再计算即可求解。
8．【答案】D
【知识点】二次根式的定义；探索数与式的规律
【解析】【解答】
当n=1时
当n=2时
当n=3时
① 正确
当n=4时
②正确
根据摸索的规律
即
③正确
故选：D
【分析】根据给定式子分别计算出an和，n=1，2，3，4，根据的求取过程摸索和n的规律，利用裂项相消的办法计算出 ③ ，得出全部正确的结论。
9．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据化简的二次根式，分析可得：
=（1+-）+（1+-）+（1+-）++（1+-）（1+-）
一共有2023个多项式相加，
=1×2023+1-+-+-++-+-
=2023+1-
=2024-
∴ ==1+=
故答案为：D.
【分析】根据数据的规律，可以求出的表达式，化简求出代数式的值即可.
10．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
11．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴m+4=0，n-5=0，
∴m=-4，n=5，
∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
故答案为：1.
【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m、n得值，进而再代入待求式子计算可得答案.
12．【答案】4
【知识点】二次根式有意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴a－8≥0，8-a≥0，
∴a=8.
∴b=2.
∴.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式有意义的条件可计算得a的值，从而得到b的值，再代入二次根式运算即可.
13．【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据二次根式的加减运算结合题意进行运算即可求解。
14．【答案】±2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】因为xy=3，所以x、y同号，
于是原式= = ，
当x>0，y>0时，原式= =2 ；
当x<0，y<0时，原式= = 2
故原式=±2 .
【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答.
15．【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
16．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减即可.
18．【答案】解：原式
．
【知识点】立方根及开立方；负整数指数幂；二次根式的加减法；实数的绝对值
【解析】【分析】利用立方根，负整数指数幂，绝对值，二次根式的加减法则计算求解即可。
19．【答案】解：原式=
=
=
=
= .
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可.
20．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
21．【答案】解：∵ ，
∴
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
22．【答案】解：由数轴得： ，
∴ ， ， ，
∴（）2﹣+|b﹣c|+
．
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】由数轴可得a0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质以及合并同类项法则化简即可.
23．【答案】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
=c+（-a+b）+a+b-（-b+c），
=c-a+b+a+b+b-c，
=3b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】由数轴可得a|c|>|b|，然后判断出a-b、a+b、b-c的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并同类项即可.
24．【答案】（1）；；
（2）
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）：
；
故答案为：，，；
（2）：
；
故答案为：；
【分析】（1）直接分母有理化求解即可，；
（2）利用分母有理化求解即可；
（3）利用（2）的结论，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（4）逆用（2）的结论，即比较之两个数的倒数，由即可得到答案．
25．【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
26．【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分母有理化将原式变形为，再计算即可；
（2）参照题干中的计算方法利用分母有理化可得
，
，
再将a、b的值代入可得，最后求出m的值即可；
（3）利用完全平方公式的变形先求出，再将其代入计算可得，再求出即可.
1 / 1湘教版数学八年级上册《 第5章 二次根式》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·绥化）若式子 有意义， 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使式子 有意义，
则：2m-3≥0
∴
故答案为C.
【分析】要使二次根式有意义，必须满足被开方数大于等于0.
2．（2021八上·沿河期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知1＜a＜2，得出a 1＞0，a 2＜0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，即可得出答案.
3．（2019八上·正定期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ＝2， 与 互为相反数，故本选项符合题意；
B. ＝﹣2， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
C. 不存在，无法比较，选项不符合题意；
D. ＝ ， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，对各个选项分析判断即可解答．
4．（2023八上·洪洞月考）已知a=-1，b=，则a与b的关系（ ）
A．a=b B．ab=1 C．a=-b D．ab=-1
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 解：∵，，
∴a=b.
故答案为：A.
【分析】先把b分母有理化，即可求解.
5．（2024·济宁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不能计算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类二次根式才能合并，可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B作出判断；利用二次根式的除法法则，可对C作出判断；然后利用二次根式的性质：，可对D作出判断.
6．（2024·乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1＞0，x-2＜0，
∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.
故答案为：B.
【分析】首先根据得出x-1＞0，x-2＜0，然后化简即可得出答案。
7．（2024八上·通道期末）已知是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而即可得到，再计算即可求解。
8．（2023八上·重庆市期中）若（n为正整数），则下列说法正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义；探索数与式的规律
【解析】【解答】
当n=1时
当n=2时
当n=3时
① 正确
当n=4时
②正确
根据摸索的规律
即
③正确
故选：D
【分析】根据给定式子分别计算出an和，n=1，2，3，4，根据的求取过程摸索和n的规律，利用裂项相消的办法计算出 ③ ，得出全部正确的结论。
9．（2023八上·深圳期中）观察下列二次根式的化简
S1=
S2=
S3=，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据化简的二次根式，分析可得：
=（1+-）+（1+-）+（1+-）++（1+-）（1+-）
一共有2023个多项式相加，
=1×2023+1-+-+-++-+-
=2023+1-
=2024-
∴ ==1+=
故答案为：D.
【分析】根据数据的规律，可以求出的表达式，化简求出代数式的值即可.
10．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·成都）若，为实数，且，则的值为 .
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴m+4=0，n-5=0，
∴m=-4，n=5，
∴(m+n)2=(-4+5)2=1.
故答案为：1.
【分析】由偶数次幂及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零可求出m、n得值，进而再代入待求式子计算可得答案.
12．（2024·惠城模拟）已知为实数，且满足2，则的值是 .
【答案】4
【知识点】二次根式有意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴a－8≥0，8-a≥0，
∴a=8.
∴b=2.
∴.
故答案为：4.
【分析】根据二次根式有意义的条件可计算得a的值，从而得到b的值，再代入二次根式运算即可.
13．（2024八上·通道期末）观察：，，，
计算：= ．
【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
，
，
，
故答案为：
【分析】根据二次根式的加减运算结合题意进行运算即可求解。
14．（2020·北碚模拟）已知xy=3，那么 的值为 .
【答案】±2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】因为xy=3，所以x、y同号，
于是原式= = ，
当x>0，y>0时，原式= =2 ；
当x<0，y<0时，原式= = 2
故原式=±2 .
【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答.
15．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
16．（2020八上·港南期末）观察下列等式：
① ；
②
③
…
参照上面等式计算方法计算：
.
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】 ，
=
=
= .
故答案为： .
【分析】利用分母有理化将每一个式子进行化简，然后利用二次根式的加减计算即可.
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2023·武威）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减即可.
18．（2023·上海）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】立方根及开立方；负整数指数幂；二次根式的加减法；实数的绝对值
【解析】【分析】利用立方根，负整数指数幂，绝对值，二次根式的加减法则计算求解即可。
19．（2021八上·杨浦期中）计算：
【答案】解：原式=
=
=
=
= .
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可.
20．（2022八上·黄浦期中）计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
21．（2022八上·嘉定期中）已知，，求的值．
【答案】解：∵ ，
∴
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
22．（2022八上·新城月考）实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+．
【答案】解：由数轴得： ，
∴ ， ， ，
∴（）2﹣+|b﹣c|+
．
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】由数轴可得a0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质以及合并同类项法则化简即可.
23．（2021八上·平顶山月考）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
【答案】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
=c+（-a+b）+a+b-（-b+c），
=c-a+b+a+b+b-c，
=3b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】由数轴可得a|c|>|b|，然后判断出a-b、a+b、b-c的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并同类项即可.
24．（2024八上·宣汉期末） 阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
（1）仿照上面的解题过程化简∶ ．
（2）请直接写出的化简结果∶ ．
（3）利用上面所提供的想法，求的值．
（4）利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）：
；
故答案为：，，；
（2）：
；
故答案为：；
【分析】（1）直接分母有理化求解即可，；
（2）利用分母有理化求解即可；
（3）利用（2）的结论，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（4）逆用（2）的结论，即比较之两个数的倒数，由即可得到答案．
25．（2023·桑植模拟） 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
26．（2024八上·岳阳楼期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
（1）计算：；
（2）是正整数，，，且，求的值．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分母有理化将原式变形为，再计算即可；
（2）参照题干中的计算方法利用分母有理化可得
，
，
再将a、b的值代入可得，最后求出m的值即可；
（3）利用完全平方公式的变形先求出，再将其代入计算可得，再求出即可.
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