人教版数学八年级上册12.3角平分线的性质 精品同步练习（含解析）

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人教版八年级上册数学 12.3角的平分线的性质 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1．如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是
A．PD=PE B．OD=OE
C．∠DPO=∠EPO D．PD=OP
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3，则点D到AB的距离是
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图①，已知，用尺规作它的角平分线．
如图②，步骤如下：
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P；
第三步；画射线，射线即为所求．
下列叙述不正确的是（ ）
A． B．作图的原理是构造三角形全等
C．由第二步可知， D．的长
4．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于G．若．P为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B．1 C．2 D．4
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
6．如图，平分平分，且，下列结论：①平分，②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在中，，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．平分 B． C．平分 D．
8．如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．6
9．如图，，平分交于点E，平分交于点G，若，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BDC＝90°，∠C＝∠ADB，点P是BC边上的一动点，连接DP，若AD＝4，则DP的长不可能是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为__________．
12.如图，已知AB∥CD，∠BFC＝127°4'，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为_____．
13.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（a＋2b，a＋1），则a＋b =________．
14.我们定义：一个三角形最小内角的角平分线将这个三角形分割得到的两个三角形它们的面积之比称为“最小角割比Ω”（），那么三边长分别为7，24，25的三角形的最小角割比Ω是______．
15.如图，已知中，，点在上，，点为垂足，且，联结，则的大小为___________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：
（1）作△ABC的角平分线AE；
（2）根据你所画的图形求∠DAE的度数．
17.如图是一个锐角．
（1）用尺规作图法作出的平分线；
（2）若点是上一点，过点作于点，于点，求证：．
18.如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）①的度数是_______度；
②∵，∴________．
（2）求的度数．
（3）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
19.如图，将绕点按逆时针方向旋转的度数得到．
（1）尺规作图：确定的顶点的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；
（2）连接，，设的延长线交于点，连接．求证：平分．
20.如图，在中，按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；
②分别以点，为圆心，大于的相同长度为半径作弧，两弧交于点；
③作射线交于点．
（1）根据上述步骤补全作图过程（要求：规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如果，，那么的面积与的面积的比值是________．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE≌Rt△POD，则OD=OE，∠DPO=∠EPO．故选D．
2.【答案】C
【解析】如图，作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3．故选C．
3.【答案】D
【分析】根据用尺规作图法画已知角的角平分线的基本步骤判断即可
【详解】A、∵以a为半径画弧，∴，故正确
B、根据作图步骤可知BD=BE，PD=PE，BP=BP，∴△BDP≌△BEP（SSS），故正确
C、∵分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在内部交于点P，∴，故正确
D、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，其中，否则两个圆弧没有交点，故错误
故选：D
4.【答案】C
【分析】根据题意可知BG是∠ABC的角平分线，利用角平分线定理和垂线段最短即可求出的最小值为
【详解】作GH⊥AB
由题意可知：BG是∠ABC的角平分线
又∵GH⊥AB，
∴CG=GH
∵
∴GH=2
由直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短可得：
当点GP⊥AB时，有最小值
即= GH=2时，最短
故选：C
5.【答案】C
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH=GC=1，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH=GC=1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
6.【答案】B
【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．
【详解】∵BC⊥BD，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°，
∴∠ABE+∠FBE=90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE=∠FBE，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，
∵CB平分∠ACE
∴∠ACB=∠ECB，
∵ABCD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠EBC，
∴ACBE，
∵∠DBC=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，
∴①②③正确；
∵根据已知条件不能推出∠DBF=2∠ABC，
∴④错误；
故选B．
7.【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理可得CD=ED，根据角平分线的定义、三角形三边的关系，从而可对各选项作出判断．
【详解】∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故选项B正确；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故选项C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故选项D正确；
若DE平分∠ADB
则有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
显然这里∠B是不一定为30゜
故选项A错误．
故选：A．
8.【答案】B
【分析】根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１．
【详解】∵，∴，又∵平分，，∴由角平分线的性质得．
故选：B
9.【答案】D
【分析】利用等角的余角相等可判断①；利用①的结论可证明∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，从而可判断②；利用平行线的性质可判断③；先求得∠AEC90，再利用利用平行线的性质可判断④
【详解】∵AB//CD，
∴∠AEC=∠FCE，∠BEG=∠CGE，
∵∠CEG=∠CEF+∠FEG=90，
∴∠AEC+∠BEG=180-∠CEG=90，
∴∠AEC=∠CEF，
故EC平分∠AEF，选项①正确；
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠FCE，
∴∠ACE=∠FCE=∠AEC=∠CEF，
∴EF//AC，故选项②正确；
∵EF//AC，
∴∠A+∠AEF=180，∠AEF=∠EFG，
∴∠EFG+∠A=180°，故选项③正确；
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠EGC=180，
∴∠AEC+∠EGC=180-∠CEG=180-90=90，
∵∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=90，
∴90+∠EGC=90，
∴∠EGC=，故选项④正确；
综上，四个选项都正确，
故选：D
10.【答案】D
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质定理得AD＝DH，由垂线段最短得到DP≥DH，可得DP的长不可能是3．
【详解】过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝4，
∴DH＝4，
又∵点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，
∴DP≥4，
∴DP的长不可能是3，
故选：D．
填空题
11.【答案】4
【解析】如图，过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．
12.【答案】26°28'
【分析】根据尺规作图的痕迹可知：BC平分∠DCF，结合AB∥CD，可得∠BCD=∠B=∠FCB，进而即可求解．
【详解】由图中尺规作图的痕迹可知：BC平分∠DCF，
∴∠BCD=∠FCB，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠FCB=∠B，
∵∠BFC＝127°4'，
∴∠BCD=∠B=(180°-127°4')÷2=26°28'，
故答案是：26°28'．
13.【答案】
【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2b+2a+1=0，然后再整理可得答案．
【详解】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，
因此2b+a=-(a+1)，
即：a+a+2b=-1
即a+b=
故答案为：．
14.【答案】．
【分析】根据题意作出图形，然后根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积和最小角割比Ω的定义计算即可．
【详解】如图示，，，，
则，根据题意，作的角平分线交于点，
过点，作交于点，
过点，作交于点，
则
∵，，
则（）
故答案是：．
15.【答案】112.5°
【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线，然后利用外角性质求∠ADB的度数即可.
【详解】∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°，
在Rt ACD和Rt AED中
，
∴Rt ACD≌Rt AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝22.5°，
∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.
故答案为：112.5°．
解答题
16.【解析】（1）如图，AE为所作．
（2）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=30°．
17.【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】（1）如图，射线OC即为所求作．
（2）由作图可知，∠POD=∠POE，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△POD和△POE中，
，
∴△POD≌△POE（AAS），
∴OD=OE．
18.【答案】（1）122°，∠CBN；（2）61°；（3）不变，∠APB：∠ADB=2：1，理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；
（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=122°，再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=122°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；
（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1．
【详解】（1）①∵AM∥BN，∠A=58°，
∴∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=122°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°-58°=122°，
∴∠ABP+∠PBN=122°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP=122°，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=61°；
（3）不变，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1．
19.【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．
【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；
(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，证AN=AM即可．
【详解】(1) 点E位置如图所示；
(2)证明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，由旋转可知≌，DE=BC，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
20.【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据尺规作图要求,按给定的步骤与作法画图即可；
（2）根据角分线性质，两三角形的AB与BC边上的高相等，可得面积比为底的比即可．
【详解】（1）根据步骤（1）得弧线交，于点，，
根据步骤（2）得两弧交点F，
根据步骤（3）得射线BG，根据作图的步骤与图形结合得BG平分∠ABC；
如图所示，即为所求．
（2）过点G作GH⊥BC于H，GM⊥射线AB于M，
∵BG平分∠ABC，
∴GM=GH，
S△ABG=，
S△BCG=，
S△ABG: S△BCG=，
故答案为：．
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