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3.1 圆的对称性(1)教学设计
课题 3.1 圆的对称性(1) 单元 第3章 学科 数学 年级 9年级
教材分析 圆的轴对称性、垂径定理是圆的重要性质之一，在圆的有关内容中占有举足轻重的地位，是今后研究圆与直线的位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、弧相等的重要依据，因此，它是本章的重点。
学习目标 1.知道垂径定理，会运用定理解决有关的计算和证明；2.独立思考，合作探究，体会数形结合与方程的数学思想； 3.激情投入，全力以赴，感受圆的对称美.
重点 垂径定理.
难点 运用垂径定理进行有关的计算。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习圆的相关概念：弧、弦、直径、半圆、优弧、劣弧 1.小组内互说完成前置测试 一、学生情感调节
讲授新课 活动一 合作交流，探索圆的对称性： 自学课本68—60页，完成下列问题.1、在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，并任意作出一条直径AB，将⊙O沿直径AB折叠，你发现：圆是 对称图形， 是它的对称轴。2、在直径AB上取一点E，过点E作直径AB的垂线，交⊙O于点C、D两点，则线段CD是⊙O的一条 ，将⊙O沿AB折叠，你发现：⑴弧AC与弧AD有什么关系？ ⑵弧BC与弧BD有什么关系？ ⑶线段CE与DE有什么关系？ 3、除了用上面轴对称的方式得出CE=ED，你还可以用什么方法来证明CE=ED 试一试！活动二 垂径定理如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对折.通过折叠活动，你发现了什么？______________________________________________ 请试一试证明！垂径定理：_________________________________________________________。归纳：如图是垂径定理的基本图形，试用几何推理的格式写出它的内容：（已知）∵ （结论）∴ 1.学生按照要求自主预习2.学生预习过程中教师巡视，以把握学生预习情况，做到心中有数
课堂练习 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长.2.在⊙O中，一条弦的长为48厘米，圆心O到这条弦的距离为10厘米，则圆的直径为 。3、如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，那么这条管道中此时水最深为多少米 ？4、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
课堂小结 1. 知识方面： 2. 数学思想方法： 1.学生总结知识点及收获2.教师补充总结
板书 通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； 2．利用垂径定理解决相应的数学问题.
O
O
B
A
D
C
·
E
O
B
A
D
C
·
E
C
A
B
D
E
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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（青岛版）9年级
上
3.1圆的对称性
第1课时
对圆的进一步认识
第3章
“—”
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用
垂径定理进行计算和证明；
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生
对数学的热爱．
新知导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新知探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，
根据对折，你发现圆是什么图形？
可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
活动一
新知探究
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
由什么条件，得到什么结论？
线段：AE=BE
弧：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重
合， 分别与 重合．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
过圆心
垂直于弦
平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
几何语言
文字描述
CD是直径
CD⊥AB
垂径定理的作用：证明线段相等、角相等、弧相等，求半径和弦长
注意：定理中的径可以是直径、半径、弦心距、弓形高等过圆心的直线或线段
新知探究
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：
（1）过圆心直线或线段 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.
两
三
总结归纳
新知探究
思考：下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
新知探究
例1：如图，在以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD.求证：OA=OB.
O
A
B
C
D
E
证明:作OE⊥AB，垂足为点E.
由垂径定理，得 CE=DE.
∵AC=BD，
∴AC+CE=BD+DE，即 AE=BE.
∴OE为线段AB的垂直平分线.
∴OA=AB.
·
新知探究
变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝____, EC=_____.
FD
FB
变式4：______，AC=BD.
OA=OB
变式5：______，AC=BD.
OC=OD
变式1：AC、BD有什么关系？
新知探究
例题2：你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新知探究
在图中，AB=37.02，CD=7.23，
OD=OC－CD=R－7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.512+（R－7.23）2
解得：R≈27.3（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
例题2：你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新知探究
练习
1.下列说法中正确的是( )
A.在同一个圆中最长的弦只有一条
B.垂直于弦的直径必平分弦
C.平分弦的直径必垂直于弦
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
B
C
10
6
2.如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中
错误的是( )
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD C.OD=DC D.
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .
新知探究
6.如图3,已知⊙O中弦AB∥CD,图中相等的弧是 .
图1
图2
图3
16
4.如图1,OE⊥AB于E，若⊙O的半径10cm,OE=6cm,则AB= cm.
5.如图2,⊙O的弦AB＝8cm,直径CE⊥AB于D,DC＝2cm,半径OC的长为 cm.
5
新知探究
涉及解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
2.扇形形中重要数量关系
1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法
方法提炼
新知探究
2. 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE=OE B．CE=DE
C. OE=CE D.∠AOC＝60°
B
1．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
D
课堂练习
【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.
答案：6
3.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．
课堂练习
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BD.
E
.
A
C
D
B
O
4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
课堂练习
5.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦,AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
解：分两种情况讨论.
第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图(一)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
∵AB∥CD. ∴OE⊥AB，连接OB、OD.
∴EM＝OM-OE＝7cm.
第二种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图(二)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
∵AB∥CD. ∴OE⊥AB，连接OB、OD.
∴EM＝OM+OE＝17cm.
图一
A
B
C
D
O
E
M
课堂练习
6. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
解：OM＜ON.
理由如下：连接OA、OC.
则OA＝OC.∵ON⊥CD, OM⊥AB,
又∵AB＞CD,∴CN＜AM, ∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中，
OM2＝OA2-AM2,
ON2＝OC2-CN2,
∴OM2＜ON2. ∴OM＜ON.
课堂练习
课堂总结
通过本课时的学习，需要我们：
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；
能初步应用垂径定理进行计算和证明；
2．利用垂径定理解决相应的数学问题.
作业布置
1、课本70练习1,2
2、习题3.1T1
Thanks!
2
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9上数学青岛版 3.1圆的对称性（第一课时）练习 （含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
3．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
4．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，则该桨轮船轮子半径为（ ）
A． B． C． D．
7．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ）
A． B． C． D．
8．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度（如图）．则截面圆中弦的长为（ ）
、
A． B． C． D．
9．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ）寸．
A．13 B．25 C．26 D．30
10．如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
二、填空题
11．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ．
12．赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）．
13．石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ．
14．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m．
15．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为 m．
三、解答题
16．如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
17．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里）
(1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？
(2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．
18．河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为．
(1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）；
(2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径．
19．根据背景素材，探索解决问题．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．
素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．
素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．
解决问题
任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘．
任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘．
任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由．
注：在测量、计算时，都以“肘”为单位．
20．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】解：圆心为，连接，
设，
，
，
，
在中，
，
，
解得：；
；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论．
【详解】解：，
（寸）．
设圆的半径为寸，则寸，
寸，
，
，
解得：．
圆柱形木材的直径是（寸）．
故选：C
3．C
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接，由垂径定理得，设圆的半径为x，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴
设圆的半径为x，则
∴由勾股定理得，
即
解得：
故选：C．
4．B
【分析】本题考查勾股定理以及垂径定理的综合运用．根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，根据垂径定理和勾股定理求解即可．解题的关键：构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
【详解】解：∵圆弧形桥拱的跨度，拱高，
∴点是的中点，且，
∴此圆的圆心在所在的直线上，设圆心是，连接，设圆的半径是，
∴，
在中，
，，，，
∴，即，
解得：，
∴拱桥的半径为米．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接
在中，
则种植区的最大深度为9
故选：．
6．B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
过圆心P作于点D，交于点C，连接，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为r，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可．
【详解】过圆心P作于点D，交于点C，连接．
由题意可得，
∵过圆心P，且，
∴，
设该桨轮船轮子的半径为r，则，，
∵在中，，
即，
解得，
∴该桨轮船轮子半径为.
故选：B
7．C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∵，．
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出的长，即可由垂径定理求得的长．
【详解】解：由题意得： ，，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
∵，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：设寸，
，AB是直径，
寸，
，
，
，
寸．
故选：C．
10．D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知项错误．
【详解】解：由作法得：，，
∴，
∴，
∴选项的结论正确；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴选项的结论正确；
作半径，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴选项的结论正确；
∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为，
∴，
∵，
∴，
∴选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键．
11．
【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可．
【详解】解：取与的交点为点G，
由题意得，，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
如图，由题意可知，，，点是的中点，由垂径定理可知，，且，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，点是的中点，
由垂径定理可知，，且，
设半径为，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
答：桥拱的半径约为．
故答案为：．
13．10
【分析】此题考查了垂径定理的应用， 勾股定理等知识，根据垂径定理得到，在中，，列方程并解方程即可．
【详解】解：由题意可知，，
∴,
在中， ，
∴
∴
解得,
即半径为．
故答案为：10
14．
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
设该门洞的半径的半径为，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接，
则，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即该门洞的半径为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，设弧所在圆的圆心为，连接，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设所在圆的圆心为O，半径为，如图，由已知得，．在中，由勾股定理得，
即，解得，
∴拱桥的半径为．
16．(1)2米；
(2)0.4米
【分析】此题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长至点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可．
【详解】（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于点，延长经过点，
则（米，
设的半径为米，在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过作于点，
则（米，米，
在中，（米，
（米，
（米，
即支撑杆的高度为0.4米．
17．(1)南偏东60°，
(2)不会闯入安全警戒区域，过程见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．垂径定理的应用；
（1）过点C作轴于点D，设，则，解直角三角形求得x，进而求得；
（2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：过点C作轴于点D，
依题意，得，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中， ，，
∴
∵
∴
解得：，即
∴
∴
∴
∴监测点测的方位是南偏东60°
（2）解：不会，计算如下：
由（1）知，
∵，
∴，
∴，
过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，
∴，
∴，
过点作于点F，
则四边形是矩形，
∴，
由已知得，，
∵，
∴线段是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域．
18．(1)作图见解析
(2)的半径为
【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理．关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心．
（1）利用垂径定理可知，圆心O是两条弦中垂线的交点；
（2）连接．由题意可知，，则，设的半径为，在中利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，作弦的垂直平分线，交弧 于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置；
（2）如图所示，连接．
由题意可知，，则，
设的半径为，则．
在中， ，
解得 ，
所以的半径为 ．
19．任务1：5，5；任务2：；任务3：货船不能顺利通过此石拱桥
【分析】
任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可；
任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，记圆心为O，连结，．观察图形，得出，，的长，设，则，根据勾股定理，，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径；
任务3：根据垂径定理可知（肘），利用勾股定理求出，的长，即可判断答案．
【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘），
B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，则（肘），
故答案为：5，5．
任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，
记圆心为O，连结，，
A是拱圈的最高点，
圆心O在的延长线上，
观察图形，（肘），（肘），（肘），
设，则，
，，，
，
解得：，
，
石拱桥拱圈的半径为肘，
故答案为：．
任务3：
货船不能通过此石拱桥．理由如下：
由垂径定理得，（肘），
（肘），
（肘），
，
，
即（肘），
所以货船不能通过此石拱桥．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键．
20．(1)该圆的半径为5米
(2)水面上涨的高度为1米
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理．
（1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度．
【详解】（1）解：过O作于点C，交于点D，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面上涨的高度为（米）．
答案第1页，共2页
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