第4章一元二次方程单元测试（B卷提升篇）（含解析）

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第4章 一元二次方程单元测试（B卷提升篇）（含解析）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．一元二次方程中，若a，b都是偶数，c是奇数，则方程（ ）
A．有整数根 B．没有整数根 C．没有有理数根 D．没有实数根
2．关于一元二次方程的根的情况叙述正确的是（　　）
A．方程有一个实数根 B．方程有两个不等实数根
C．方程有两个相等实数根 D．方程没有实数根
3．对于二次三项式（且m为常数）和，下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则；
②无论x取任何实数，若等式恒成立，则；
③当时，，，则；
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．若关于x的一元 次 程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有实数根，则整数k的最 值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）
A． B． C． D．
7．若方程（m+2）=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m=2 B．m=-2 C．m=±2 D．m≠2
8．若x＝﹣1是一元二次方程x2+（a﹣1）x+2b＝0的根，则代数式3a﹣6b的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
9．不解方程，判断方程的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．以上说法都不正确
10．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A． B．1 C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元．若平均每次降价的百分率是x，则关于x的方程是 ．
12．已知方程的两根分别为，，则 ．
13．已知m是关于x的方程x2﹣2x+3=0的一个根，则-2m2+4m= ．
14．有一块斜边长的直角三角尺角，它的锐角为，还有一根直尺，长边的长为，短边的长为．如图，将直尺的短边与直角三角尺的斜边重合，且点与点重合，将直尺沿方向平移，如图，图设平移的长度为，当直尺与直角三角尺重合部分的面积（即图中阴影部分）第二次为时，的值为 ．

15．若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
16．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是 ．
三、解答题
17．阅读材料：
若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则 x1+x2=﹣，x1 x2=，我们把这个命题叫做韦达定理，根据上述材料，解决下面问题：
（1）一元二次方程 2x2﹣3x+1=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=( )，x1 x2=( ) ；
（2）已 知 实 数 m 、n 满足 m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0 且 m≠n，求+的值；
（3）若 x1，x2总是方程 2x2+4x+m=0 的两个根，求 x12+x22 的最小值．
18．解方程：
(1)
(2)
19．如果一个正方体的长增加3cm，宽减少4cm，高增加2cm，所得的长方体的体积比原正方体的体积增加251cm3，求原正方体的边长．
20．近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．
(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；
(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
21．在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
22．解方程：
①；
②．
23．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．现设的长为1．
(1)求的长；
(2)若令，，记，，，，求的值．
24．解方程：(1)(x﹣2)2＝5；(2)x2﹣2x﹣2＝0；(3)(x﹣3)(x+2)＝6．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用已知条件假设出一根，代入方程，根据所得结果的奇偶性，可以排除A，再利用特殊值法可求出B，C不正确，从而确定答案.
【详解】解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+1（k为整数），分别代入原方程得，
或，
中，等号左边为奇数，右边为偶数，
中，等号左边为奇数，右边为偶数，
方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，
所以排除A；
若a，b，c分别取4，8，3，
则方程为，
解得：x=或，
则排除C，D．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根整数根的有关知识，以及整数的奇偶性，难度不大，题目比较典型．
2．D
【分析】先找到，再判断，根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
故一元二次方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，根据判别式得到根的情况．
3．D
【分析】①将代入代数式，计算即可；②根据，得，进而即可求解；③根据，令，则，一元二次方程即可求解．
【详解】解：①将代入，得，
∵
∴，
∴或，
故①不正确；
②∵，
∴
∴
∴，
故②不正确
③当时，，
∴
令，则，
∴，
解得：或，
即或，故③不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．
4．A
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，再结合k为整数即可找出最大的k值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠5．
∵k为整数，
∴k的最大值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式，设方程的两根为，，根据题意得，，根据二次根式有意义的条件得进行计算即可得；解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根的判别式．
【详解】解：设方程的两根为，，
∵方程的两实根异号，
∴，
解得，，
∵方程的两实根，
∴，
，
解得，，
∵
∴，
综上，，
故选：D．
6．A
【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x，
根据题意得，，
解得，（不合题意，舍去）．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．A
【详解】根据一元二次方程的定义，得： 解得：m=2.故选A.
8．D
【分析】先将代入方程得到，再将其整体代入3a﹣6b计算即可得解；
【详解】解：将代入方程得：，
即：，
∴；
故选择：D
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及代数式求值，利用整体的思想代入计算是解题的关键．
9．C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=60＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：∵在方程中，△=（-6）2-4×3×（-2）=60＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选： C
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
10．A
【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得．
【详解】解：x(x+1)+ax=0，
∴x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
11．60（1﹣x）2=48.6．
【详解】试题分析：本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程．
解：第一次降价后每盒价格为60（1﹣x），
则第二次降价后每盒价格为60（1﹣x）（1﹣x）=60（1﹣x）2=48.6，
即60（1﹣x）2=48.6．
故答案为60（1﹣x）2=48.6．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
12．
【分析】将化为，利用一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积是解决问题的关键．
13．6
【详解】∵m是关于x的方程x2﹣2x+3=0的一个根，
∴m2-2m+3=0，
∴m2-2m=-3，
∴-2m2+4m=-2(m2-2m)=-2×（-3）=6.
14．
【分析】结合题意和三角形的内角和公式求得，，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求得不同状态下阴影部分的面积，分别计算，进行求解即可．
【详解】解：∵是直角三角形，且锐角为，
则另一个锐角为，
即，，
∵直尺的短边与直角三角尺的斜边重合，
即当点在点的左侧时，，，
则，
即是等腰直角三角形，
同理，当点在点的右侧时，是等腰直角三角形，
当点在点的左侧时，，，
则，
即是等腰直角三角形，
同理，当点在点的右侧时，是等腰直角三角形，
①当点与点重合时，阴影部分的面积；
∵，故该情况舍去；
②当点在点的左侧时，阴影部分的面积，
∵，
则，，
故阴影部分的面积；
且点与点重合时，阴影部分面积的值最大；
③当点与点重合时，∵，，
∴，
则此时，
即当点与点重合时，阴影部分的面积；
∵，故该情况舍去；
④当点在点的右侧，点在点的左侧时，阴影部分的面积，
∵，，，
故，
∴，
则，
，
故
故阴影部分的面积；
若阴影部分的面积为，即，
整理得：，
解得：，，
故当平移的长度为和时，阴影部分的面积为；
根据等腰直角三角形的对称性可知，当点与点重合，点在点右侧时，阴影部分的面积均小于；
综上，平移的长度为和时，阴影部分的面积为，
∵，
故阴影部分的面积第二次为时，的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，不规则图形的面积计算，公式法解一元二次方程，特殊角的三角函数值等，解题的关键是结合题意分类讨论，利用割补法求解阴影部分的面积．
15．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出结论．
【详解】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2＝，
∵（m﹣2）2≥0，
∴≥0，
解得：，
∴c的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
16．10%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6，由此求解即可.
【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，
根据题意得：60（1-x）2=48.6，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．（1），；（2）﹣1；（3）x12+x22的最小值为 2．
【分析】（1）直接利用韦达定理求解；
（2）利用已知条件可把 m、n 看作方程 x2﹣x﹣1=0 的两根，利用根与系数的
关系得到 m+n=1，mn=﹣1，而，然后利用整体代入的方法计算；
（3）先利用判别式的意义求出 m≤2，再利用根与系数的关系得到 x1+x2=-2，
x1 x2=，由于x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1 x2，从而可根据 m 的范围确定x12+x22的最小值．
【详解】（1）x1+x2=，x1 x2=；
（2）∵实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0 且m≠n，
∴m、n可看作方程x2-x-1=0的两根，
∴m+n=1，mn=-1，
∴+=-1；
（3）∵△=42﹣4×2×m≥0，
∴m≤2，
根据题意得x1+x2=-2，x1 x2=，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4-m，
∵m≤2，
∴4-m≥2，
∴x12+x22的最小值为 2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及判别式的意义．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用求根公式解方程；
（2）方程的左边提取公因式进行因式分解，然后解方程．
【详解】（1）解：移项，得，
∵方程的二次项系数，一次项系数，常数项，
∴，
解得；
（2）解：由原方程，得
，
∴或，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟练掌握解题方法是解题的关键．
19．25cm.
【分析】设原正方体的边长为xcm，则现在长方体的长为（x+3）cm，宽为（x－4）cm，高为（x+2）cm，利用长方体的体积计算长方体体积为：(x+3)(x－4)(x+2)，正方体体积为x3，则依据题意列出方程：(x+3)(x－4)(x+2)－x3=251.
【详解】设原正方体的边长为xcm，则现在长方体的长为（x+3）cm，宽为（x－4）cm，高为（x+2）cm，
根据题意列方程得：
（x+3）（x－4）（x+2）－x3=251，
整理得x2－14x－275=0，
∴x1=25，x2=－11（不符合题意，舍去）．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以矩形的周长公式和面积公式为基础解决实际问题.
20．(1)
(2)x为20
(3)8折
【分析】（1）按照“如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件”直接列式即可；
（2）根据（1）设的未知数，根据题意列一元二次方程求解即可；
（3）设该商品需要打a折销售，根据（2）可得售价不得超过（100-20）元，据此不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件
每件商品降价x元时，日销售量为，即件．
故答案为．
（2）解：由题意得：即
解得，
因为尽快销售完该商品，所以
答：当x为20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品．
（3）解：设该商品需要打a折销售
由题意得：，解得
答：该商品至少需打8折销售．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解答本题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，得，解出，，即可分解因式；
（2）令，其中y看作常数，解出，，即可分解因式；
（3）令，得，解出，，即可分解因式．
【详解】（1）令，则有方程为，
解得：，，
∴=
∴；
（2）令，
解得：，，
∴=；
（3）令，则有方程为，
解得：，，
∴=
∴=．
【点睛】本题考查了因式分解，运用分解因式中整体思想，换元灵活变化应用是解题的关键．
22．①，；②，
【分析】①利用求根公式法解方程；
②先变形得到x（2x-5）-2（2x-5）=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：①，
，
所以，；
②，
，
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
23．(1)
(2)5050
【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解；
（2）由，，可得，通分化简可得：，，依据规律可得：，即问题得解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整理有，
∴解得：，（负值不符合题意，舍去）
即的长为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
∴，
即答案为：5050．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值以及黄金分割的概念等知识，掌握分式的化简求值是解答本题的关键．
24．（1），；（2），；（3），
【分析】（1）直接开平方解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用乘法公式去括号，整理后利用因式分解法解方程即可.
【详解】（1）
x-2=
x1=，，
（2）
x==
x1=，，
（3）
x2-x-6=6
x2-x-12=0
(x-4)(x+3)=0
x1=4，x2=-3.
【点睛】本题考查解一元二次方程，直接开平方、公式法、因式分解法都是常用方法，熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键.
答案第1页，共2页
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