第一章 空间向量与立体几何 章末小结复习课(共40张PPT)

(共40张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
章末复习小结
人教A版（2019)
知识复习
课标定位
课程标准提出:本单元的学习,可以帮助学生在学习平面向量的基础上,
利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用,
体会平面向量和空间向量的共性和差异;
运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系,
体会向量方法和综合几何方法的共性和差异;
运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题,
感悟向量是研究几何问题的有效工具.
知识复习
知识体系构建
知识梳理
1.空间向量相关概念　
1.空间向量的定义：空间中，既有大小又有方向的量
2.空间向量的符号：,…
3.空间向量的图示：有向线段及其长度
4.空间向量的模(长度)：空间向量的大小，记作||,||,…
5.零向量：长度为0(起点与终点重合)的向量，记作
7.相反向量：长度相等且方向相反的向量.
6.单位向量：长度为1的向量，记作
9.共线(平行)向量：
的相反向量是-；的相反向量是
8.相等向量：长度相等且方向相同的向量(与起点无关)
(定义1)若干有向线段所在直线互相平行或重合的空间向量；
(定义2)若干方向相同或相反的空间向量；
知识梳理
10.向量与平面平行：若表示向量的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，则称向量平行于平面α.
②任意两个空间向量必共面.
注：①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面.
11.共面向量：平行于同一个平面的向量.
③任意三个空间向量可能共面，也可能不共面.
12.直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．
1.空间向量相关概念　
13.平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
知识梳理
14. 投影向量：
⑵上的投影向量：
⑴上的投影向量为；
对于空间向量,
上的投影向量的模：.
15.空间直角坐标系：
1.空间向量相关概念　
先找出直线l的方向向量,其余同⑴.
在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz.
①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量.
②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.
它们把空间分成8个部分.
知识梳理
15.空间直角坐标系：
1.空间向量相关概念　
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°.
④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，
食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，
则称该坐标系为右手直角坐标系.
知识梳理
16.空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
17.空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量，作(如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x, y, z).
1.空间向量相关概念　
18.平面与平面的夹角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同.
知识梳理
2.空间向量位置关系
位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
知识梳理
3.空间向量相关定理
1.共线向量定理：对于任意两个空间向量 ，
①作用：判定两个向量是否共线(找λ).
②推论：判定三点是否共线(同起点&系数和为1;或转化为向量共线).
知识梳理
3.空间向量相关定理
2.共面向量定理：若向量 不共线，则
作用: 判定三个向量是否共面(找x,y).
推论: 判定四点是否共面(同起点/系数和为1，或转化为三个向量共面).
知识梳理
3.空间向量相关定理
3.空间向量基本定理：如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z．
把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量．
①空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
②单位正交基底{}：基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1.
③把空间向量进行正交分解：把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，
即＝x＋y＋z．
④若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底.
知识梳理
4.空间向量的运算(线性运算)
数乘：
加法：
①三角形法则;
A
B
C
O
②平行四边形法则.
减法：.
A
O
Q
P
M
N
当；
当；
当.
交换律： ;
结合律: ;.
分配律:(λ+μ)+μ ,(＋)=.
知识梳理
4.空间向量的运算(数量积)
如图，已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作=a，=b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作.
如果=,那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积.即a·b=|a||b|cos.
向量数量积的运算律
(λa) b=λ(a b)，λ∈R
a b=b a(交换律)
a (b+c)=a b+a c(分配律)
知识梳理
4.空间向量的运算(坐标表示)
设,,
,
,
,
,
当时， .
.
.
.
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是空间任意两点，则
.
知识梳理
5.用空间向量研究距离
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为，，设，则
.
2.点到平面的距离
已知平面α的法向量为，则
.
3.空间距离问题的转化
⑴求两条平行直线间的距离可转化为求其中一条直线上一点到另一条直线的距离.
⑵直线与平面平行，求它们之间的距离，可转化为求这条直线上一点到这个平面的距离.
⑶求两个平行平面间的距离，可转化为求其中一个平面上一点到另一个平面的距离.
知识梳理
6.用空间向量研究夹角
1.用向量法求异面直线所成角
2.用向量法求线面所成角
3.用向量法求平面与平面的夹角
若异面直线l1，l2所成的角为θ()，其方向向量分别是，则
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则
.
.
若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ()，则
.
题型探究
【例1】如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，.M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用，，表示以下向量：
⑴;
⑵.
解：
⑴
⑵
=
题型1：空间向量的线性运算　
=.
题型探究
【例2】已知向量＝(1，－3,2)，＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
⑴求;
⑵若O为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E，使得
解：
⑴∵.
∴.
⑵设存在满足题意的点E(x，y，z)，则有∥，且.
题型2：空间向量的数量积运算　
故在直线AB上存在点E()，使得.
∵,
∴,解得
题型探究
【例3】如图，由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=90°，AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD=平面CC1D 平面ACC1A1.
⑴求证：AC DC1;
⑵若M为 DC1中点，求证：AM//平面DBB1.
题型3：空间向量解决线面位置关系问题
解：
⑴在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵CC1 平面ABC，又AC 平面ABC，
∴CC1 AC ，
∵平面CC1D 平面ACC1A1,且平面 CC1D∩平面ACC1A1=CC1，
又AC 平面 ACC1A1,
∴AC 平面CC1D，
又 DC1 平面CC1D，
∴AC DC1.
题型探究
解：
⑵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AA1 平面A1B1C1，而A1B1,A1C1 平面A1B1C1,
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(2,,0),C1(0,,0),B(2,0,1),B1(0,0,1),D(1,,2).
∴，,-1),
设平面DBB1 的一个法向量为，则
∴AA1 A1B1，AA1 A1C1,又∠BAC=90°，
题型3：空间向量解决线面位置关系问题
，即，令y=1，则(0,1,，
∵M为DC1的中点，则M()，所以，
∵，
∴，
又 AM 平面DBB1，
∴AM//平面DBB1.
题型探究
【例4】某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
⑴若O是四边形EBCF对角线的交点，
求证：AO//平面GCF；
⑵若二面角A-EF-B是直二面角，
求点B到平面GCF的距离．
题型4：空间向量解决距离问题　
题型探究
⑴证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，
四边形EBCF是矩形，且CB=2EB，
∴在图2中，AG//BC且AG=BC，AG//OH且AG=OH，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴ OH//BC且OH=，在图1中知AG//BC且AG=BC，EF//BC且EF=BC，
题型4：空间向量解决距离问题　
H
∴四边形AOHG是平行四边形，
∴AO//HG，
由于AO 平面GCF，HG 平面GCF，
∴AO//平面GCF.
题型探究
⑵解：由图1，EF AE，EF BE,折起后在图2中仍有 EF AE，EF BE，
∴,，
∴∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角，
以E为坐标原点，分别为 轴和 轴正向建立空间直角坐标系E-xyz，则B(2,0,0)、C(4,2,0)、F(0,4,0)、A(0,0,2)、G(0,2,2)，
题型4：空间向量解决距离问题　
设平面GCF 的一个法向量为，则
取y=1,则z=1,于是平面GCF的一个法向量 =(0,1,1),
，即，
∴点B到平面GCF的距离为d=.
∴∠AEB=90°，
题型探究
【例5】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
⑴证明：平面AEC⊥平面AFC;
⑵求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
题型5：空间向量解决夹角问题　
⑴证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF，如图,
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝
GC＝，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC可知AE＝EC，
又∵AE⊥EC，
∴EG＝，EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，
G
∴DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝可得EF＝.
∴EG2＋FG2＝EF2，
∴EG⊥FG，
题型探究
∵AC∩FG＝G，
⑵如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴正方向，过点G且垂直于平面ABCD的直线为z轴，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，
题型5：空间向量解决夹角问题　
∴EG⊥平面AFC.
∵EG 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面AFC.
由⑴可得A(0，-，0)，E(1，0，)，F(-1,0,)，C(0，，0)，
∴,
则.
∴直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
题型探究
【例6】如图所示，在底面是菱形的四棱锥P ABCD中，
∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD
上，且PE∶ED＝2∶1.
⑴求证：PA⊥平面ABCD；
⑵求平面EAC与平面DAC所成角θ的大小；
⑶棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
题型6：空间向量探索性问题　
⑴证明：∵PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴PA2＋AB2＝PB2，PA2＋AD2＝PD2，
∴PA⊥AB且PA⊥AD，
又AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
题型探究
解:
⑵∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，设AC∩BD＝O，
以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为
A(0,，0),B(,0,0),C(0,,0),D(,0,0),P(0,,a).
∵点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，
∴，即,
∴,即点E的坐标为E,
易得,
又平面DAC的一个法向量为＝(0,0,1)，
题型6：空间向量探索性问题　
题型探究
解:
设平面EAC的法向量为＝(x，y，z)，则
,即
∴，
即,
∴平面EAC与平面DAC所成角θ的大小为.
题型6：空间向量探索性问题　
取x=1,则z=,y=0,,
题型探究
解:
⑶设在CP上存在点F，满足题设条件，设＝λ (0≤λ≤1)，得
λ,
依题意，则有
∴,即,
∴点F为PC的中点时，满足题设条件.
题型6：空间向量探索性问题　
∴,
解得λ=，
初试身手
1.如图所示，已知平面，四边形为矩形，，，分别为，的中点.求证：
⑴MN//平面PAD;
⑵平面PMC⊥平面PDC.
证明:
设PA=AD=a,AB=b，则P(0,0,a)，A(0,0,0)，D(0,a,0)，
C(b,a,0)，B(b,0,0)，因为M,N分别为AB,PC的中点,
∴M(,0,0),N().
⑴如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线
分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.
∴,,,
∴，
又∵MN 平面PAD，
∴MN//平面PAD.
初试身手
⑵由⑴可知,,,
设平面PMC的法向量为，则
,即,
令z1=b,得x1=2a,y1=-b,则(2a,-b,b),
设平面PCD的法向量为，则
,即，
令z2=1,得x2=0,y2=1,则(0,1,1),
∴=0,即,
∴平面PMC⊥平面PDC.
初试身手
2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2AB=AA1=4，CE=EC1，AF=3FA1.
⑴证明：BE⊥平面B1EF；
⑵求平面EBF与平面BFA夹角的余弦值.
解:
∴BE2+B1E2=BB12,即BE⊥B1E，
⑵以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz，则B(0,，E(-1,0,2)，F (1,0,3).
又B1E∩EF=E，
∴，，
⑴证明：由条件可知BE=，BF=，EF=，
∴BE2+EF2=BF2,即BE⊥EF，
BE=B1E=，BB1=4，
∴BE⊥平面B1EF.
初试身手
2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2AB=AA1=4，CE=EC1，AF=3FA1.
⑴证明：BE⊥平面B1EF；
⑵求平面EBF与平面BFA夹角的余弦值.
解:
易得平面ABF的一个法向量为 ，
.
取 ，得x=-3,z=6，则= (.
∴平面EBF与平面BFA夹角的余弦值为.
设平面BEF的法向量为，则
,即，
初试身手
3.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.
⑴证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
⑵是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°？
若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
解:
⑴证明：∵，
∴,
∵,
∴无论λ取何值，总有AM⊥PN.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M(0,1,),N(,,0)，
∴P(λ，0，1)，
∴,,
∴⊥,
初试身手
解:
∴，
化简得4λ2＋10λ＋13＝0,
令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ，
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°.
⑵假设存在点P满足题意，设＝(x，y，z)是平面PMN的法向量，则
，即,
∴＝(3，1＋2λ，2－2λ)．
易知平面ABC的一个法向量为＝(0，0，1),
∴此方程无解,
∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0，
作业布置
作业： p47-48 复习参考题1 第3，4，6,8，9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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