浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·联合期末）设全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由补集可得，又，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查集合的补集运算和交集运算.先根据集合的补集的定义： 设U是一个集合， B是U的一个子集， 由U中所有不属于B的元素组成的集合， 叫做U中子集B的补集， 记作 ，先求出集合B，再根据集合交集运算可求出.
2．（2024高二下·联合期末）的展开式中的常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-120 D．120
【答案】B
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项为：，
取得到常数项为：.
故答案为：B.
【分析】先求出二项式展开式的通项可得：，通过观察取得到常数项，反代回通项进行计算可求出常数项.
3．（2024高二下·联合期末）已知圆台的高为8，上 下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图所示，由题知，，，
则.
故圆台的表面积.
故答案为：D
【分析】本题考查圆台的表面积公式.根据题意先画出图形，据此可得，，，利用勾股定理可求出，再利用圆台的表面积公式：求出侧面积，再求出上底面积和下底面积，可求出圆台的表面积.
4．（2024高二下·联合期末）已知向量在上的投影向量记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，
故.
故答案为：C
【分析】先根据向量的定义求出，再根据投影向量的模长公式可得：，代入数据进行计算可求出答案.
5．（2024高二下·联合期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：根据题意：，则，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为： A
【分析】先利用两角和的正切公式可列出方程，解方程可求出，利用同角三角函数的基本关系可以求出的值，再利用二倍角的正弦公式可求出答案.
6．（2024高二下·联合期末）已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：若，
当时，，所以，
当时，，
所以，
可得，即，
可得是公比为2首项的等比数列；
若为等比数列，
可得当时，，所以，即，
则“”是“为等比数列”的充要条件.
故答案为：C
【分析】若，当时，先求出，当时，利用数列的通项与前n项和的关系可推出，据此可得是公比为2首项的等比数列，充分性成立；若为等比数列，可得当时，利用数列的通项与前n项和的关系可得，必要性成立.
7．（2024高二下·联合期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，是减函数，且，
故当时有且仅有一个零点，
由题意得，当时，有3个零点，
，
，
令，即，如图所示：
结合图象分析得，即，解得.
故答案为：.
【分析】当时，利用指数函数的单调性和一次函数的单调性分析可知：当时有且仅有一个零点，则当时，有3个零点，利用正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出正数的取值范围.
8．（2024高二下·联合期末）已知函数的定义域为，且满足，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A.令，则，解得，A正确；
C.令，则，即，
因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，C正确；
B和D.令，则，因为不恒为0，且，
所以只能，从而，周期为4，
显然，B错误，D正确.
故答案为：B
【分析】利用赋值法，令，通过计算可判断A选项；令，通过计算可推出，据此可判断函数的奇偶性，判断C选项；令，通过化简可得：，进而可推出函数的周期为4，利用周期性进行计算可判断B选项和D选项.
二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·联合期末）已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ）
A． B．为纯虚数
C．对应的点位于第四象限 D．
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A.，
则，A错误；
B.为纯虚数，B正确；
C.，对应的点为，位于第四象限，C正确；
D.，，D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查复数的除法运算，复数的模长公式，纯虚数的概念，复数的几何意义.先利用复数的除法运算：分子和分母同时乘以，通过化简可求出复数，再利用复数的模长公式进行计算可判断A选项；根据完全平方公式和复数的乘法运算可求出，利用纯虚数的概念可判断B选项；根据共轭复数的定义可求出，根据复数的几何意义可求出对应点，据此可判断C选项.结合B选项和A选项可判断D选项.
10．（2024高二下·联合期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，恒成立
C．若恰有一个零点，则
D．若恰有两个零点，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，当时，，，则，，
故切线方程是，即，A正确；
B，当时，，，
当单调递增，当单调递减，
故，B正确，
CD，令，则，记，则，
当单调递增，当单调递减，
故，又，而，
故当时，此时直线与有两个不相等的交点，
当或时，直线与有1个交点，C错误，D正确，
故答案为：ABD.
【分析】先求出导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出切线方程判断A选项；先求出导函数，根据导函数的正负可判断出函数的单调性，进而求出函数的最值，据此可判断B选项；根据零点的定义，通过变形可得：，记，再求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出函数的最值，画出函数的图象，观察直线与的交点个数，可找出实数a的取值范围，判断C选项和D选项.
11．（2024高二下·联合期末）如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个
D．若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为
【答案】A,C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A，以为原点，建立空间直角坐标系，如图如图所示：
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则，所以，即，所以平面，A正确；
B，设与平面所成的角为，
则，B错误；
C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为，正方体的对角线，
设到平面的距离为，由，
则，则，
则到平面的距离为，
因为，所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个，
又与平面所成角的正弦值为，所以到平面的距离为，
因为，所以在棱上都存在满足条件的点，
同理在都存在满足条件的点，
而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点，
所以满足条件的点共有9个，C正确；
D，设，则，又，
所以，即，
则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，
而当点和或重合时与所成角为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】建立以为原点空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的一个法向量，据此可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可判断A选项；设与平面所成的角为，利用空间向量的夹角计算公式求出，可判断B选项；求出正方体各个顶点到平面的距离，再将距离与比较，可判断C选项；点在侧面内运动，且满足，可得点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点于或重合时，利用等边三角形的性质可推出与所成角为，据此可判断D选项.
三、 填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．（2024高二下·联合期末）连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，则基本事件有
共个，
记“两次向上点数之和为7”为事件，
则包含的基本事件有，，，，，共个，
所以.
故答案为：
【分析】先通过列举找出基本事件的个数，再找出“两次向上点数之和为7”的事件个数，利用古典概型的概率公式进行计算可求出概率.
13．（2024高二下·联合期末）在中，为所在平面内的两点，，，则的值为 .
【答案】12
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：因为在中，，
所以为正三角形，
因为，
，
所以
，
故答案为：12.
【分析】先利用等边三角形的性质求出，再利用平面向量基本定理用向量分别表示，再利用平面向量的数量公式进行计算可求出答案.
14．（2024高二下·联合期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由可得，
由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为，
求导得，因此，
故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于，
故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（），
，故的最小值为到的距离，
故答案为：
【分析】先通过求导推出椭圆在的切线斜率为，根据直线于圆也相切于，利用直线的点斜式方程可求出点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式可求出的最小值.
四、 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·联合期末）在中，角的对边分别是.
（1）求角的大小；
（2）若面积为，且周长为6，求.
【答案】（1）解： 因为，所以
所以
因为
所以
因为，所以，所以，故
（2）解： 由题意得
因为，所以
由余弦定理得，所以
所以，解得
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出，据此可反推出角；
（2）先利用三角形的面积公式求出，再根据三角形的周长计算公式可得：，再利用余弦定理进行计算可列出方程，解方程可求出的值.
16．（2024高二下·联合期末）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示.
参考数据：若，则
（1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数.
【答案】（1）解： 由题意得，解得
因为上的频率分别为，
所以样本的平均值为，
估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分.
（2）解： 取，则，可得标准差
估计得分在上的人数约为人.
【知识点】频率分布直方图；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，正态分布.
（1）根据各组的频率之和为1可列出方程，解方程可求出的值，再利用频率分布直方图平均数的计算公式可求出平均值；
（2）取，标准差，据此可得：，利用正态分布的对称性可求出，再乘以总人数5000可求出得分在上的人数.
17．（2024高二下·联合期末）已知四棱锥为的中点，平面，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求.
【答案】（1）证明：且为的中点，，
平面平面，
又且平面平面，
平面，
与共面，，
又平面平面，
平面.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则如图所示：
设，则
设面的法向量为，
由，解得
设面的法向量为，由解得.
设二面角的大小为，则
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求二面角.
（1）利用等腰三角形的性质可得，利用直线与平面垂直的性质可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用直线与平面垂直的性质可推出，进而可得，再利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可列出方程，解方程可求出t的值，进而求出的值.
18．（2024高二下·联合期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.
（1）求的方程；
（2）证明：直线恒过定点；
（3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
【答案】（1）解： 右顶点
，解得
.
（2）解： 设，可设直线.
联立，得，即.
.
以为直径的圆经过点
即
，化简得
当时，直线经过点，不符条件，舍去..
直线必过定点.
（3）解： 由（2）知.
为中点，，代入得.
由得.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）根据右顶点，先求出a的值，利用双曲线的离心率公式可求出c的值，利用双曲线的关系式可求出b的值，据此可写出的方程；
（2）设直线，联立直线与双曲线方程，应用韦达定理可得：，根据以为直径的圆经过点可推出，利用斜率公式进行计算可列出方程，解方程可求出t的值，进而证明直线恒过定点.联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，
（3）利用中点坐标公式结合双曲线方程可推出，据此可求出，利用三角形的面积公式进行计算可求出三角形面积之比.
19．（2024高二下·联合期末）已知奇函数，其中.
（1）求值；
（2）若对任意上恒成立，求的取值范围；
（3）记，证明：当时，.
【答案】（1）解： 为奇函数，
即
化简得且
（2）解： 由（1）知.
当时，，
又在上单调递增
对任意上恒成立
当时，令，则
此时，
与条件矛盾.
综上.
（3）解： 由条件可知，待证不等式可作如下等价变形：
故即证：当时，.
构造函数，则.
在上单调递增，，即.
当时，.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）函数为奇函数，根据奇函数的性质可得：，据此可列出方程，解方程可求出，据此可求出的值；
（2）当时，，利用函数单调性进行放缩可得：对任意上恒成立，当时，可举出反例：令，可推出与条件矛盾，综合可求出实数的取值范围；
（3）变形得到，转化为证明：当时，成立，构造函数，求出导函数，利用基本不等式可推出在上单调递增，利用单调性可证明结论.
1 / 1浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·联合期末）设全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·联合期末）的展开式中的常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-120 D．120
3．（2024高二下·联合期末）已知圆台的高为8，上 下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·联合期末）已知向量在上的投影向量记为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·联合期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·联合期末）已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二下·联合期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·联合期末）已知函数的定义域为，且满足，
则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·联合期末）已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ）
A． B．为纯虚数
C．对应的点位于第四象限 D．
10．（2024高二下·联合期末）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，恒成立
C．若恰有一个零点，则
D．若恰有两个零点，则
11．（2024高二下·联合期末）如图，是棱长为1的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个
D．若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为
三、 填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．（2024高二下·联合期末）连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为 .
13．（2024高二下·联合期末）在中，为所在平面内的两点，，，则的值为 .
14．（2024高二下·联合期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 .
四、 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·联合期末）在中，角的对边分别是.
（1）求角的大小；
（2）若面积为，且周长为6，求.
16．（2024高二下·联合期末）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示.
参考数据：若，则
（1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数.
17．（2024高二下·联合期末）已知四棱锥为的中点，平面，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，二面角的大小为，求.
18．（2024高二下·联合期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.
（1）求的方程；
（2）证明：直线恒过定点；
（3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
19．（2024高二下·联合期末）已知奇函数，其中.
（1）求值；
（2）若对任意上恒成立，求的取值范围；
（3）记，证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由补集可得，又，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查集合的补集运算和交集运算.先根据集合的补集的定义： 设U是一个集合， B是U的一个子集， 由U中所有不属于B的元素组成的集合， 叫做U中子集B的补集， 记作 ，先求出集合B，再根据集合交集运算可求出.
2．【答案】B
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项为：，
取得到常数项为：.
故答案为：B.
【分析】先求出二项式展开式的通项可得：，通过观察取得到常数项，反代回通项进行计算可求出常数项.
3．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图所示，由题知，，，
则.
故圆台的表面积.
故答案为：D
【分析】本题考查圆台的表面积公式.根据题意先画出图形，据此可得，，，利用勾股定理可求出，再利用圆台的表面积公式：求出侧面积，再求出上底面积和下底面积，可求出圆台的表面积.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，
故.
故答案为：C
【分析】先根据向量的定义求出，再根据投影向量的模长公式可得：，代入数据进行计算可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：根据题意：，则，
因为，所以，所以，
所以.
故答案为： A
【分析】先利用两角和的正切公式可列出方程，解方程可求出，利用同角三角函数的基本关系可以求出的值，再利用二倍角的正弦公式可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：若，
当时，，所以，
当时，，
所以，
可得，即，
可得是公比为2首项的等比数列；
若为等比数列，
可得当时，，所以，即，
则“”是“为等比数列”的充要条件.
故答案为：C
【分析】若，当时，先求出，当时，利用数列的通项与前n项和的关系可推出，据此可得是公比为2首项的等比数列，充分性成立；若为等比数列，可得当时，利用数列的通项与前n项和的关系可得，必要性成立.
7．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，是减函数，且，
故当时有且仅有一个零点，
由题意得，当时，有3个零点，
，
，
令，即，如图所示：
结合图象分析得，即，解得.
故答案为：.
【分析】当时，利用指数函数的单调性和一次函数的单调性分析可知：当时有且仅有一个零点，则当时，有3个零点，利用正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出正数的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A.令，则，解得，A正确；
C.令，则，即，
因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，C正确；
B和D.令，则，因为不恒为0，且，
所以只能，从而，周期为4，
显然，B错误，D正确.
故答案为：B
【分析】利用赋值法，令，通过计算可判断A选项；令，通过计算可推出，据此可判断函数的奇偶性，判断C选项；令，通过化简可得：，进而可推出函数的周期为4，利用周期性进行计算可判断B选项和D选项.
9．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A.，
则，A错误；
B.为纯虚数，B正确；
C.，对应的点为，位于第四象限，C正确；
D.，，D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查复数的除法运算，复数的模长公式，纯虚数的概念，复数的几何意义.先利用复数的除法运算：分子和分母同时乘以，通过化简可求出复数，再利用复数的模长公式进行计算可判断A选项；根据完全平方公式和复数的乘法运算可求出，利用纯虚数的概念可判断B选项；根据共轭复数的定义可求出，根据复数的几何意义可求出对应点，据此可判断C选项.结合B选项和A选项可判断D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，当时，，，则，，
故切线方程是，即，A正确；
B，当时，，，
当单调递增，当单调递减，
故，B正确，
CD，令，则，记，则，
当单调递增，当单调递减，
故，又，而，
故当时，此时直线与有两个不相等的交点，
当或时，直线与有1个交点，C错误，D正确，
故答案为：ABD.
【分析】先求出导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出切线方程判断A选项；先求出导函数，根据导函数的正负可判断出函数的单调性，进而求出函数的最值，据此可判断B选项；根据零点的定义，通过变形可得：，记，再求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出函数的最值，画出函数的图象，观察直线与的交点个数，可找出实数a的取值范围，判断C选项和D选项.
11．【答案】A,C
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：A，以为原点，建立空间直角坐标系，如图如图所示：
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则，所以，即，所以平面，A正确；
B，设与平面所成的角为，
则，B错误；
C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为，正方体的对角线，
设到平面的距离为，由，
则，则，
则到平面的距离为，
因为，所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个，
又与平面所成角的正弦值为，所以到平面的距离为，
因为，所以在棱上都存在满足条件的点，
同理在都存在满足条件的点，
而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点，
所以满足条件的点共有9个，C正确；
D，设，则，又，
所以，即，
则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，
而当点和或重合时与所成角为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】建立以为原点空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的一个法向量，据此可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可判断A选项；设与平面所成的角为，利用空间向量的夹角计算公式求出，可判断B选项；求出正方体各个顶点到平面的距离，再将距离与比较，可判断C选项；点在侧面内运动，且满足，可得点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点于或重合时，利用等边三角形的性质可推出与所成角为，据此可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，则基本事件有
共个，
记“两次向上点数之和为7”为事件，
则包含的基本事件有，，，，，共个，
所以.
故答案为：
【分析】先通过列举找出基本事件的个数，再找出“两次向上点数之和为7”的事件个数，利用古典概型的概率公式进行计算可求出概率.
13．【答案】12
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：因为在中，，
所以为正三角形，
因为，
，
所以
，
故答案为：12.
【分析】先利用等边三角形的性质求出，再利用平面向量基本定理用向量分别表示，再利用平面向量的数量公式进行计算可求出答案.
14．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由可得，
由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为，
求导得，因此，
故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于，
故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（），
，故的最小值为到的距离，
故答案为：
【分析】先通过求导推出椭圆在的切线斜率为，根据直线于圆也相切于，利用直线的点斜式方程可求出点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式可求出的最小值.
15．【答案】（1）解： 因为，所以
所以
因为
所以
因为，所以，所以，故
（2）解： 由题意得
因为，所以
由余弦定理得，所以
所以，解得
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出，据此可反推出角；
（2）先利用三角形的面积公式求出，再根据三角形的周长计算公式可得：，再利用余弦定理进行计算可列出方程，解方程可求出的值.
16．【答案】（1）解： 由题意得，解得
因为上的频率分别为，
所以样本的平均值为，
估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分.
（2）解： 取，则，可得标准差
估计得分在上的人数约为人.
【知识点】频率分布直方图；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，正态分布.
（1）根据各组的频率之和为1可列出方程，解方程可求出的值，再利用频率分布直方图平均数的计算公式可求出平均值；
（2）取，标准差，据此可得：，利用正态分布的对称性可求出，再乘以总人数5000可求出得分在上的人数.
17．【答案】（1）证明：且为的中点，，
平面平面，
又且平面平面，
平面，
与共面，，
又平面平面，
平面.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则如图所示：
设，则
设面的法向量为，
由，解得
设面的法向量为，由解得.
设二面角的大小为，则
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求二面角.
（1）利用等腰三角形的性质可得，利用直线与平面垂直的性质可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，利用直线与平面垂直的性质可推出，进而可得，再利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可列出方程，解方程可求出t的值，进而求出的值.
18．【答案】（1）解： 右顶点
，解得
.
（2）解： 设，可设直线.
联立，得，即.
.
以为直径的圆经过点
即
，化简得
当时，直线经过点，不符条件，舍去..
直线必过定点.
（3）解： 由（2）知.
为中点，，代入得.
由得.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）根据右顶点，先求出a的值，利用双曲线的离心率公式可求出c的值，利用双曲线的关系式可求出b的值，据此可写出的方程；
（2）设直线，联立直线与双曲线方程，应用韦达定理可得：，根据以为直径的圆经过点可推出，利用斜率公式进行计算可列出方程，解方程可求出t的值，进而证明直线恒过定点.联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，
（3）利用中点坐标公式结合双曲线方程可推出，据此可求出，利用三角形的面积公式进行计算可求出三角形面积之比.
19．【答案】（1）解： 为奇函数，
即
化简得且
（2）解： 由（1）知.
当时，，
又在上单调递增
对任意上恒成立
当时，令，则
此时，
与条件矛盾.
综上.
（3）解： 由条件可知，待证不等式可作如下等价变形：
故即证：当时，.
构造函数，则.
在上单调递增，，即.
当时，.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）函数为奇函数，根据奇函数的性质可得：，据此可列出方程，解方程可求出，据此可求出的值；
（2）当时，，利用函数单调性进行放缩可得：对任意上恒成立，当时，可举出反例：令，可推出与条件矛盾，综合可求出实数的取值范围；
（3）变形得到，转化为证明：当时，成立，构造函数，求出导函数，利用基本不等式可推出在上单调递增，利用单调性可证明结论.
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