湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·咸宁期末）已知i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024高二下·咸宁期末）已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
3．（2024高二下·咸宁期末）已知向量满足．若，则实数（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2024高二下·咸宁期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·咸宁期末）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的的上四分位数为（ ）
A．5 B．5.5 C．14 D．14.5
6．（2024高二下·咸宁期末）在平面直角坐标系中，已知向量与关于x轴对称，向量若满足的点A的轨迹为E，则（ ）
A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆
C．E是两条平行直线 D．E是椭圆
7．（2024高二下·咸宁期末）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34 B．33 C．32 D．30
8．（2024高二下·咸宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·咸宁期末）已知A，B为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若A，B为互斥事件，则
B．若，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若A，B相互独立，则
10．（2024高二下·咸宁期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数且，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是等比数列 D．
11．（2024高二下·咸宁期末）把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中椭圆长轴，短轴为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为线段上的动点，E为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），则下列选项正确的是（ ）
A．当平面时，P为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·咸宁期末）已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 ．
13．（2024高二下·咸宁期末）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为 ．
14．（2024高二下·咸宁期末）2024年奥运会将于7月26日~8月11日在法国巴黎举行，而承办2024巴黎奥运会足球项目的是著名的巴黎王子公园球场（如图），足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有两条进攻线路可供选择，若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·咸宁期末）在中，角A，B，C所对的边为，角A的平分线交边于点D，且．
（1）求A的值；
（2）若，求的面积．
16．（2024高二下·咸宁期末）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面；
（2）若平面，求二面角的正弦值．
17．（2024高二下·咸宁期末）三月“与辉同行”携手湖北文旅，云游湖北省博物馆、赏东湖樱花园、夜上黄鹤楼……一路走来，讲述关于湖北的历史人文、诗词歌赋，为广大网友带来一场荆楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相继迎来了旅游热潮．咸宁的大幕东源花谷，向阳湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客纷至沓来，现对3月中下旬至4月上旬的大幕东源花谷赏花节会部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览大幕东源花谷，另外25%的游客计划既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会．每位游客若只游览大幕东源花谷，则得到1份文旅纪念品；若既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，则获得2份文旅纪念品．假设每位来大幕东源花谷游览的游客与是否参加“向阳花田”音乐会是相互独立的，用频率估计概率．
（1）从大幕东源花谷的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前n项和．
18．（2024高二下·咸宁期末）已知为平面上的一个动点．设直线的斜率分别为，且满足．记P的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）直线分别交动直线于点C、D，过点C作的垂线交x轴于点是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
19．（2024高二下·咸宁期末）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点m，使得.
（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得.
（2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数b的取值范围.
（3）证明：当，时，有.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
.
故答案为：C.
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.先利用复数的除法运算：分子和分母同时除以，通过化简求出复数，利用共轭复数的定义：实部相同，虚部互为相反数的复数，据此可求出，再利用平方差公式进行计算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意可先求出，利用正态分布的对称性可的，代入数据可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，所以.
故答案为：B
【分析】先利用平面向量的坐标运算求出的坐标，再利用平面向量共线的坐标表示公式可列出方程，解方程可求出实数的值.
4．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故答案为：A
【分析】先利用指数函数的单调性可推出函数是R上的增函数，再根据函数的单调性可将不等式转化为，解一元二次不等式可求出原不等式的解集.
5．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：上四分位数即第百分位数，因为，
所以上四分位数为第位和第位的平均数，即，
故答案为：D.
【分析】先求出百分位数的数位，根据百分位数定义可得上四分位数为第位和第位的平均数，进而可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：设，由题有，，
所以，，
所以，即，
所以点的轨迹是一个半径为1的圆，
故答案为：B．
【分析】先设，由题有，，根据，利用平面向量的数量积进行计算可求出点的轨迹方程.
7．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意可知：一位自然数有2个（即为2，4）；
两位自然数有个；
三位自然数有个；
四位自然数由小到大排列为；
可知2024为四位自然数中的第6个，所以.
故答案为：B.
【分析】根据分别求一位、两位、三位的个数，并对4位排序，即可得结果.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，可知，则，
又因为，则，
且，可得，
在中，由余弦定理得，
设，则，
在中，可知，
由余弦定理可得：
即，解得，则，
所以.
故答案为：D
【分析】由离心率可得，根据题意结合双曲线定义可得，，利用余弦定理解得，，进而利用余弦定理求 .
9．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A，若为互斥事件，则，A正确；
B，若，则，B正确；
C，若为互斥事件，则，
所以，C错误；
D，若相互独立，
则，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意为互斥事件，所以，利用和事件的概率公式进行计算可判断A选项；利用条件事件的概率公式可求出，判断B选项；利用为互斥事件，可得，利用和事件的概率公式和对立事件的概率公式进行计算可判断C选项；若相互独立，利用和事件的概率公式可得，代入数据进行计算可判断D选项.
10．【答案】A,C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A.由得，
所以在点处的切线方程，
B和C.令，得，A正确.
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且为敌增数列，B错误，C正确，
D.所以，D错误.
故答案为：AC.
【分析】先求出导函数，利用导数的几何意义可求出切线斜率，据此可求出点处的切线方程，令得，通过化简可判断A选项.利用对数运算对进行变形得，根据等比数列的定义和单调性可判断B选项和C选项.利用等比数列求和公式可求出，判断D选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由题设，长轴长，短轴长，
则，
A.得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，如图所示：
由，，∴四边形为平行四边形，，
当平面时，平面，平面平面，
则，有，
中，是中点，则为的中点，A正确；
B.，，，则中，，，
外接圆半径为，
，则平面，
三棱锥外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，B错误；
C.点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，
令，则，又，
则，，，
，由椭圆性质知，
则当或时，的最大值为，C正确；
D.由，要使三棱锥体积最大，
只需的面积和到平面距离之和都最大，
，令，且，则，
，
当时，有最大值，
在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，如图所示：
且，则椭圆方程为，
设，联立椭圆得，，
，，
令，，
由对勾函数性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】当平面时，l利用直线与平面平行的性质可推出：，利用三角形中位线的定理可确定点位置，判断A选项；先利用正弦定理求出外接圆半径，利用勾股定理可求出三棱锥外接球的半径，利用球的表面积公式可求出球的表面积，据此可判B选项；令，利用正切的定义可求出则，，利用两角和的正切公式可求出，再根据，利用二次函数的性质可求出的最大值，据此可判断C选项；根据，要使三棱锥体积最大，利用棱锥的体积公式可推出的面积和到平面距离之和都最大，进而可求出的最大值，在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为，利用基本不等式可求出，进而可求出三棱锥体积的最大值，判断D选项.
12．【答案】10
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：令，则当时，常数项为．
故答案为：10.
【分析】令，可列出方程，解方程可求出，再求出二项式展开式的通项：，利用通项公式中的指数为，求出，再反代回通项公式可求出常数项.
13．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
其中，
相邻的后面一个使得成立的值为：，
且，当且仅当，解得：．
故答案是：.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先根据x的取值范围，求出的范围，根据正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
14．【答案】；
【知识点】基本不等式；两角和与差的正切公式；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示：
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
【分析】若选择线路，设，利用正切的定义可求出，，再利用两角差的正切公式可求出关于的表达式，再利用基本不等式进行计算可求出的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用直线斜率公式可求出，、再利用两角差的正切公式可求出，采用换元法令，再利用基本不等式可求出的最大值，及此时的长度.
15．【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，
，所以，故，
又．
（2）解：由题意可知，
即，化简得，
在中，由余弦定理推论得，
从而，
解得或（舍）．
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）先利用正弦定理进行边化角，进而可求出，据此可反推出角A的值 ；
（2）利用等面积法进行化简可得：，通过化简可求出，再根据角A的值，利用余弦定理即可求出的值，利用三角形的面积公式进行计算可求出三角形的面积.
16．【答案】（1）证明：取中点中点N，连接如图所示：
因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又，所以，所以四边形是平行四边形．
因为，所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，所以平面．
同理可得平面．
又平面平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）解：以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
所以．
设是平面的法向量，则
，所以，所以．
取，则，所以是平面的一个法向量．
设是平面的法向量，则
，所以，所以．
取，则，所以是平面的一个法向量．
设二面角的大小为，
则，
．
所以，即二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求出二面角.
（1）取中点，中点，连接，根据条件可证明四边形是平行四边形，进而推出，进而可得，据此可证明四边形四边形是平行四边形，进而可得，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，平面，进而推出平面平面，利用平面与平面平行的性质可证明结论.
（2）以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角的余弦值，进而求出正弦值.
17．【答案】（1）解：据题意，每位游客只游览大幕东源花谷的概率为，得到1份文旅纪念品；
既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会的概率为，获得2份文旅纪念品，
则X的可能取值为3，4，5，6，
其中，
，
，
，
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
．
（2）解：因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，
于是，
则．
于是，
两式相减，得
，
所以．
【知识点】数列的求和；二项分布
【解析】【分析】本题考查二项分布，错位相减法求数列的和.
（1）根据题意先求出每位游客得到1份文旅纪念品的概率和得到2份文旅纪念品的概率，再找出X的可能取值，利用二项分布求出对应变量的概率，据此可列出X的分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望；
（2）根据题意可知只有1人既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，可得，先表示出，再用乘以公比，利用错位相减法可求出.
18．【答案】（1）解：设点，则，因为，所以，
整理得，
所以的方程为．
（2）解：方法一：设，则，
故直线的斜率存在且不为0，如图所示：
则直线，即，
则点．
又直线，即，则点．
又直线的斜率为，故直线，
令，得．
又在椭圆上，则，整理得，
所以，则．
所以
．
综上，存在，使得有最大值12．
方法二：设直线的斜率分别为，且满足．
直线，则点．
同理，直线，则点．
又直线，
令，得，则．
所以
．
综上，存在，使得有最大值12．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系.
（1）设点，利用直线的斜率公式可列出式子，化简式子可求出的轨迹方程；
（2）方法一：设，利用两点式分别求出直线的方程，据此求出点的坐标，进而可求出直线的方程，求出H点坐标，利用平面向量的数量积求出的表达式，利用二次函数的性质可求出有最大值；
方法二：设直线的斜率分别为，据此可得，再表示出直线的方程，据此求出点的坐标，进而可求出直线的方程，求出H点坐标，利用平面向量的数量积求出的表达式，利用二次函数的性质可求出有最大值；
19．【答案】（1）证明：令，则，
令函数，则，，
显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，
即，所以.
（2）解：依题意，，
不妨令，则恒成立，
由（1）得，，于是，即，
因此，令，
求导得，函数在上单调递增，则，
而函数在上单调递增，其值域为，
则，所以实数b的取值范围是.
（3）证明：令函数，，显然函数在上可导，
由（1），存在，使得，
又，则，
因此，而，，则，即，
所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)令，构造函数，求导后利用罗尔定理证明即可.
(2)利用(1)的结论得，即可得，令，利用导数判断其单调性，确定其值域，再确定函数的值域，即可求解.
(3)构造函数，在上求导，利用(1)的结论即可得证.
1 / 1湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·咸宁期末）已知i为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
.
故答案为：C.
【分析】本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.先利用复数的除法运算：分子和分母同时除以，通过化简求出复数，利用共轭复数的定义：实部相同，虚部互为相反数的复数，据此可求出，再利用平方差公式进行计算可求出答案.
2．（2024高二下·咸宁期末）已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意可先求出，利用正态分布的对称性可的，代入数据可求出答案.
3．（2024高二下·咸宁期末）已知向量满足．若，则实数（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由，得，
由，得，所以.
故答案为：B
【分析】先利用平面向量的坐标运算求出的坐标，再利用平面向量共线的坐标表示公式可列出方程，解方程可求出实数的值.
4．（2024高二下·咸宁期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，
因此函数是R上的增函数，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故答案为：A
【分析】先利用指数函数的单调性可推出函数是R上的增函数，再根据函数的单调性可将不等式转化为，解一元二次不等式可求出原不等式的解集.
5．（2024高二下·咸宁期末）一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的的上四分位数为（ ）
A．5 B．5.5 C．14 D．14.5
【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：上四分位数即第百分位数，因为，
所以上四分位数为第位和第位的平均数，即，
故答案为：D.
【分析】先求出百分位数的数位，根据百分位数定义可得上四分位数为第位和第位的平均数，进而可求出答案.
6．（2024高二下·咸宁期末）在平面直角坐标系中，已知向量与关于x轴对称，向量若满足的点A的轨迹为E，则（ ）
A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆
C．E是两条平行直线 D．E是椭圆
【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：设，由题有，，
所以，，
所以，即，
所以点的轨迹是一个半径为1的圆，
故答案为：B．
【分析】先设，由题有，，根据，利用平面向量的数量积进行计算可求出点的轨迹方程.
7．（2024高二下·咸宁期末）由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34 B．33 C．32 D．30
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由题意可知：一位自然数有2个（即为2，4）；
两位自然数有个；
三位自然数有个；
四位自然数由小到大排列为；
可知2024为四位自然数中的第6个，所以.
故答案为：B.
【分析】根据分别求一位、两位、三位的个数，并对4位排序，即可得结果.
8．（2024高二下·咸宁期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，可知，则，
又因为，则，
且，可得，
在中，由余弦定理得，
设，则，
在中，可知，
由余弦定理可得：
即，解得，则，
所以.
故答案为：D
【分析】由离心率可得，根据题意结合双曲线定义可得，，利用余弦定理解得，，进而利用余弦定理求 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·咸宁期末）已知A，B为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若A，B为互斥事件，则
B．若，则
C．若A，B为互斥事件，则
D．若A，B相互独立，则
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：A，若为互斥事件，则，A正确；
B，若，则，B正确；
C，若为互斥事件，则，
所以，C错误；
D，若相互独立，
则，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意为互斥事件，所以，利用和事件的概率公式进行计算可判断A选项；利用条件事件的概率公式可求出，判断B选项；利用为互斥事件，可得，利用和事件的概率公式和对立事件的概率公式进行计算可判断C选项；若相互独立，利用和事件的概率公式可得，代入数据进行计算可判断D选项.
10．（2024高二下·咸宁期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数且，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是等比数列 D．
【答案】A,C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：A.由得，
所以在点处的切线方程，
B和C.令，得，A正确.
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且为敌增数列，B错误，C正确，
D.所以，D错误.
故答案为：AC.
【分析】先求出导函数，利用导数的几何意义可求出切线斜率，据此可求出点处的切线方程，令得，通过化简可判断A选项.利用对数运算对进行变形得，根据等比数列的定义和单调性可判断B选项和C选项.利用等比数列求和公式可求出，判断D选项.
11．（2024高二下·咸宁期末）把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中椭圆长轴，短轴为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为线段上的动点，E为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），则下列选项正确的是（ ）
A．当平面时，P为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由题设，长轴长，短轴长，
则，
A.得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，如图所示：
由，，∴四边形为平行四边形，，
当平面时，平面，平面平面，
则，有，
中，是中点，则为的中点，A正确；
B.，，，则中，，，
外接圆半径为，
，则平面，
三棱锥外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，B错误；
C.点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，
令，则，又，
则，，，
，由椭圆性质知，
则当或时，的最大值为，C正确；
D.由，要使三棱锥体积最大，
只需的面积和到平面距离之和都最大，
，令，且，则，
，
当时，有最大值，
在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，如图所示：
且，则椭圆方程为，
设，联立椭圆得，，
，，
令，，
由对勾函数性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】当平面时，l利用直线与平面平行的性质可推出：，利用三角形中位线的定理可确定点位置，判断A选项；先利用正弦定理求出外接圆半径，利用勾股定理可求出三棱锥外接球的半径，利用球的表面积公式可求出球的表面积，据此可判B选项；令，利用正切的定义可求出则，，利用两角和的正切公式可求出，再根据，利用二次函数的性质可求出的最大值，据此可判断C选项；根据，要使三棱锥体积最大，利用棱锥的体积公式可推出的面积和到平面距离之和都最大，进而可求出的最大值，在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为，利用基本不等式可求出，进而可求出三棱锥体积的最大值，判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·咸宁期末）已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 ．
【答案】10
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：令，则当时，常数项为．
故答案为：10.
【分析】令，可列出方程，解方程可求出，再求出二项式展开式的通项：，利用通项公式中的指数为，求出，再反代回通项公式可求出常数项.
13．（2024高二下·咸宁期末）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
其中，
相邻的后面一个使得成立的值为：，
且，当且仅当，解得：．
故答案是：.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.先根据x的取值范围，求出的范围，根据正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
14．（2024高二下·咸宁期末）2024年奥运会将于7月26日~8月11日在法国巴黎举行，而承办2024巴黎奥运会足球项目的是著名的巴黎王子公园球场（如图），足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有两条进攻线路可供选择，若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置．
【答案】；
【知识点】基本不等式；两角和与差的正切公式；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系如图所示：
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
【分析】若选择线路，设，利用正切的定义可求出，，再利用两角差的正切公式可求出关于的表达式，再利用基本不等式进行计算可求出的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用直线斜率公式可求出，、再利用两角差的正切公式可求出，采用换元法令，再利用基本不等式可求出的最大值，及此时的长度.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·咸宁期末）在中，角A，B，C所对的边为，角A的平分线交边于点D，且．
（1）求A的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，
，所以，故，
又．
（2）解：由题意可知，
即，化简得，
在中，由余弦定理推论得，
从而，
解得或（舍）．
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）先利用正弦定理进行边化角，进而可求出，据此可反推出角A的值 ；
（2）利用等面积法进行化简可得：，通过化简可求出，再根据角A的值，利用余弦定理即可求出的值，利用三角形的面积公式进行计算可求出三角形的面积.
16．（2024高二下·咸宁期末）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面；
（2）若平面，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点中点N，连接如图所示：
因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又，所以，所以四边形是平行四边形．
因为，所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面平面，所以平面．
同理可得平面．
又平面平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）解：以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
所以．
设是平面的法向量，则
，所以，所以．
取，则，所以是平面的一个法向量．
设是平面的法向量，则
，所以，所以．
取，则，所以是平面的一个法向量．
设二面角的大小为，
则，
．
所以，即二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求出二面角.
（1）取中点，中点，连接，根据条件可证明四边形是平行四边形，进而推出，进而可得，据此可证明四边形四边形是平行四边形，进而可得，利用直线与平面平行的判定定理可证明平面，平面，进而推出平面平面，利用平面与平面平行的性质可证明结论.
（2）以A为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角的余弦值，进而求出正弦值.
17．（2024高二下·咸宁期末）三月“与辉同行”携手湖北文旅，云游湖北省博物馆、赏东湖樱花园、夜上黄鹤楼……一路走来，讲述关于湖北的历史人文、诗词歌赋，为广大网友带来一场荆楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相继迎来了旅游热潮．咸宁的大幕东源花谷，向阳湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客纷至沓来，现对3月中下旬至4月上旬的大幕东源花谷赏花节会部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览大幕东源花谷，另外25%的游客计划既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会．每位游客若只游览大幕东源花谷，则得到1份文旅纪念品；若既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，则获得2份文旅纪念品．假设每位来大幕东源花谷游览的游客与是否参加“向阳花田”音乐会是相互独立的，用频率估计概率．
（1）从大幕东源花谷的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前n项和．
【答案】（1）解：据题意，每位游客只游览大幕东源花谷的概率为，得到1份文旅纪念品；
既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会的概率为，获得2份文旅纪念品，
则X的可能取值为3，4，5，6，
其中，
，
，
，
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
．
（2）解：因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，
于是，
则．
于是，
两式相减，得
，
所以．
【知识点】数列的求和；二项分布
【解析】【分析】本题考查二项分布，错位相减法求数列的和.
（1）根据题意先求出每位游客得到1份文旅纪念品的概率和得到2份文旅纪念品的概率，再找出X的可能取值，利用二项分布求出对应变量的概率，据此可列出X的分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望；
（2）根据题意可知只有1人既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，可得，先表示出，再用乘以公比，利用错位相减法可求出.
18．（2024高二下·咸宁期末）已知为平面上的一个动点．设直线的斜率分别为，且满足．记P的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）直线分别交动直线于点C、D，过点C作的垂线交x轴于点是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设点，则，因为，所以，
整理得，
所以的方程为．
（2）解：方法一：设，则，
故直线的斜率存在且不为0，如图所示：
则直线，即，
则点．
又直线，即，则点．
又直线的斜率为，故直线，
令，得．
又在椭圆上，则，整理得，
所以，则．
所以
．
综上，存在，使得有最大值12．
方法二：设直线的斜率分别为，且满足．
直线，则点．
同理，直线，则点．
又直线，
令，得，则．
所以
．
综上，存在，使得有最大值12．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系.
（1）设点，利用直线的斜率公式可列出式子，化简式子可求出的轨迹方程；
（2）方法一：设，利用两点式分别求出直线的方程，据此求出点的坐标，进而可求出直线的方程，求出H点坐标，利用平面向量的数量积求出的表达式，利用二次函数的性质可求出有最大值；
方法二：设直线的斜率分别为，据此可得，再表示出直线的方程，据此求出点的坐标，进而可求出直线的方程，求出H点坐标，利用平面向量的数量积求出的表达式，利用二次函数的性质可求出有最大值；
19．（2024高二下·咸宁期末）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点m，使得.
（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得.
（2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数b的取值范围.
（3）证明：当，时，有.
【答案】（1）证明：令，则，
令函数，则，，
显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，
即，所以.
（2）解：依题意，，
不妨令，则恒成立，
由（1）得，，于是，即，
因此，令，
求导得，函数在上单调递增，则，
而函数在上单调递增，其值域为，
则，所以实数b的取值范围是.
（3）证明：令函数，，显然函数在上可导，
由（1），存在，使得，
又，则，
因此，而，，则，即，
所以.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)令，构造函数，求导后利用罗尔定理证明即可.
(2)利用(1)的结论得，即可得，令，利用导数判断其单调性，确定其值域，再确定函数的值域，即可求解.
(3)构造函数，在上求导，利用(1)的结论即可得证.
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