广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（2024高三下·开平模拟）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·开平模拟）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C．或 D．或
3．（2024高三下·开平模拟）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．（2024高三下·开平模拟）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·开平模拟）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三下·开平模拟）班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
7．（2024高三下·开平模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三下·开平模拟）已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2024高三下·开平模拟）已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若复数，则
B．若，则
C．若，则
D．复数z在复平面内对应的点为Z，若，则点Z的轨迹是一个椭圆
10．（2024高三下·开平模拟）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位
D．函数在区间上的取值范围是
11．（2024高三下·开平模拟）已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三下·开平模拟）数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为
13．（2024高三下·开平模拟）的展开式中的系数为 （用数字作答）.
14．（2024高三下·开平模拟）已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三下·开平模拟）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
16．（2024高三下·开平模拟）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
17．（2024高三下·开平模拟）如图，在直三棱柱中，点是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（2024高三下·开平模拟）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
19．（2024高三下·开平模拟）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
（1）若，写出及的值；
（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）设集合，求证：且.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，即集合，
由，解得，即集合，则.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合M，N，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆 的焦距为2，若椭圆的焦点坐标在x轴时，
所以，所以，
若椭圆的焦点坐标在y轴时，，离心率.
故答案为：C
【分析】利用 椭圆的焦距为2， 讨论焦点位置，分别求解a，然后求解离心率.
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为各项均为正数的等比数列中， ，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，再根据对数函数的运算求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，结合函数的奇偶性以及对数函数的运算性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：易知的圆心为，半径为，
因为与相交于两点，
所以直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，故.
故答案为：C.
【分析】由题意，易得圆的圆心以及半径、直线的方程，再根据弦长公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：甲、乙、丙三位同学都有安排时：先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果，再从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果，所以不同的安排方案共有种；
甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时：先选两人出来，有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生，有种结果，所以不同的安排方案共有种，则不同的安排方案共有种.
故答案为：B.
【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况讨论求解即可.
7．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】.
故选：C.
【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解。
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：函数，
因为，所以，即，
则，当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质结合对数的运算可得，再利用基本不等式求最值即可.
9．【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，取，满足，但所以不成立，故B错误；
对于C，若，根据模的性质，故C正确；
对于D，复数z在复平面内对应的点为Z，若，则点Z的轨迹是线段，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】根据复数乘除法则，判断A正确.取，满足，，判断B错误.
根据模的性质，判断C正确.根据复数几何意义，得Z的轨迹是线段，判断D错误.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、易知，，即，解得，
则，因为函数的图像过点，所以，
所以，又因为，所以，则，故A正确；
B、函数，由，
解得，则函数在区间上单调递增，故B正确；
C、将的图象向左平移个单位，得，故C错误；
D、当时，，则，函数在区间上的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由图像易得，由点在图象上求得及函数的解析式即可判断A；利用正弦函数的单调性即可判断B；根据三角函数图象的平移变换即可判断C；根据的范围求得即可判断D.
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：A、因为函数满足，所以令，，得，又因为，所以，故A正确；
B、令，可得，结合，可得，
则函数为偶函数，故B错误；
C、令，可得，因为，
所以，即，
即，
又因为，，所以，故，，
所以，故C正确；
D、令，可得；
用代替，，可得，
结合C可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，采用赋值法分析判断即可.
12．【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为.
故答案为：.
【分析】根据百分位的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
故展开式中系数为，系数为，
故的展开式中的系数为，
故答案为：
【分析】本题考查二项式定理展开式的通项.先利用二项式展开式的通项公式求出展开式的、的系数，再利用多项式乘以多项式可求出展开式中的系数.
14．【答案】
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设分别为正四棱台 上下底面的中心，分别为棱的中点，且，如图所示：
设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、，
因为，所以，，则，，
又因为，，
所以，解得，
则，
，则.
故答案为：.
【分析】利用正四棱台体积公式得到正四棱台的高，再利用勾股定理求得斜高，即可求各面积得四棱台的表面积.
15．【答案】（1）
（2）答案见解析
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：（1）函数，，因为曲线在点的切线与平行，所以直线，
解得，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）定义域为R，，
令，解得或
①当，即时，令，解得或，
令，解得，
故在单调递减，在，上单调递增；
②当，即时，恒成立，故在R上单调递增；
③当，即时，令，解得或，
令，解得，
则函数在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求得，从而得到，根据点斜式写切线方程即可；
（2）先求定义域，再求导，分，和三种情况，利用导数判断函数的单调性即可.
16．【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：（1）记事件A为“一学生既分得月饼又要表演节目”，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
.
【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解；
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】
（1）
如图，记与的交点为点，连接，，
因为三棱柱是直三棱柱，
所以．
因为，所以四边形是正方形，故.
因为，，
所以又因为是的中点，
所以，
所以.
因为四边形是正方形，所以点是的中点，
所以．
又因为，平面，，
所以平面．
（2）
因为，，所以．
如图，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
因为平面，所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，
则即解得取，
得
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【分析】
（1）根据，以及，即可根据线线垂直求证线面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，，即可利用向量的夹角求解.
18．【答案】（1）
（2）1
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：（1）易知椭圆的焦点为，因为双曲线与椭圆的焦点重合，所以，则双曲线的渐近线为，即，
故，即双曲线方程为：；（2）设，的中点为，
因为在直线，所以，
而，，故，
故，
由题设可知的中点不为原点，故，所以，
故直线的斜率为，且直线，
联立，即，整理可得，
当，即或，
则当或时，直线存在且斜率为1.
【分析】（1）由题意，先求椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的渐近线方程可求基本量，即可得双曲线的方程；
（2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.
19．【答案】（1），，，
（2）
（3）证明见解析
【知识点】元素与集合的关系；交、并、补集的混合运算；数列的通项公式
【解析】【解答】解：（1）因为数列是各项均为正整数的无穷递增数列，且满足，
所以，
所以，即，，
又因为，所以，，所以；
（2）由题可知，所以，所以，
若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.
所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.
由得，，与是等差数列矛盾.
所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
（3）因为对于，，所以，
所以，即数列是递增数列.
先证明.假设，设正整数.
由于，故存在正整数使得，所以.
因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，.
所以，.
又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以.
再证明.由题可知.
设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数，使得.令.
若，则，即，所以.所以，所以.
若，则，所以.
所以，所以.
因为，所以.所以.
综上，且.
【分析】（1）根据集合新定义求出前几项判断即可；
（2）通过集合新定义结合等差数列性质求出，然后利用反证法结合数列的单调性可得，利用等差数列定义求解通项公式即可；
（3）先利用集合性质得数列是递增数列，然后利用反证法结合数列的单调性证明，由集合新定义及集合相等证明．
1 / 1广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（2024高三下·开平模拟）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，即集合，
由，解得，即集合，则.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合M，N，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三下·开平模拟）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆 的焦距为2，若椭圆的焦点坐标在x轴时，
所以，所以，
若椭圆的焦点坐标在y轴时，，离心率.
故答案为：C
【分析】利用 椭圆的焦距为2， 讨论焦点位置，分别求解a，然后求解离心率.
3．（2024高三下·开平模拟）已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为各项均为正数的等比数列中， ，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，再根据对数函数的运算求解即可.
4．（2024高三下·开平模拟）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为函数为偶函数，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，结合函数的奇偶性以及对数函数的运算性质求解即可.
5．（2024高三下·开平模拟）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：易知的圆心为，半径为，
因为与相交于两点，
所以直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，故.
故答案为：C.
【分析】由题意，易得圆的圆心以及半径、直线的方程，再根据弦长公式求解即可.
6．（2024高三下·开平模拟）班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：甲、乙、丙三位同学都有安排时：先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果，再从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果，余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果，所以不同的安排方案共有种；
甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时：先选两人出来，有种结果，再将四门不同学科分成两堆，有种结果，将学科分给学生，有种结果，所以不同的安排方案共有种，则不同的安排方案共有种.
故答案为：B.
【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况讨论求解即可.
7．（2024高三下·开平模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】.
故选：C.
【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解。
8．（2024高三下·开平模拟）已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：函数，
因为，所以，即，
则，当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质结合对数的运算可得，再利用基本不等式求最值即可.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2024高三下·开平模拟）已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若复数，则
B．若，则
C．若，则
D．复数z在复平面内对应的点为Z，若，则点Z的轨迹是一个椭圆
【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，取，满足，但所以不成立，故B错误；
对于C，若，根据模的性质，故C正确；
对于D，复数z在复平面内对应的点为Z，若，则点Z的轨迹是线段，故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】根据复数乘除法则，判断A正确.取，满足，，判断B错误.
根据模的性质，判断C正确.根据复数几何意义，得Z的轨迹是线段，判断D错误.
10．（2024高三下·开平模拟）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递增
C．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位
D．函数在区间上的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、易知，，即，解得，
则，因为函数的图像过点，所以，
所以，又因为，所以，则，故A正确；
B、函数，由，
解得，则函数在区间上单调递增，故B正确；
C、将的图象向左平移个单位，得，故C错误；
D、当时，，则，函数在区间上的取值范围是，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由图像易得，由点在图象上求得及函数的解析式即可判断A；利用正弦函数的单调性即可判断B；根据三角函数图象的平移变换即可判断C；根据的范围求得即可判断D.
11．（2024高三下·开平模拟）已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：A、因为函数满足，所以令，，得，又因为，所以，故A正确；
B、令，可得，结合，可得，
则函数为偶函数，故B错误；
C、令，可得，因为，
所以，即，
即，
又因为，，所以，故，，
所以，故C正确；
D、令，可得；
用代替，，可得，
结合C可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，采用赋值法分析判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高三下·开平模拟）数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为
【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，则数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为.
故答案为：.
【分析】根据百分位的定义求解即可.
13．（2024高三下·开平模拟）的展开式中的系数为 （用数字作答）.
【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项公式为，
故展开式中系数为，系数为，
故的展开式中的系数为，
故答案为：
【分析】本题考查二项式定理展开式的通项.先利用二项式展开式的通项公式求出展开式的、的系数，再利用多项式乘以多项式可求出展开式中的系数.
14．（2024高三下·开平模拟）已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为 ．
【答案】
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设分别为正四棱台 上下底面的中心，分别为棱的中点，且，如图所示：
设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、，
因为，所以，，则，，
又因为，，
所以，解得，
则，
，则.
故答案为：.
【分析】利用正四棱台体积公式得到正四棱台的高，再利用勾股定理求得斜高，即可求各面积得四棱台的表面积.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高三下·开平模拟）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：（1）函数，，因为曲线在点的切线与平行，所以直线，
解得，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）定义域为R，，
令，解得或
①当，即时，令，解得或，
令，解得，
故在单调递减，在，上单调递增；
②当，即时，恒成立，故在R上单调递增；
③当，即时，令，解得或，
令，解得，
则函数在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增.
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求得，从而得到，根据点斜式写切线方程即可；
（2）先求定义域，再求导，分，和三种情况，利用导数判断函数的单调性即可.
16．（2024高三下·开平模拟）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：（1）记事件A为“一学生既分得月饼又要表演节目”，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，
，
，
则的分布列为
0 1 2 3
.
【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解；
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.
17．（2024高三下·开平模拟）如图，在直三棱柱中，点是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】
（1）
如图，记与的交点为点，连接，，
因为三棱柱是直三棱柱，
所以．
因为，所以四边形是正方形，故.
因为，，
所以又因为是的中点，
所以，
所以.
因为四边形是正方形，所以点是的中点，
所以．
又因为，平面，，
所以平面．
（2）
因为，，所以．
如图，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
因为平面，所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，
则即解得取，
得
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【分析】
（1）根据，以及，即可根据线线垂直求证线面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，，即可利用向量的夹角求解.
18．（2024高三下·开平模拟）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）1
【知识点】直线的斜率；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：（1）易知椭圆的焦点为，因为双曲线与椭圆的焦点重合，所以，则双曲线的渐近线为，即，
故，即双曲线方程为：；（2）设，的中点为，
因为在直线，所以，
而，，故，
故，
由题设可知的中点不为原点，故，所以，
故直线的斜率为，且直线，
联立，即，整理可得，
当，即或，
则当或时，直线存在且斜率为1.
【分析】（1）由题意，先求椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的渐近线方程可求基本量，即可得双曲线的方程；
（2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.
19．（2024高三下·开平模拟）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
（1）若，写出及的值；
（2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；
（3）设集合，求证：且.
【答案】（1），，，
（2）
（3）证明见解析
【知识点】元素与集合的关系；交、并、补集的混合运算；数列的通项公式
【解析】【解答】解：（1）因为数列是各项均为正整数的无穷递增数列，且满足，
所以，
所以，即，，
又因为，所以，，所以；
（2）由题可知，所以，所以，
若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.
所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.
由得，，与是等差数列矛盾.
所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
（3）因为对于，，所以，
所以，即数列是递增数列.
先证明.假设，设正整数.
由于，故存在正整数使得，所以.
因为是各项均为正整数的递增数列，所以.所以，.
所以，.
又因为数列是递增数列，所以，矛盾.所以.
再证明.由题可知.
设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数，使得.令.
若，则，即，所以.所以，所以.
若，则，所以.
所以，所以.
因为，所以.所以.
综上，且.
【分析】（1）根据集合新定义求出前几项判断即可；
（2）通过集合新定义结合等差数列性质求出，然后利用反证法结合数列的单调性可得，利用等差数列定义求解通项公式即可；
（3）先利用集合性质得数列是递增数列，然后利用反证法结合数列的单调性证明，由集合新定义及集合相等证明．
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