广东省江门一中2023-2024学年高二（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江门月考）已知，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·江门月考）已知函数，则从到的平均变化率为( )
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·江门月考） 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．64种 D．81种
4．（2024高二下·江门月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·江门月考）已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·江门月考）已知，，，则( )
A． B． C． D．
7．（2024高二下·江门月考）如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则这个容器的容积的最大值为( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·江门月考）设的小数部分为，则( )
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江门月考）下列结论正确的是( )
A．
B．为正整数且
C．
D．满足方程的值可能为或或或
10．（2024高二下·江门月考）设，则下列选项正确的是( )
A．
B．
C．
D．
11．（2024高二下·江门月考）设函数，则（ ）
A．
B．函数有最大值
C．若，则
D．若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江门月考） 在的展开式中，的一次项的系数为 （用数字作答）.
13．（2024高二下·江门月考）曲线过原点的切线方程为 ．
14．（2024高二下·江门月考）将，，，，这个数填入如图所示的格子中要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数，记第行中最大的数为，第行中最大的数为，第行中最大的数为，则的填法共有 种用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江门月考）请回答下列问题：
（1）现有份不同的礼物，平均分给甲乙丙人，有多少种分法？
（2）由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？
（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
16．（2024高二下·江门月考）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
17．（2024高二下·江门月考）已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数相等．
（1）求的值；
（2）求展开式中的有理项；
（3）若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项．
18．（2024高二下·江门月考）已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．
19．（2024高二下·江门月考）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率考察图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为它等于的倾斜角与的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．
（1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
（2）已知函数，求曲线的曲率的最大值；
（3）已知函数，若，曲率为时的最小值分别为，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：f'(x)=2x，得f'(2)=4
故答案为：C.
【分析】直接求导后即可求得结果.
2．【答案】A
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：
f(1)=2-1+1=2，故变化率
故答案为：A.
【分析】根据变化率的定义进行求解即可.
3．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：四人去看三部电影，每人只看一部电影，共有种不同的选择.
故答案为：D.
【分析】由分步计数原理计算.
4．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图可知和(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；(0，2)上f'(x)<0，f(x)单调递减，在x=0处取极大值，x=2处取极小值，对照下图可知C选项符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据导函数的图象得到原函数在对应区间的单调性与极值，即可判断.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f'(x)=aex-，令f'(x)≥0，即，，令g(x)=，g'(x)=，令g'(x)=0，得x=-1，故当x>0时，g(x)单调递减，g（x）故答案为：C.
【分析】问题转化为，构造函数g(x)=，利用导数得到g(x)的单调性与最值，即可得a的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，>lne=1，故b>a，
而c=，令g(x)=xlnx，求导得g'(x)=1+lnx=0，x=，g(x)在(0，)单调递减，(，+∞)单调递增，故g(即a>c，故b>a>c
故答案为：B.
【分析】a，b结构类似，直接比较的大小即可得b>a，构造函数g(x)=xlnx，利用导数得函数的单调性即可比较a>c，即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：如图，设无盖三棱柱的高为x，则底面正三角形的边长为a-2，面积为S=，三棱柱的体积为V(x)=，求导V'(x)==0，得x1=，x2=，
V(x)在(0，)和(，+∞)单调递增，在(，)单调递减，而x<，故Vmax=V()=
故答案为：C.
【分析】设三棱柱的高为x，则可表示出底面的边长，可得体积的函数V(x)，利用导数求出函数的单调区间与单调性，即可得最大值.
8．【答案】B
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：44<258<54，故的整数部分为4，故小数部分x= -4，即有(x+4)4=258，展开得(x+4)4=x4+16x3+96x2+256x+256=258，故2.
故答案为：B
【分析】估算出其整数部分即可得小数部分，利用二项式定理展开后即可得代数式的值.
9．【答案】B,C
【知识点】组合及组合数公式；排列数公式的推导；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：A选项，，而，故A错误；
B选项，，，故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，由得x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16，解得或或或 ，而注意到x=-7时，5x-5<0，故x=1或5或3，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】分别根据排列与组合的计算规则与性质依次进行判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令x+1=y，x=y-1则原式可化为，y的一次项为，故a1=-2022，故A正确；
令y=-1得，故B正确；
令y=0，得a0=1，令y=1，得，得，故C错误；
令y=得，故，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】换元x+1=y，x=y-1则原式可化为，再分别赋值即可一一判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】对于A，由题意可知，，
所以，所以A对；
对于B，由题意可知f(x)的定义域为（0，1），，
当当
所以，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数f(x)取得极小值也是最小值，即为所以B错；
对于C，当时，可得由选项A可知，
所以，
由选项B可知恒成立，所以，，所以C对；
对于D，当时，可得又因为所以
由选项B可知函数f(x)在上单调递增，所以，
又由选项A可知，所以，，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】根据函数f(x)的解析式直接求出f(1-x)即可判断出选项A；利用导数求最值的方法判断出选项B；利用已知条件结合选项A和选项B中的结论即可判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项。
12．【答案】4
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开通项公式为，
所以的一次项的系数为.
故答案为：4.
【分析】利用二项式定理得到的展开通项公式，再分别求含项与常数项的系数即可得解.
13．【答案】和
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：f'(x)=3x2-4x，设切点为(a，a3-2a2)，f'(a)=3a2-4a，故切线方程为y-(a3-2a2)=(3a2-4a)(x-a)，切线过原点，将(0，0)代入切线方程得-(a3-2a2)=(3a2-4a)(0-a)，整理得a3-a2=0，得a=1或0；
故可得切线方程为和
故答案为：和
【分析】设切点(a，a3-2a2)，求导得切线的斜率即可得切线方程，将（0，0）代入求方程的解即可.
14．【答案】
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意，a第一行，则有种情况；
故共=60480种填法.
答案：
【分析】由题意a15．【答案】（1）由题意不同的分法种；
（2）若个位是，则有种，
若个位不是，先从、中选一个放个位，
再从刚选的数字和之外的个中选个放在首位，
中间两位从剩余个中选个排上即可，共有种，
所以没有重复数字的四位偶数共个；
（3）分类计数：
若不选会双语的导游，则有种，
若选会双语的导游，则有种，
故不同的选择方法有种．
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】(1)平均分配后再排列即可得结果；
(2)先讨论个位数字为0与不为0，再安排其它位置即可得结果；
(3)讨论选双语与不选双语的导游的两种情况进行求解即可.
16．【答案】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
由 解得 ，
由 ，可得 ，所以函数 增区间是 ，
由 ，可得 ，所以函数 减区间是 .
（2）解：
1
0
由上表可知： ， .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用求导的方法判断函数单调性，进而求出给定区间的最值。
17．【答案】（1）由题意可得，所以；
（2）展开式的通项为，
当为整数时，，，，
所以展开式中的有理项为，，；
（3）令，则，
所以展开式中项的系数为，得，
又，所以，
所以二项式的展开式的通项公式为，
设第项为系数绝对值最大的项，则，
解得，又且，所以或，
所以展开式中系数的绝对值最大的项为和．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1)由题意得即可得n的值；
(2)由二项式定理得展开式，令x的指数为整数即可得有理项；
(3)由题意先求出a的值，再设第r+1项系数最大，利用不等式求出r的值即可.
18．【答案】（1）解：，则，
由已知，解得
（2）解：
（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（3）证明：方法一：
等价于
当时，
令
令，则在区间上单调递增
∵，
∴存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴，故
方法二：
当时，
令，则，
令，则
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增．
∴，即
∴，
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解出 a的值；
（2）由于 ，令 得 或，通过比较两个值分类讨论得 函数的单调性；
（3） 方法一： 通过单调性，根据求最值证明可得； 方法二： 运用放缩及同构的方法证明。
19．【答案】（1）由题意单位圆上圆心角为的圆弧，
根据定义可得平均曲率；
（2）由可得，
又可得，
所以，
由题意，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即曲线的曲率的最大值为；
（3）由可得，
记，则，
同理由可得，
记，则，
若，曲率为时，即，，可得，
化简可得；
令，则，由可得，
则当时，，此时单调递增，且；
当时，，此时单调递减，且；
则的图象如图所示：
又，结合的图象可得有两解，
设这两解分别为，，且，
又，
因为，最小，因此，
由，可设，
故，
化简可得，则，
要证，即证，
即，也即，
即证，
令，则，
所以在区间上单调递增，
故，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意根据平均曲率的定义进行求解即可；
(2)先求出曲线的表达式，利用基本不等式即可得曲率的最大值；
(3)利用导数分别求出g(x)、h(x)曲率为零时满足的关系式即，即有，换元得，，不等关系转化为，利用导数即可证明.
1 / 1广东省江门一中2023-2024学年高二（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·江门月考）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：f'(x)=2x，得f'(2)=4
故答案为：C.
【分析】直接求导后即可求得结果.
2．（2024高二下·江门月考）已知函数，则从到的平均变化率为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：
f(1)=2-1+1=2，故变化率
故答案为：A.
【分析】根据变化率的定义进行求解即可.
3．（2024高二下·江门月考） 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．9种 B．36种 C．64种 D．81种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：四人去看三部电影，每人只看一部电影，共有种不同的选择.
故答案为：D.
【分析】由分步计数原理计算.
4．（2024高二下·江门月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由图可知和(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；(0，2)上f'(x)<0，f(x)单调递减，在x=0处取极大值，x=2处取极小值，对照下图可知C选项符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据导函数的图象得到原函数在对应区间的单调性与极值，即可判断.
5．（2024高二下·江门月考）已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：f'(x)=aex-，令f'(x)≥0，即，，令g(x)=，g'(x)=，令g'(x)=0，得x=-1，故当x>0时，g(x)单调递减，g（x）故答案为：C.
【分析】问题转化为，构造函数g(x)=，利用导数得到g(x)的单调性与最值，即可得a的取值范围.
6．（2024高二下·江门月考）已知，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，>lne=1，故b>a，
而c=，令g(x)=xlnx，求导得g'(x)=1+lnx=0，x=，g(x)在(0，)单调递减，(，+∞)单调递增，故g(即a>c，故b>a>c
故答案为：B.
【分析】a，b结构类似，直接比较的大小即可得b>a，构造函数g(x)=xlnx，利用导数得函数的单调性即可比较a>c，即可得结果.
7．（2024高二下·江门月考）如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则这个容器的容积的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：如图，设无盖三棱柱的高为x，则底面正三角形的边长为a-2，面积为S=，三棱柱的体积为V(x)=，求导V'(x)==0，得x1=，x2=，
V(x)在(0，)和(，+∞)单调递增，在(，)单调递减，而x<，故Vmax=V()=
故答案为：C.
【分析】设三棱柱的高为x，则可表示出底面的边长，可得体积的函数V(x)，利用导数求出函数的单调区间与单调性，即可得最大值.
8．（2024高二下·江门月考）设的小数部分为，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：44<258<54，故的整数部分为4，故小数部分x= -4，即有(x+4)4=258，展开得(x+4)4=x4+16x3+96x2+256x+256=258，故2.
故答案为：B
【分析】估算出其整数部分即可得小数部分，利用二项式定理展开后即可得代数式的值.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·江门月考）下列结论正确的是( )
A．
B．为正整数且
C．
D．满足方程的值可能为或或或
【答案】B,C
【知识点】组合及组合数公式；排列数公式的推导；组合数公式的推导
【解析】【解答】解：A选项，，而，故A错误；
B选项，，，故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，由得x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16，解得或或或 ，而注意到x=-7时，5x-5<0，故x=1或5或3，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】分别根据排列与组合的计算规则与性质依次进行判断即可.
10．（2024高二下·江门月考）设，则下列选项正确的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：令x+1=y，x=y-1则原式可化为，y的一次项为，故a1=-2022，故A正确；
令y=-1得，故B正确；
令y=0，得a0=1，令y=1，得，得，故C错误；
令y=得，故，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】换元x+1=y，x=y-1则原式可化为，再分别赋值即可一一判断.
11．（2024高二下·江门月考）设函数，则（ ）
A．
B．函数有最大值
C．若，则
D．若，且，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】对于A，由题意可知，，
所以，所以A对；
对于B，由题意可知f(x)的定义域为（0，1），，
当当
所以，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数f(x)取得极小值也是最小值，即为所以B错；
对于C，当时，可得由选项A可知，
所以，
由选项B可知恒成立，所以，，所以C对；
对于D，当时，可得又因为所以
由选项B可知函数f(x)在上单调递增，所以，
又由选项A可知，所以，，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】根据函数f(x)的解析式直接求出f(1-x)即可判断出选项A；利用导数求最值的方法判断出选项B；利用已知条件结合选项A和选项B中的结论即可判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·江门月考） 在的展开式中，的一次项的系数为 （用数字作答）.
【答案】4
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开通项公式为，
所以的一次项的系数为.
故答案为：4.
【分析】利用二项式定理得到的展开通项公式，再分别求含项与常数项的系数即可得解.
13．（2024高二下·江门月考）曲线过原点的切线方程为 ．
【答案】和
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：f'(x)=3x2-4x，设切点为(a，a3-2a2)，f'(a)=3a2-4a，故切线方程为y-(a3-2a2)=(3a2-4a)(x-a)，切线过原点，将(0，0)代入切线方程得-(a3-2a2)=(3a2-4a)(0-a)，整理得a3-a2=0，得a=1或0；
故可得切线方程为和
故答案为：和
【分析】设切点(a，a3-2a2)，求导得切线的斜率即可得切线方程，将（0，0）代入求方程的解即可.
14．（2024高二下·江门月考）将，，，，这个数填入如图所示的格子中要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数，记第行中最大的数为，第行中最大的数为，第行中最大的数为，则的填法共有 种用数字作答
【答案】
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意，a第一行，则有种情况；
故共=60480种填法.
答案：
【分析】由题意a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·江门月考）请回答下列问题：
（1）现有份不同的礼物，平均分给甲乙丙人，有多少种分法？
（2）由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？
（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
【答案】（1）由题意不同的分法种；
（2）若个位是，则有种，
若个位不是，先从、中选一个放个位，
再从刚选的数字和之外的个中选个放在首位，
中间两位从剩余个中选个排上即可，共有种，
所以没有重复数字的四位偶数共个；
（3）分类计数：
若不选会双语的导游，则有种，
若选会双语的导游，则有种，
故不同的选择方法有种．
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】(1)平均分配后再排列即可得结果；
(2)先讨论个位数字为0与不为0，再安排其它位置即可得结果；
(3)讨论选双语与不选双语的导游的两种情况进行求解即可.
16．（2024高二下·江门月考）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
由 解得 ，
由 ，可得 ，所以函数 增区间是 ，
由 ，可得 ，所以函数 减区间是 .
（2）解：
1
0
由上表可知： ， .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
（2）利用求导的方法判断函数单调性，进而求出给定区间的最值。
17．（2024高二下·江门月考）已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数相等．
（1）求的值；
（2）求展开式中的有理项；
（3）若其展开式中项的系数为，求其展开式中系数的绝对值最大的项．
【答案】（1）由题意可得，所以；
（2）展开式的通项为，
当为整数时，，，，
所以展开式中的有理项为，，；
（3）令，则，
所以展开式中项的系数为，得，
又，所以，
所以二项式的展开式的通项公式为，
设第项为系数绝对值最大的项，则，
解得，又且，所以或，
所以展开式中系数的绝对值最大的项为和．
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1)由题意得即可得n的值；
(2)由二项式定理得展开式，令x的指数为整数即可得有理项；
(3)由题意先求出a的值，再设第r+1项系数最大，利用不等式求出r的值即可.
18．（2024高二下·江门月考）已知函数（，e为自然对数的底数）．
（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，求证：．
【答案】（1）解：，则，
由已知，解得
（2）解：
（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（3）证明：方法一：
等价于
当时，
令
令，则在区间上单调递增
∵，
∴存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴，故
方法二：
当时，
令，则，
令，则
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增．
∴，即
∴，
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解出 a的值；
（2）由于 ，令 得 或，通过比较两个值分类讨论得 函数的单调性；
（3） 方法一： 通过单调性，根据求最值证明可得； 方法二： 运用放缩及同构的方法证明。
19．（2024高二下·江门月考）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率考察图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为它等于的倾斜角与的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．
（1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
（2）已知函数，求曲线的曲率的最大值；
（3）已知函数，若，曲率为时的最小值分别为，，求证：．
【答案】（1）由题意单位圆上圆心角为的圆弧，
根据定义可得平均曲率；
（2）由可得，
又可得，
所以，
由题意，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即曲线的曲率的最大值为；
（3）由可得，
记，则，
同理由可得，
记，则，
若，曲率为时，即，，可得，
化简可得；
令，则，由可得，
则当时，，此时单调递增，且；
当时，，此时单调递减，且；
则的图象如图所示：
又，结合的图象可得有两解，
设这两解分别为，，且，
又，
因为，最小，因此，
由，可设，
故，
化简可得，则，
要证，即证，
即，也即，
即证，
令，则，
所以在区间上单调递增，
故，故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由题意根据平均曲率的定义进行求解即可；
(2)先求出曲线的表达式，利用基本不等式即可得曲率的最大值；
(3)利用导数分别求出g(x)、h(x)曲率为零时满足的关系式即，即有，换元得，，不等关系转化为，利用导数即可证明.
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