三十八 余角和补角
【A层 基础夯实】
知识点1 余角、补角的概念
1.下列说法中,正确的是()
A.若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2,∠3互为补角
B.若∠1是∠2的补角,则∠1一定是钝角
C.若∠1是∠2的余角,则∠1一定是锐角
D.若∠1是∠2的余角,则∠1一定小于∠2
2.若∠α的补角是130°,则∠α=()
A.30° B.40° C.50° D.150°
3.如图,点O在直线AB上,∠AOC=∠BOD=20°,则图中互补的角的对数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 余角、补角的性质及计算
4.已知∠A和∠B互为补角,∠B和∠C互为补角,如果∠A=60.4°,那么∠C的大小为()
A.150°24' B.119°36'
C.60°24' D.29°36'
5.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那∠2的余角为()
A.(180°-∠1) B.∠1
C.(∠1+∠2) D.(∠1-∠2)
6.互为补角的两个角的比是3∶2,则较小角的余角等于()
A.18° B.54° C.108° D.144°
7.若一个角的大小为46°35',则这个角的补角的大小为 .
8.如图,OC是∠AOB的平分线,且∠AOD=90°.
(1)∠COD的余角是 ;
(2)如果∠COD=24°45',求∠BOD的度数.
【B层 能力进阶】
9.如果∠1与∠2互补,∠2与∠3互余,则∠1与∠3的关系是()
A.∠1=∠3 B.∠1=180°-∠3
C.∠1=90°+∠3 D.∠3=90°+∠1
10.如果∠α和2∠β互补,且∠α<2∠β,给出下列四个式子:①90°-∠α;②2∠β-90°;③∠β-∠α;④∠β+∠α.其中可以表示∠α余角的式子有()
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
11.如图,一副三角尺按下列的位置摆放后,图中∠α与∠β一定相等,其理由是 .
12.一个角的余角比它的补角的还少50°,求这个角的度数.
13.设∠α,∠β的度数分别为(2n+35)°和(n-5)°,且∠α与∠γ互补,∠β与∠γ互余.
(1)求n的值;
(2)∠α与∠β能否互补,请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
14.如图,OB,OC是∠AOD内部两条射线,且∠AOD=k∠BOC.
(1)当k=2时,
①若∠AOD和∠BOC互为补角,求∠BOC的度数;
②在∠AOD的外部分别作∠COD,∠AOB的余角∠DOM及∠AON,请写出∠DOM,∠AON,∠BOC之间的数量关系,并说明理由;
(2)过点O作射线OE,OF,使得OE平分∠BOD,OF平分∠AOC,若∠EOF=∠BOC,求k的值.三十八 余角和补角
【A层 基础夯实】
知识点1 余角、补角的概念
1.下列说法中,正确的是(C)
A.若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2,∠3互为补角
B.若∠1是∠2的补角,则∠1一定是钝角
C.若∠1是∠2的余角,则∠1一定是锐角
D.若∠1是∠2的余角,则∠1一定小于∠2
2.若∠α的补角是130°,则∠α=(C)
A.30° B.40° C.50° D.150°
3.如图,点O在直线AB上,∠AOC=∠BOD=20°,则图中互补的角的对数是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 余角、补角的性质及计算
4.已知∠A和∠B互为补角,∠B和∠C互为补角,如果∠A=60.4°,那么∠C的大小为(C)
A.150°24' B.119°36'
C.60°24' D.29°36'
5.如果∠1和∠2互为补角,且∠1>∠2,那∠2的余角为(D)
A.(180°-∠1) B.∠1
C.(∠1+∠2) D.(∠1-∠2)
6.互为补角的两个角的比是3∶2,则较小角的余角等于(A)
A.18° B.54° C.108° D.144°
7.若一个角的大小为46°35',则这个角的补角的大小为133°25'.
8.如图,OC是∠AOB的平分线,且∠AOD=90°.
(1)∠COD的余角是 ;
【解析】(1)∠AOC,∠BOC.
(2)如果∠COD=24°45',求∠BOD的度数.
【解析】(2)∠AOC=∠AOD-∠COD=90°-24°45'=65°15'.
因为OC是∠AOB的平分线,所以∠AOB=2∠AOC=130°30',
所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=130°30'-90°=40°30'.
【B层 能力进阶】
9.如果∠1与∠2互补,∠2与∠3互余,则∠1与∠3的关系是(C)
A.∠1=∠3 B.∠1=180°-∠3
C.∠1=90°+∠3 D.∠3=90°+∠1
10.如果∠α和2∠β互补,且∠α<2∠β,给出下列四个式子:①90°-∠α;②2∠β-90°;③∠β-∠α;④∠β+∠α.其中可以表示∠α余角的式子有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
11.如图,一副三角尺按下列的位置摆放后,图中∠α与∠β一定相等,其理由是同角的余角相等.
12.一个角的余角比它的补角的还少50°,求这个角的度数.
【解析】设这个角的度数为x,则余角为90°-x,补角为180°-x,
由题意得:90°-x=(180°-x)-50°,解得x=60°.所以这个角的度数是60°.
13.设∠α,∠β的度数分别为(2n+35)°和(n-5)°,且∠α与∠γ互补,∠β与∠γ互余.
(1)求n的值;
【解析】(1)由∠α与∠γ互补,∠β与∠γ互余得∠α+∠γ=180°,∠β+∠γ=90°,
所以∠γ=180°-∠α,∠γ=90°-∠β,
所以180°-∠α=90°-∠β.
因为∠α,∠β的度数分别为(2n+35)°和(n-5)°,
所以180-(2n+35)=90-(n-5),
解得n=50.
(2)∠α与∠β能否互补,请说明理由.
【解析】(2)∠α与∠β互补,理由如下:
∠α=(2n+35)°=135°,∠β=(n-5)°=45°,
因为∠α+∠β=180°,
所以∠α与∠β互为补角.
【C层 创新挑战(选做)】
14.如图,OB,OC是∠AOD内部两条射线,且∠AOD=k∠BOC.
(1)当k=2时,
①若∠AOD和∠BOC互为补角,求∠BOC的度数;
②在∠AOD的外部分别作∠COD,∠AOB的余角∠DOM及∠AON,请写出∠DOM,∠AON,∠BOC之间的数量关系,并说明理由;
【解析】(1)①因为∠AOD=2∠BOC,∠AOD+∠BOC=180°,所以∠BOC=60°,
②因为∠AOD=2∠BOC,90°-∠DOM=∠COD,
90°-∠AON=∠AOB,∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD,所以2∠BOC=90°-∠AON+∠BOC+90°-∠DOM,所以∠DOM+∠AON+∠BOC=180°.
(2)过点O作射线OE,OF,使得OE平分∠BOD,OF平分∠AOC,若∠EOF=∠BOC,求k的值.
【解析】(2)因为OE平分∠BOD,OF平分∠AOC,
所以∠DOE=∠EOB=∠BOD,∠COF=∠FOA=∠AOC.
因为∠AOD=k∠BOC,∠EOF=∠BOC,即∠BOC=4∠EOF,所以∠AOD=4k∠EOF.
因为∠BOC=∠BOD+∠AOC-∠AOD,∠BOD=2∠BOE,∠AOC=2∠COF,∠BOE+∠COF-∠BOC=∠EOF,所以4∠EOF=2(∠EOF+4∠EOF)-4k∠EOF,k=.
