3.2基本不等式同步练习检测卷（含解析）-高一数学上学期苏教版（2019）必修第一册

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3.2基本不等式同步练习检测卷-高一数学上学期苏教版（2019）必修第一册
一、单选题
1．若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　）
A．小于 B．等于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
3．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
8．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．以下说法正确的有（ ）
A．实数是成立的充要条件
B．对恒成立
C．命题“，使得”的否定是“，使得”
D．若，则的最小值是8
11．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为4 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为2
三、填空题
12．设实数，的最小值为，则 .
13．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ．
14．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小．
四、解答题
15．已知，，且，求证：．
16．已知正数a，b满足．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
17．（1）已知为正数，且满足.证明：.
（2）若，，其中，试比较的大小.
18．若实数满足，则称比远离.
(1)若2比远离1，求x的取值范围；
(2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由.
(3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由.
19．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小 并求最小面积.
参考答案：
1．C
【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断.
【详解】∵、均为正数，且，∴．
又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D．
故选：C．
2．C
【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项.
【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y，
设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克，
则，解之得，
则顾客购得的黄金为（克），
（当且仅当时等号成立），
由题意知，，则克.
故选：C
3．A
【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件.
【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得，
等号成立当且仅当，即，此时满足题意.
故选：A.
4．B
【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案.
【详解】因为，由基本不等式得，
故，
因为，，两式相减得，
，
故，所以，
故，
所以.
故选：B
5．C
【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可.
【详解】由为正实数，且，得，
则，
当且仅当，即时，取最小值9.
故选：C.
6．C
【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案.
【详解】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
7．D
【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可.
【详解】由题意恒成立，即恒成立.
又，当且仅当时取等号.
故实数的最大值为9.
故选：D
8．D
【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
在中，，
又，所以，
在中，，故，
得到，
所以，
所以，即，
故选：D.
9．BCD
【分析】利用基本不等式判断各选项．
【详解】对于A选项，，
当且仅当时取得等号，故A错误；
对于B选项，，故，
当且仅当时取得等号，故B正确；
对于C选项，，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D选项，
，
当且仅当时取得等号成立，故D正确．
故选：BCD.
10．BC
【分析】举出反例可得A、D，比较大小可得B，根据否定的定义可得C.
【详解】对A：，当，时符合要求，但此时，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：命题“，使得”的否定是“，使得”，
故C正确；
对D：，若、符合要求，但此时，
故D错误.
故选：BC.
11．BD
【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项.
【详解】对于A，，
因为（当且仅当时取“=”），
所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确；
对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误；
对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确．
故选：BD．
12．
【分析】根据基本不等式求得其最小值，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】由于，根据基本不等式
，
当且仅当时，可取到最小值，
即，解得.
故答案为：
13．12
【分析】算得，直接由基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
所以
当且仅当，时等号成立．
故答案为：12．
14．4
【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案.
【详解】设，因为∥，
所以，所以，解得,
所以矩形的面积为
，
当且仅当，即时等号成立．
故当时，矩形花坛的面积最小．
故答案为：4
15．证明见解析
【分析】将展开，利用完全平方公式及基本不等式进行计算证明．
【详解】证明：，故
，
即不等式成立.
16．(1)
(2)18
【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值；
（2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）因为，，且，则，
所以，
当且仅当，即，即，时等号成立，
故的最小值为．
（2）因为，，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为18．
17．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用将所证不等式可变为，再利用基本不等式即可得证；
（2）利用完全平方公式，结合不等式的性质即可得解.
【详解】（1） ， ，
，
，
当且仅当时，等号成产，
，即.
（2）因为，
，
又，则，
所以，则，
所以，即.
18．(1)；
(2)比更远离，理由见解析
(3)比更远离，理由见解析
【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果；
（2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可；
（3），可得，然后分类判断与的大小关系即可.
【详解】（1）根据题意可得：，
所以，解得；
（2）比更远离,
理由如下：要证比更远离,只要证，
即证，
因为，所以，
所以只要证，即证，
因为，所以，
所以，
所以比更远离；
（3）因为，当且仅当时等号成立，
所以，从而，
①，
，
即；
②时，，
，
即，
综上：，即比更远离.
【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题.
19．(1)
(2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【分析】（1）由题意知，再代入化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由题意，，
.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
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