第二章直线和圆的方程同步练习检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章直线和圆的方程同步练习检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-18 00:32:23 | ||
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文档简介
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第二章直线和圆的方程同步练习检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．经过点且斜率为2的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
5．直线和的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．若方程表示圆，则a的取值范围为（ ）
A．R B． C． D．
7．设圆，都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆的圆心距等于（ ）
A．32 B．16 C．8 D．1
8．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、多选题
9．关于一次函数，下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当时，函数图象经过第一、三、四象限
C．，函数图象必经过第一、三象限
D．，函数在R上恒为减函数
10．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2 B．点在圆外
C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为
11．已知圆，直线.则下列命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交
D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ．
13．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ．
14．已知圆O：，MN为圆O的动弦，且满足，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：上，且，当MN运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合．
16．已知直线方程为，其中．
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
17．已知直线l经过点，且平行于向量.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.
18．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
(1)求曲线的方程；
(2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
(3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．
(1)求边所在直线方程；
(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.
参考答案：
1．C
【分析】根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解.
【详解】若直线与直线互相平行且不重合，
则，解得，故.
所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件．
故选：C．
2．A
【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，
所以.
故选：A
3．C
【分析】根据直线的点斜式方程写出即可.
【详解】由点斜式可得直线的方程为，
化为.
故选：C.
4．D
【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为和互相平行，
所以，解得.
直线可以转化为，
由两条平行直线间的距离公式可得.
故选：D
5．B
【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.
【详解】解方程组，得，
所以所求交点坐标为.
故选：B
6．C
【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【详解】根据题意，若方程表示圆，
则有，解得．
故选：C.
7．C
【分析】根据题意设出两圆圆心坐标，然后构造方程，结合韦达定理利用两点距离公式求解即可.
【详解】∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点，
∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为，，
则有，，
∴为方程的两个实数根，
即为方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C.
8．C
【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
O为圆心，易得半圆的方程为，，
因为B在半圆上，且轴，所以，
即．故车辆的最大高度应不超过米．
故选：C.
9．ABC
【分析】根据的正负判断函数的单调性及所过象限.
【详解】若，，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确；
若，，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确；
若，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误．
故选：ABC
10．BD
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断.
【详解】因为，即，
所以圆心为，半径，故A错误；
又，所以点在圆外，故B正确，C错误；
因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D.
【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径，
直线方程可化为，
由，可得，
所以直线恒过定点，A选项正确；
对于B，将代入圆的方程有，解得，
弦长为，B项错误；
因为点到圆心的距离为，
所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确；
当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以，
代入点斜式方程有，即，D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
即直线的倾斜角为.
故答案为：
13．
【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可.
【详解】因为：与直线：的交点坐标为，
所以，
若最大，则最小，则最小，
而，当且仅当时取等，此时，
所以的最大值是．
故答案为：
14．
【分析】由题意求出，设PQ的中点，由恒为锐角，可得以O为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，从而列不等式可得答案.
【详解】由题意，圆O：的圆心为，半径，
因为，G为弦MN的中点，所以，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上，
又由两动点P，Q在直线l：上，且，设PQ的中点，
因为当M，N在圆O上运动时，恒为锐角，
所以以O为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是由恒为锐角，得以O为圆心，以2为半径的圆与以的中点E为圆心，2为半径的圆外离，从而得解.
15．答案见解析
【分析】利用一般式方程判断两直线平行的等价条件来进行研究求解.
【详解】若直线与相交，则，即，解得且且；
若直线与平行或重合，则，解得或或．
当时，：，：，满足与平行；
当时，：，：，满足与平行；
当时，：，：，满足与重合；
综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合．
16．(1)
(2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程.
【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论．
（2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值．
【详解】（1）直线方程为，
可化为，
令，解得，所以直线恒过定点.
设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为
（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴 轴的负半轴交于，两点，∴，，解得.
∴，
当且仅当时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为：，即：.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线方向向量的性质，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据两平行线间方程的特征，结合两平行直线的距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为，
由点到直线的距离公式得，即，
解得或.
所以所求直线m的方程为或.
18．(1)
(2)
(3)存在，定点为
【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程.
（3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标.
【详解】（1）设，由得，
化简得，则曲线的方程为；
（2）由题意知，设，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
则，所以(舍去)或，即，
则，
则直线方程为；
（3）设直线方程为，设，
联立方程，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线始终经过此定点.
【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程；
（2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程.
【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，
即点，则，即；
（2）因为，
，
，
则，
故圆的半径为，
所以，圆的方程为，
由与圆相切，故,
又，故取最小值，四边形面积最小，
则当为点到直线的距离时，
即时，四边形面积最小，
设，有，
解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆，
切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，
即该圆方程为，即，
又圆的方程为，即，
两圆方程作差得，
即直线为.
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第二章直线和圆的方程同步练习检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．经过点且斜率为2的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
5．直线和的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．若方程表示圆，则a的取值范围为（ ）
A．R B． C． D．
7．设圆，都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆的圆心距等于（ ）
A．32 B．16 C．8 D．1
8．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、多选题
9．关于一次函数，下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当时，函数图象经过第一、三、四象限
C．，函数图象必经过第一、三象限
D．，函数在R上恒为减函数
10．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2 B．点在圆外
C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为
11．已知圆，直线.则下列命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交
D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量．已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为 ．
13．直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是 ．
14．已知圆O：，MN为圆O的动弦，且满足，G为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：上，且，当MN运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知：，：，求当m为何值时，与相交、平行或重合．
16．已知直线方程为，其中．
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
17．已知直线l经过点，且平行于向量.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程.
18．在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且.
(1)求曲线的方程；
(2)当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
(3)是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．
(1)求边所在直线方程；
(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.
参考答案：
1．C
【分析】根据两直线平行的充要条件求出的值即可得解.
【详解】若直线与直线互相平行且不重合，
则，解得，故.
所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件．
故选：C．
2．A
【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，
所以.
故选：A
3．C
【分析】根据直线的点斜式方程写出即可.
【详解】由点斜式可得直线的方程为，
化为.
故选：C.
4．D
【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为和互相平行，
所以，解得.
直线可以转化为，
由两条平行直线间的距离公式可得.
故选：D
5．B
【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.
【详解】解方程组，得，
所以所求交点坐标为.
故选：B
6．C
【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案.
【详解】根据题意，若方程表示圆，
则有，解得．
故选：C.
7．C
【分析】根据题意设出两圆圆心坐标，然后构造方程，结合韦达定理利用两点距离公式求解即可.
【详解】∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点，
∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为，，
则有，，
∴为方程的两个实数根，
即为方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C.
8．C
【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
O为圆心，易得半圆的方程为，，
因为B在半圆上，且轴，所以，
即．故车辆的最大高度应不超过米．
故选：C.
9．ABC
【分析】根据的正负判断函数的单调性及所过象限.
【详解】若，，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确；
若，，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确；
若，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误．
故选：ABC
10．BD
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断.
【详解】因为，即，
所以圆心为，半径，故A错误；
又，所以点在圆外，故B正确，C错误；
因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D.
【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径，
直线方程可化为，
由，可得，
所以直线恒过定点，A选项正确；
对于B，将代入圆的方程有，解得，
弦长为，B项错误；
因为点到圆心的距离为，
所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确；
当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以，
代入点斜式方程有，即，D正确.
故选：ACD.
12．
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
即直线的倾斜角为.
故答案为：
13．
【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可.
【详解】因为：与直线：的交点坐标为，
所以，
若最大，则最小，则最小，
而，当且仅当时取等，此时，
所以的最大值是．
故答案为：
14．
【分析】由题意求出，设PQ的中点，由恒为锐角，可得以O为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，从而列不等式可得答案.
【详解】由题意，圆O：的圆心为，半径，
因为，G为弦MN的中点，所以，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上，
又由两动点P，Q在直线l：上，且，设PQ的中点，
因为当M，N在圆O上运动时，恒为锐角，
所以以O为圆心，以2为半径的圆与以E为圆心，2为半径的圆外离，
则，即，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是由恒为锐角，得以O为圆心，以2为半径的圆与以的中点E为圆心，2为半径的圆外离，从而得解.
15．答案见解析
【分析】利用一般式方程判断两直线平行的等价条件来进行研究求解.
【详解】若直线与相交，则，即，解得且且；
若直线与平行或重合，则，解得或或．
当时，：，：，满足与平行；
当时，：，：，满足与平行；
当时，：，：，满足与重合；
综上，当且且时，与相交；当或时，与平行；当时，与重合．
16．(1)
(2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程.
【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论．
（2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值．
【详解】（1）直线方程为，
可化为，
令，解得，所以直线恒过定点.
设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为
（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴 轴的负半轴交于，两点，∴，，解得.
∴，
当且仅当时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为：，即：.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线方向向量的性质，结合直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）根据两平行线间方程的特征，结合两平行直线的距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为，即.
（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为，
由点到直线的距离公式得，即，
解得或.
所以所求直线m的方程为或.
18．(1)
(2)
(3)存在，定点为
【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设，根据已知条件求得点的坐标，从而求得直线的斜率，进行求得直线的方程.
（3）设直线方程为，联立直线的方程和曲线的方程，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得的关系式，进而求得定点坐标.
【详解】（1）设，由得，
化简得，则曲线的方程为；
（2）由题意知，设，
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得，
则，所以(舍去)或，即，
则，
则直线方程为；
（3）设直线方程为，设，
联立方程，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线始终经过此定点.
【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是根据已知条件中所给的等量关系式，如本题中，利用坐标表示点，化简后可求得曲线方程.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程；
（2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程.
【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，
即点，则，即；
（2）因为，
，
，
则，
故圆的半径为，
所以，圆的方程为，
由与圆相切，故,
又，故取最小值，四边形面积最小，
则当为点到直线的距离时，
即时，四边形面积最小，
设，有，
解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆，
切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，
即该圆方程为，即，
又圆的方程为，即，
两圆方程作差得，
即直线为.
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