第一章空间向量与立体几何同步练习检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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第一章空间向量与立体几何同步练习检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为（ ）

A．2或 B．4
C．2或4 D．4或
2．在四面体中，点M在线段上，且，N为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
4．平行六面体中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．若向量，则（　　）
A． B．4 C．1 D．3
7．已知为原点，，，，点在直线上运动，则取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知单位向量，，两两垂直，且，，不共面.设，，.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．，所成角为钝角 D．，，共面
10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题
12．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ．
13．已知空间中一个正方形的三个顶点分别为，，，则 .
14．如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .

四、解答题
15．如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.
(1)求；
(2)求CD的长.
16．在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中．
(1)若，且平面，求的值；
(2)若，且点平面，求的值．
17．如图所示，在平行六面体中，是底面的中心，是侧面对角线上的分点．

(1)化简，并在图中标出其结果．
(2)设，试求，，的值．
18．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与所成角的余弦值．
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，.

(1)求证：.
(2)若 面直线与所成的角为，求四棱锥的体积.
参考答案：
1．C
【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意可得结果.
【详解】由题意知，所以，
展开得，
异面直线，所成角为，代入得
，
所以或，
故选：C.
2．B
【分析】根据以及的位置，通过空间向量的加减以及数乘将表示为的线性组合.
【详解】因为，所以，
又因为N为中点，所以，
所以，
故选：B.
3．B
【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可.
【详解】对于，当时，，，
所以，则点在棱上，故正确；
对于，当时， ， ，
即，即
所以点在线段上，故错误；
对于，当时，，，
所以，所以，即，
所以点在棱上，故正确；
对于，当时，
所以，，
所以，
即，即，
所以点在线段上，故正确．
故选：．
4．B
【分析】由以及条件中系数对应相等可得答案.
【详解】由平行六面体可得，
又，
所以，
则.
故选：B.
5．D
【分析】延长交于点，通过三角形重心的性质得出为的中点，结合已知即可得出,再通过三棱台的性质得出，则，即可将分解为，即可利用向量模的求法结合已知得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
的重心为，
为在边上的中线，即为的中点，
三棱台中，，
,,
，
三棱台中，面面，且面分别交面，面于，，
，
，则，
得，
所以.
故选：D.
6．A
【分析】先求出向量，再由向量模的公式求出.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A．
7．C
【分析】利用向量表示出点坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点，
所以当取得最小值时，点的坐标为.
故选：C
8．D
【分析】设正方体的棱长，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，求出的坐标，求出向量，的夹角的余弦值，进而求出直线与平面所成的角的正弦值，进而可得它的余弦值，再由函数的单调性，可得余弦值的取值范围．
【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长2，，，0，，，2，，，1，，，2，，
则，1，，，，
则，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，即，令，
可得，1，，
，，，
，
设直线与平面所成的角为，，，
所以，
所以
，
设，
则，
设，，，
当时，即，
则，时，函数单调递减，，时，函数单调递增，
而时，；当时，；
当时，，
所以，时，，，所以，，
进而可得，
所以，．
故选：D．
9．AC
【分析】根据给定条件，利用垂直的向量表示判断A；利用共线向量判断B；求出判断C；利用共面向量定理判断D即得.
【详解】由单位向量，，两两垂直，得，
对于A，，则，A正确；
对于B，若，则，即，即有，矛盾，因此不平行，B错误；
对于C， 由选项B可设，所成的角为，
则，
而，因此，所成角为钝角，C正确；
对于D， 假设，，共面，而不共线，则，
即，于是，无解，则，，不共面，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D.
【详解】设正三棱柱的棱长为2，
以，，为基底向量，则，
，，
可得
，
若，则，
则，
即，
所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误；
又，故，，，在同一平面内，
连接、、，依题意，，，平面，
所以平面，要使，所以需在上，
由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确.
故选：BCD．
11．BC
【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解.
【详解】对于A，，
因为，且，所以，故A错误；
对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，

由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；
对于C，根据“仿射”坐标的定义可得，
，故C正确；
对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误．
故选：BC．
12．
【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】取中点N，连接，
又
，.
故答案为：.
13．/
【分析】根据题意求得，再由正方体的性质得到，从而得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为，，，
所以，
因为在正方形中，，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小.
【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：

依题意，设，则，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
平面的法向量，
由平面与平面所成（锐）二面角为，得，
化简得，当取得最大值时，最小，此时，，
且，所以.
故答案为:
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可；
（2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为，，，
所以；
（2）因为，
所以
，
所以.
16．(1)1
(2)
【分析】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解.
（3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解.
【详解】（1）且，
在正四棱锥中，
可得，
即，
又平面所以存在实数使得，
即，
又且不共面，
解的.
（2）由（2）可知
又且，
可得
又点平面，即四点共面
所以解得.
17．(1)答案见解析，
(2)，，．
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，‘
（2）根据基底法表示空间向量，即可由空间向量基本定理求解.
【详解】（1）取的中点，取取一点，使得，连接．
则．

（2）因为
，
所以，，．
18．(1)
(2).
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，表示出的坐标，根据，可得，即可求得答案；
（2）根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）设正三棱柱的棱长为2，设AC的中点为O，连接，
因为为正三角形，故，
以AC的中点O为原点，为轴，以过点O和平行的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，，
因为，故，则，
故，
因为，所以，
即.
（2）
由（1）知，所以，，
所以，，
所以，
由于异面直线所成角的范围为，
所以异面直线PC与所成角的余弦值是.
19．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）设的中点为，连接，根据题意已知条件证明直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，令，写出相应点的坐标，利用向量法证明从而得；
（2）由（1）写出的坐标，利用异面直线所成角的向量表示求出的值，在求出四棱锥的体积即可.
【详解】（1）设的中点为，连接，
由四边形是矩形，得.
是的中点，.
平面平面，平面平面，
平面直线两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设.

依题意得，，
.
，
，即.
（2）由（1）可得，
异面直线与所成的角为，
，解得，
由（1）平面，
所以为四棱锥的高，且，
四棱锥的体积为.
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