3.3幂函数 课件(共20张PPT)2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共20张PPT)
3.3 幂函数
一、实例探究
（1）如果张红以1元/㎏的价格购买了某种蔬菜㎏，
那么她需要支付元，这里是的函数；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，
这里是的函数；
（3）如果正方体的棱长为b，那么正方体的体积V=b3，
这里是的函数；
问题1：请看下面几个例子：
（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数。
（5）如果小兰在t秒内骑车行进了1km，那么她骑车的平均速度v=，即这里是的函数。
问题1：请看下面几个例子：
一、实例探究
追问2：观察这五个函数的解析式，从解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？
（1）解析式具有幂的形式；
（2）幂的底数为自变量，指数是常数
y = xα
常数
自变量
（4）
（5）
（3）
追问1：若将这五个函数的自变量用来表示，函数值用来表示，则它们的函数关系式将分别是什么？
1、幂函数的定义：
一般地，函数 叫做幂函数，其中是自变量，是常数。
二、幂函数的定义
注：（1）系数为1；
（2）底数仅有自变量；
（3）指数是常数.
追问3：你能根据幂函数的概念举出一些幂函数的例子吗？
二、幂函数的定义
如：
……
幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也有各自的含义，这些会在后面学习
例1.已知函数
其中是幂函数的______________（给出序号）
三、幂函数定义的辨析
（1） （4） （6）
关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
四、幂函数的图象及性质探究
对于幂函数，我们只研究时的图象与性质
问题2：结合初中学习一次函数，二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，思考研究一类函数的一般路径是什么？
四、幂函数的图象及性质探究
定义域
值域
单调性
奇偶性
其他
背景
概念
描点
图象
性质
应用
问题3：关于这五个幂函数， 是我们熟悉的，在同一个坐标系中画出它们的图象并总结它们的性质.
四、幂函数的图象及性质探究
定义域：____________
单调性：_________________
值 域：____________
奇偶性：________________
值 域：_________________
奇偶性：_________________
单调性：_________________
定义域：_________________
四、幂函数的图象及性质探究
x -2 -1.5 -1 -0.5 0
x2
0.5 1 1.5 2
4
2.25
1
0.25
0
0.25
1
2.25
4
四、幂函数的图象及性质探究
单调性：____________________
值 域：____________
奇偶性：________________
定义域：___________
四、幂函数的图象及性质探究
问题4：如何画出，的图象？
追问：观察这两个函数的解析式，说出他们的一些性质
的定义域为R,且为奇函数
y=的定义域为[ 0,+∞)
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x3
定义域：_____________
值 域：_____________
奇偶性： _____________
单调性： _____________
四、幂函数的图象及性质探究
-8
-3.375
-1
-0.125
0
0.125
1
3.375
8
x 0 0.25 0.5 1 2 3 4 5 6
x0.5 0 0.05 0.707 1 1.414 1.732 2 2.236 2.449
定义域：_____________
值 域：_____________
奇偶性： _____________
单调性： _____________
四、幂函数的图象及性质探究
定义域
值域
奇偶性
单调性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
R
R
R
{x|x≠0}
[ 0,+∞)
R
R
{y|y≠0}
[ 0,+∞)
［0,+∞)
［0，+∞)增
(－ ∞，0) 减
增
增
增
(0，+∞) 减
(－ ∞,0)减
R
R
四、幂函数的图象及性质探究
问题5：观察这几个函数的图象结合函数解析式，将你发现的结论写在表内
（1）上述函数的图象都通过点（1,1）；
（2）函数 =x , =3 =-1 是奇函数 ，
函数 y=2 是偶函数；
（3）在区间（0，+∞）上，
函数 =x, =2, =3, =单调递增， 函 函数 =-1 单调递减；
（4）在第一象限内，函数 =-1 的图象向上与 轴无
限接近，向右与 轴无线接近
问题6：观察函数的图象结合表格，有哪些共同性质呢？有哪些不同的性质？
四、幂函数的图象及性质探究
例2.比较
的大小.
因为y=x0.3在 上单调递增，且
[ 0,+∞)
解：
五、例题分析
五、例题分析
例3：证明幂函数 (x)= 在 ［0,+∞) 上是增函数。